Conjetura de Buniakovski

Se necesita la primera condición porque si el coeficiente principal es negativo, entonces ${\displaystyle f(x)<0}$ para todos los ${\displaystyle x}$ suficientemente grandes y, por lo tanto, ${\displaystyle f(n)}$ no es un número primo (positivo) para los números enteros positivos grandes ${\displaystyle n}$. Esta condición simplemente satisface la convención de signos de que los números primos son positivos.

Se necesita la segunda condición porque si ${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$ donde los polinomios ${\displaystyle g(x)}$ y ${\displaystyle h(x)}$ tienen coeficientes enteros, entonces se tiene que ${\displaystyle f(n)=g(n)h(n)}$ para todos los enteros ${\displaystyle n}$; pero ${\displaystyle g(x)}$ y ${\displaystyle h(x)}$ toman los valores 0 y ${\displaystyle \pm 1}$ solo un número finito de veces, por lo que ${\displaystyle f(n)}$ es compuesto para todos los ${\displaystyle n}$ grandes.

La tercera condición, que los números ${\displaystyle f(n)}$ tengan máximo común divisor 1, es obviamente necesaria, pero es algo sutil y se comprende mejor con un contraejemplo. Considérese ${\displaystyle f(x)=x^{2}+x+2}$, que tiene un coeficiente principal positivo y es irreducible, y los coeficientes son coprimos entre sí; sin embargo, ${\displaystyle f(n)}$ es "par" para todos los enteros ${\displaystyle n}$, por lo que es primo solo un número finito de veces (es decir, cuando ${\displaystyle f(n)=2}$, de hecho, solo en ${\displaystyle n=0,-1}$).

En la práctica, la forma más sencilla de verificar la tercera condición es encontrar un par de números enteros positivos ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ de modo que ${\displaystyle f(m)}$ y ${\displaystyle f(n)}$ sean coprimos. Se describe una forma general de calcular el máximo común divisor de ${\displaystyle \{f(n)\}_{n\geq 1}.}$ Cualquier polinomio de valores enteros ${\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{d}x^{d}}$ se puede escribir sobre la base de polinomios de coeficientes binomiales:

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}{\binom {x}{1}}+\cdots +a_{d}{\binom {x}{d}}}$

donde cada ${\displaystyle a_{i}}$ es un número entero y ${\displaystyle {\text{mcd}}\{f(n)\}_{n\geq 1}\ =\ {\text{mcd}}(a_{0},a_{1},\dots ,a_{d}).}$

Para el ejemplo anterior, se tiene que:

${\displaystyle x^{2}-x+2=2{\binom {x}{2}}+2,}$

y los coeficientes de la segunda fórmula tienen máximo común divisor 2, lo que implica que ${\displaystyle x^{2}-x+2}$ tiene valores pares en los números enteros.

Usando esta fórmula del máximo común divisor, se puede probar que ${\displaystyle {\text{mcd}}\{f(n)\}_{n\geq 1}=1}$ si y solo si existen números enteros positivos ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ tales que ${\displaystyle f(m)}$ y ${\displaystyle f(n)}$ son coprimos.

Hasta la fecha, el único caso de la conjetura de Buniakovski que ha sido demostrado es el de polinomios de grado 1. Se trata del teorema de Dirichlet, que establece que cuando ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle m}$ son enteros coprimos, existen infinitos números primos ${\displaystyle p\equiv a{\pmod {m}}}$. Esta es la conjetura de Buniakovski para ${\displaystyle f(x)=a+mx}$ (o ${\displaystyle a-mx}$ si ${\displaystyle m<0}$). La tercera condición en la conjetura de Buniakovski para un polinomio lineal ${\displaystyle mx+a}$ es equivalente a que ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle m}$ sean coprimos.

No se ha probado un solo caso de la conjetura de Buniakovski para un grado mayor que 1, aunque la evidencia numérica en grados más altos es consistente con la conjetura.

Dados k≥1 polinomios con grados positivos y coeficientes enteros, cada uno satisfaciendo las tres condiciones, supóngase que para cualquier primo p existe un n tal que ninguno de los valores de los k polinomios en n son divisibles por p. Dados estos supuestos, se conjetura que hay infinitos números enteros positivos n tales que todos los valores de estos k polinomios en x=n son primos.

Debe tenerse en cuenta que los polinomios {x, x+ 2, x+ 4} no satisfacen el supuesto, ya que uno de sus valores debe ser divisible por 3 para cualquier número entero x=n. Tampoco {x, x²+ 2}, ya que uno de los valores debe ser divisible por 3 para cualquier x=n. Por otro lado, {x²+1, 3x-1, x²+x+41} satisfacen el supuesto, y la conjetura implica que los polinomios tienen valores primos simultáneos para infinitos números enteros positivos x=n.

Esta conjetura incluye como casos especiales la conjetura de los números primos gemelos (cuando k=2, y los dos polinomios son x y x+2) así como la infinitud de la existencia de cuadrupletes primos (cuando k=4, y los cuatro polinomios son x, x+2, x+6 y x+ 8), números primos sexies (cuando k=2, y los dos polinomios son x y x+6), números primos de Sophie Germain (cuando k=2, y los dos polinomios son x y 2x+1) y la conjetura de Polignac (cuando k=2, y los dos polinomios son x y x+a, con a cualquier número par). Cuando todos los polinomios tienen grado 1, entonces se trata de la conjetura de Dickson.

De hecho, esta conjetura es equivalente a la Conjetura de Dickson generalizada.

A excepción del Teorema de Dirichlet, no se ha probado ningún caso de la conjetura, incluidos los casos anteriores.

• Polinomio de valores enteros
• Criterio de irreducibilidad de Cohn
• Hipótesis H de Schinzel
• Conjetura de Bateman-Horn
• Conjetura F de Hardy y Littlewood

• Ed Pegg, Jr.. «Bouniakowsky conjecture». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Rupert, Wolfgang M. (1998-08-05). «Reducibility of polynomials f(x, y) modulo p». .
• Bouniakowsky, V. (1857). «Sur les diviseurs numériques invariables des fonctions rationnelles entières». Mém. Acad. Sc. St. Pétersbourg 6: 305-329.