Congruencia (geometría)

Dos o más figuras son congruentes si se cumple que son equivalentes tanto en forma como en tamaño, es decir si sus lados y sus ángulos respectivos tienen la correspondiencia en la medida, aunque su posición y orientación sean distintas.

El símbolo de congruencia es ( ≅ ).

Las partes coincidentes de las figuras congruentes[3] se llaman homólogas o correspondientes.

Figuras congruentes relacionadas mediante traslación.

Figuras congruentes relacionadas mediante reflexión y rotación.

En matemáticas, dos figuras geométricas son congruentes si tienen las mismas dimensiones y la misma forma sin importar su posición u orientación,[4] es decir, si existe una isometría que los relaciona: una transformación que puede ser de traslación, rotación o reflexión. Las partes relacionadas entre las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

Los cuadriláteros naranja y verde son congruentes; el azul no lo es con ellos. Los tres tienen el mismo perímetro y área. (La ordenación de los lados del cuadrilátero azul es "mixta", lo que hace que dos de los ángulos interiores y una de las diagonales no sean congruentes).

Para que dos polígonos sean congruentes, deben tener el mismo número de lados (y, por tanto, el mismo número de vértices). Dos polígonos con n lados son congruentes si y sólo si cada uno tiene secuencias numéricamente idénticas (incluso en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el sentido contrario para el otro) lado-ángulo-lado-ángulo-... para n lados y n ángulos.

La congruencia de polígonos puede establecerse gráficamente de la siguiente manera:

• Primero, emparejar y etiquetar los vértices correspondientes de las dos figuras.
• En segundo lugar, dibuja un vector desde uno de los vértices de una de las figuras hasta el vértice correspondiente de la otra figura. Traslada la primera figura mediante este vector para que estos dos vértices coincidan.
• Tercero, gira la figura trasladada alrededor del vértice correspondiente hasta que un par de lados correspondientes coincidan.
• Cuarto, reflejar la figura rotada sobre este lado coincidente hasta que las figuras coincidan.

Si en algún momento no se puede completar el paso, los polígonos no son congruentes.

En la geometría euclidiana, la congruencia es equivalente a igualdad matemática en aritmética y álgebra. En geometría analítica, la congruencia puede ser definida así: dos figuras determinadas por puntos sobre un sistema y por de coordenadas cartesianas son congruentes si y solo si, la distancia euclidiana entre cualquier par de puntos de la primera figura es igual a la distancia euclidiana entre los puntos correspondientes de la segunda figura

Definición formal: Dos subconjuntos A y B de un espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ son llamados congruentes si existe una isometría ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ con ${\displaystyle f(A)=B}$.

Los ángulos opuestos son congruentes debido a que una rotación de 180° sobre su vértice hace coincidir uno y el otro.

• 
  Los ángulos ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$ son congruentes y opuestos por el vértice.
• 
  Una recta que corta dos paralelas generan ángulos congruentes.
• 
  Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.

Dos triángulos son congruentes cuando sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Simbólicamente, escribimos la congruencia e incongruencia de dos triángulos △ABC y △A′B′C′ como sigue:

${\displaystyle ABC\cong A'B'C'}$

${\displaystyle ABC\ncong A'B'C'}$

En muchos casos basta con establecer la igualdad de las tres partes correspondientes y utilizar uno de los siguientes resultados para deducir la congruencia de los dos triángulos.

Notación: Si dos triángulos ${\displaystyle \triangle ABC}$ y ${\displaystyle \triangle DEF}$ son congruentes, esto se notará como:

${\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF} }$

Los cuadriláteros naranja y verde son congruentes; el azul no lo es con ellos. Los tres tienen el mismo perímetro y área. (La ordenación de los lados del cuadrilátero azul es "mixta", lo que hace que dos de los ángulos interiores y una de las diagonales no sean congruentes).

Para que dos polígonos sean congruentes, deben tener el mismo número de lados (y, por tanto, el mismo número de vértices). Dos polígonos con n lados son congruentes si y sólo si cada uno tiene secuencias numéricamente idénticas (incluso en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el sentido contrario para el otro) lado-ángulo-lado-ángulo-... para n lados y n ángulos.

La congruencia de polígonos puede establecerse gráficamente de la siguiente manera:

• Primero, emparejar y etiquetar los vértices correspondientes de las dos figuras.
• En segundo lugar, dibuja un vector desde uno de los vértices de una de las figuras hasta el vértice correspondiente de la otra figura. Traslada la primera figura mediante este vector para que estos dos vértices coincidan.
• Tercero, gira la figura trasladada alrededor del vértice correspondiente hasta que un par de lados correspondientes coincidan.
• Cuarto, reflejar la figura rotada sobre este lado coincidente hasta que las figuras coincidan.

Si en algún momento no se puede completar el paso, los polígonos no son congruentes.

En sistema euclidiano, la congruencia es fundamental; es la contrapartida de la igualdad para los números. En geometría analítica, la congruencia puede definirse intuitivamente así: dos mapeados de figuras sobre un sistema de coordenadas cartesianas son congruentes si y sólo si, para dos puntos cualesquiera del primer mapeado, la distancia euclídea entre ellos es igual a la distancia euclídea entre los puntos correspondientes del segundo mapeado.

Una definición más formal establece que dos subconjuntos A y B del espacio euclídeo Rⁿ se llaman congruentes si existe una isometría f: Rⁿ → Rⁿ (un elemento del grupo euclídeo E(n)) con f(A) = B. La congruencia es una relación de equivalencia.

Dos secciones cónicas son congruentes si sus excentricidades y otro parámetro distinto que las caracteriza son iguales. Sus excentricidades establecen sus formas, cuya igualdad es suficiente para establecer la semejanza, y el segundo parámetro establece el tamaño. Dado que dos circunferencias, parábolas o hipérbolas rectangulares siempre tienen la misma excentricidad (0 en el caso de las circunferencias, 1 en el caso de las parábolas y ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ en el caso de las hipérbolas rectangulares), dos circunferencias, parábolas o hipérbolas rectangulares sólo necesitan tener otro parámetro común, que establezca su tamaño, para ser congruentes.

Para dos poliedros con el mismo tipo combinatorio (es decir, el mismo número E de aristas, el mismo número de caras, y el mismo número de lados en las caras correspondientes), existe un conjunto de medidas E que puede establecer si los poliedros son o no congruentes.[11][12] El número es ajustado, lo que significa que menos de E medidas no son suficientes si los poliedros son genéricos entre su tipo combinatorio. Pero menos medidas pueden funcionar para casos especiales. Por ejemplo, los cubos tienen 12 aristas, pero bastan 9 medidas para decidir si un poliedro de ese tipo combinatorio es congruente con un cubo regular dado.

Relaciones aritméticas entre ángulos:

• Ángulos complementarios
• Ángulos suplementarios
• Ángulos conjugados

Relaciones posicionales entre ángulos:

• Ángulos adyacentes
• Ángulos consecutivos
• Ángulos opuestos por el vértice
• Ángulos interiores y exteriores

Determinados por dos paralelas y una transversal

• Ángulos correspondientes
• Ángulos alternos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Congruencia.
• https://web.archive.org/web/20110905041903/http://www.uv.es/ivorra/Libros/Geometria.pdf
• The SSA en Cut-the-Knot.
• Esta obra contiene una traducción derivada de «Congruence (geometry)» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.