Análisis de circuitos

Cualquier circuito de dos terminales puede reducirse a una simple impedancia sumando las que se encuentran en serie o en paralelo, así:

• Impedancias en serie: ${\displaystyle Z_{\mathrm {eq} }=Z_{1}+Z_{2}+\,\cdots \,+Z_{n}.}$

• Impedancias en paralelo: ${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\,\cdots \,+{\frac {1}{Z_{n}}}}$

Una red eléctrica de impedancias con más de dos terminales no puede reducirse a un circuito equivalente de una sola impedancia. Una red de n terminales puede, como máximo, reducirse a n impedancias. Para una red de tres terminales, las tres impedancias pueden expresarse como un red delta (Δ) de tres nodos o una red estrella (Y) de cuatro nodos. Estas dos redes son equivalentes y las transformaciones de cada una de ellas son expresadas más abajo. Una red general con un número arbitrario de terminales no puede reducirse al mínimo número de impedancias usando solamente combinaciones en serie o en paralelo. En general, se deben usar las transformaciones Y-Δ y Δ-Y. Puede demostrarse que esto bastará para encontrar la red más simplificada para cualquier red arbitraria con aplicaciones sucesivas en serie, paralelo, Y-Δ y Δ-Y. No se requieren transformaciones más complejas.

${\displaystyle R_{a}={\frac {R_{\mathrm {ac} }R_{\mathrm {ab} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}}$

${\displaystyle R_{b}={\frac {R_{\mathrm {ab} }R_{\mathrm {bc} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}}$

${\displaystyle R_{c}={\frac {R_{\mathrm {bc} }R_{\mathrm {ac} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}}$

${\displaystyle R_{\mathrm {ac} }={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{b}}}}$

${\displaystyle R_{\mathrm {ab} }={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}}$

${\displaystyle R_{\mathrm {bc} }={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{a}}}}$

Las transformaciones estrella-triángulo y triángulo-estrella son casos especiales del algoritmo general de la eliminación de nodos de una red resistiva. Cualquier nodo conectado por N resistores 1 .... N pueden reemplazarse por ${\displaystyle {N \choose 2}}$ resistores conectados en los N nodos restantes. La resistencia entre cualquier nodo x e y está dada por:

${\displaystyle R_{\mathrm {xy} }=R_{x}R_{y}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{R_{i}}}}$

Para una estrella-triángulo (N=3) se reduce a:

${\displaystyle R_{\mathrm {ab} }=R_{a}R_{b}({\frac {1}{R}}_{a}+{\frac {1}{R}}_{b}+{\frac {1}{R}}_{c})={\frac {R_{a}R_{b}(R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c})}{R_{a}R_{b}R_{c}}}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}}$

Para una reducción en serie (N=2) se reduce a:

${\displaystyle R_{\mathrm {ab} }=R_{a}+R_{b}}$

Una fuente no ideal con una impedancia interna puede representarse como una fuente de tensión ideal o una fuente de corriente ideal más la impedancia. Estas dos formas son equivalentes y las transformaciones son dadas a continuación. Si las dos redes son equivalentes con respecto a las terminales ab, entonces V e I deben ser idénticas para ambas redes. Además,

${\displaystyle V_{\mathrm {s} }=RI_{\mathrm {s} }\,\!}$ o ${\displaystyle I_{\mathrm {s} }={\frac {V_{\mathrm {s} }}{R}}}$

• El teorema de Norton establece que cualquier red de dos terminales puede reducirse a una fuente ideal de corriente y a una resistencia en paralelo.
• El teorema de Thévenin establece que cualquier red de dos terminales puede reducirse a una fuente ideal de tensión y a una resistencia en serie.

Divisor de tensión.

Dos o más resistencias conectadas en serie forman un divisor de tensión. De acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff o ley de las mallas, la tensión total es suma de las tensiones parciales en cada resistencia, por lo que seleccionando valores adecuados de las mismas, se puede dividir una tensión en los valores más pequeños que se deseen. La tensión ${\displaystyle V_{i}}$ en bornes de la resistencia ${\displaystyle R_{i}}$, en un divisor de tensión de n resistencias cuya tensión total es V, viene dada por:

${\displaystyle V_{i}=R_{i}I=\left({\frac {R_{i}}{R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n}}}\right)V}$

En el caso particular de un divisor de dos resistencias, es posible determinar las tensiones en bornes de cada resistencia, V_AB y V_BC, en función de la tensión total, V_AC, sin tener que calcular previamente la intensidad. Para ello se utilizan las siguientes ecuaciones de fácil deducción:

${\displaystyle V_{AB}=V_{AC}{R1 \over R1+R2}}$

${\displaystyle V_{BC}=V_{AC}{R2 \over R1+R2}}$

Divisor de corriente.

Dos o más resistencias conectadas en paralelo forman un divisor de intensidad. De acuerdo con la primera ley de Kirchhoff o ley de los nodos, la suma de las corrientes que entran en un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. Seleccionando valores adecuados de resistencias se puede dividir una corriente en los valores más pequeños que se deseen.

En el caso particular de un divisor de dos resistencias, es posible determinar las corrientes parciales que circulan por cada resistencia, I1 e I2, en función de la corriente total, I, sin tener que calcular previamente la caída de tensión en la asociación. Para ello se utilizan las siguientes ecuaciones de fácil deducción:

${\displaystyle I1=I{R2 \over R1+R2}}$

${\displaystyle I2=I{R1 \over R1+R2}}$

Para componentes de dos terminales la función de transferencia, llamada también ecuación constitutiva, es la relación entre la corriente de entrada del dispositivo y la tensión resultante del componente. La función de transferencia Z(s) será la impedancia y tendrá unidades en ohms.

• Para los tres componentes pasivos que se encuentran en los circuitos eléctricos, las funciones de transferencia son en corriente alterna y corriente directa las siguientes:

Componente	Función de transferencia	Corriente Alterna	Corriente Directa
Resistencia	${\displaystyle Z(s)=R\,\!}$	${\displaystyle Z(j\omega )=R\,\!}$	${\displaystyle Z=R\,\!}$
Inductor	${\displaystyle Z(s)=sL\,\!}$	${\displaystyle Z(j\omega )=j\omega L\,\!}$	${\displaystyle Z=0\,\!}$
Condensador	${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}}}$	${\displaystyle Z(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}}$	${\displaystyle Z=\infty \,\!}$

Las funciones de transferencia, en teoría de control, son dadas por el símbolo H(s). Frecuentemente en electrónica la función de transferencia se define como la relación del voltaje de salida al voltaje de entrada y dado el símbolo A(s), o más general (porque el análisis es invariable en términos de la respuesta del seno) A(jω), así:

${\displaystyle A(j\omega )={\frac {V_{o}}{V_{i}}}}$

Donde A representa la atenuación, ganancia, o amplificación dependiendo del contexto. En general, esto será una función compleja de jω, que se puede derivar del análisis de impedancias en la red y sus funciones de transferencia individuales. Algunas veces se está interesado solamente en la magnitud de la ganancia y no en el ángulo de fase. Para este caso se pueden eliminar los números complejos de la función de transferencia que podría escribirse así:

${\displaystyle A(\omega )=\left|{\frac {V_{o}}{V_{i}}}\right|}$

El concepto de una red de dos puertos o cuadripolo puede ser útil en análisis de redes como una caja negra en el análisis. El comportamiento de las redes cuadripolo en una gran red puede caracterizarse completamente sin mantener nada de la estructura interna. Sin embargo, para hacer esto es necesario tener más información que el A(jω) descrito más arriba. Puede demostrarse que se requieren 4 parámetros para caracterizar completamente la red cuadripolo. Esto puede ser la función de transferencia directa, la impedancia de entrada, la función de transferencia inversa(por ejemplo, el voltaje que hay en la entrada cuando un voltaje se aplica a la salida) y la impedancia de salida. Hay muchas otras (véase el artículo principal para una lista completa), una de estas expresa todos los cuatro parámetros como impedancias. Es normal expresar los cuatro parámetros como una matriz.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z(j\omega )_{11}&z(j\omega )_{12}\\z(j\omega )_{21}&z(j\omega )_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{0}\end{bmatrix}}}$

La matriz puede abreviarse a un elemento representativo;

${\displaystyle \left[z(j\omega )\right]}$ or just ${\displaystyle \left[z\right]}$

Estos conceptos pueden extenderse a las redes de más de dos puertos. Sin embargo, es muy raro hacerlo en la realidad debido a que en muchos casos los puertos se consideran como una entrada o una salida. Si las funciones de transferencia inversa se ignoran, una red multipuerto puede siempre descomponerse en una red de dos puertos.

Donde una red se compone de componentes discretos, el análisis usando solamente redes cuadripolo, no es esencial. La red siempre puede analizarse en términos de sus funciones de transferencia individuales. Sin embargo, si una red contiene componentes distribuidos, como es el caso de una línea de transmisión, no es posible analizarse en términos de los componentes individuales puesto que no existen. La aproximación más usada a esto es modelar la línea como una red de dos puertos y caracterizarla usando parámetros de dos puertos (o algo equivalente a esto). Otro ejemplo de esta técnica es modelar las cargas cruzando la región base en un transistor de alta frecuencia. La región base debe modelarse como una resistencia distribuida y la capacitancia como un modelo simplificado.