Billar dinámico

El hamiltoniano de una partícula de masa m que se desplaza en forma libre sin fricción sobre una superficie es:

${\displaystyle H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q),}$

donde ${\displaystyle V(q)}$ es un potencial que vale cero dentro de la región ${\displaystyle \Omega }$ donde se mueve la partícula, e infinito en todos los otros sitios:

${\displaystyle V(q)={\begin{cases}0\qquad q\in \Omega \\\infty \qquad q\notin \Omega \end{cases}}.}$

Este tipo de potencial garantiza una reflexión especular en el borde. El término cinético garantiza que la partícula se mueva en línea recta, sin ningún cambio en su energía. Si la partícula se desplaza en una variedad no euclidiana, entonces el hamiltoniano es reemplazado por:

${\displaystyle H(p,q)={\frac {p^{i}p^{j}g_{ij}(q)}{2m}}+V(q),}$

donde ${\displaystyle g_{ij}(q)}$ es el tensor métrico en un punto ${\displaystyle q\in \Omega }$. Debido a la estructura muy simple de este hamiltoniano, las ecuaciones de movimiento de la partícula, las ecuaciones de Hamilton–Jacobi, no son más que las ecuaciones geodésicas en la variedad: la partícula se desplaza a lo largo de geodésicas.

La versión cuántica de los billares ha sido estudiada mediante distintos métodos. El hamiltoniano clásico de los billares indicado en las secciones previas, se reemplaza por la ecuación de Schrödinger estacionaria ${\displaystyle H\psi =E\psi \,}$ o, más precisamente,

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi _{n}(q)=E_{n}\psi _{n}(q),}$

donde ${\displaystyle \Delta }$ es el Laplaciano. El potencial que es infinito fuera de la región ${\displaystyle \Omega }$ pero vale cero dentro de ella, se corresponde con las siguientes condiciones de borde de Dirichlet:

${\displaystyle \psi _{n}(q)=0\quad {\mbox{for}}\quad q\notin \Omega .}$

Como de costumbre, las funciones de onda son elegidas para que sean ortonormales:

${\displaystyle \int _{\Omega }{\overline {\psi _{m}}}(q)\psi _{n}(q)\,dq=\delta _{mn}.}$

Curiosamente, la ecuación de Schrödinger del campo libre coincide con la ecuación de Helmholtz,

${\displaystyle \left(\Delta +k^{2}\right)\psi =0,}$

donde

${\displaystyle k^{2}={\frac {2mE_{n}}{\hbar ^{2}}}.}$

Esto implica que billares cuánticos bi- y tridimensionales pueden ser modelados mediante los modos de resonancia clásicos de una cavidad radiante de una dada forma, permitiendo así una verificación experimental. (El estudio de los modos de la cavidad radiante debe limitarse a los modos magnéticos transversales, ya que ellos son los que satisfacen las condiciones de Dirichlet indicadas).

El límite clásico es ${\displaystyle \hbar \to 0}$ que es equivalente a ${\displaystyle m\to \infty }$, es decir, que tanto para masas muy grandes como para constante de Planck nula, se recupera el comportamiento clásico.

• Ya. G. Sinai, "On the Foundations of the Ergodic Hypothesis for a Dynamical System of Statistical Mechanics", Dokl. Acad. Nauk., 153 (1963) No. 6. (in English, Sov. Math Dokl. 4 (1963) pp.1818-1822).
• Ya. G. Sinai, "Dynamical Systems with Elastic Reflections", Russian Math. Surveys, 25, (1970) pp. 137-191.
• V. I. Arnold and A. Avez, Théorie ergodique des systèms dynamiques, (1967), Gauthier-Villars, Paris. (English edition: Benjamin-Cummings, Reading, Mass. 1968). (Provides discussion and references for Sinai's billiards.)
• D. Heitmann, J.P. Kotthaus, "The Spectroscopy of Quantum Dot Arrays", Physics Today (1993) pp. 56-63. (Provides a review of experimental tests of quantum versions of Sinai's billiards realized as nano-scale (mesoscopic) structures on silicon wafers.)
• S. Sridhar and W. T. Lu, "Sinai Billiards, Ruelle Zeta-functions and Ruelle Resonances: Microwave Experiments", (2002) Journal of Statistical Physics, Vol. 108 Nos. 5/6, pp. 755-766.
• Linas Vepstas, Sinai's Billiards, (2001). (Provides ray-traced images of Sinai's billiards in three-dimensional space. These images provide a graphic, intuitive demonstration of the strong ergodicity of the system.)

• L.A.Bunimovich, "On the Ergodic Properties of Nowhere Dispersing Billiards", Commun Math Phys, 65 (1979) pp. 295-312.
• L.A.Bunimovich and Ya. G. Sinai, "Markov Partitions for Dispersed Billiards", Commun Math Phys, 78 (1980) pp. 247-280.
• Flash animation illustrating the chaotic Bunimovich Stadium

• Weisstein, Eric W. «Billiards». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Simulation of the Sinai Billiard (Stephan Matthiesen)