Problemas de Landau

El teorema de Vinográdov demuestra la conjetura débil de Goldbach para los n suficientemente grandes. Deshouillers, Effinger, te Riele y Zinoviev demostraron la conjetura débil de forma condicional bajo la hipótesis generalizada de Riemann.[1] Se sabe que la conjetura débil se cumple para todo n fuera del intervalo ${\displaystyle (10^{20},e^{3100}).}$[1][2] Finalmente, a principios de 2013, esta conjetura fue rigurosamente demostrada por el matemático peruano Harald Helfgott, luego de 271 años desde su formulación.

El teorema de Chen demuestra que para todos los n suficientemente grandes, ${\displaystyle 2n=p+q}$ donde p es primo y q es primo o semiprimo. Montgomery y Vaughan demostraron que el conjunto excepcional de los números pares que no se pueden expresar como suma de dos primos tenía densidad cero.[3]

Goldston, Pintz y Yıldırım demostraron que la diferencia entre dos números primos consecutivos puede ser mucho menor que la diferencia media entre dos primos consecutivos:

${\displaystyle \liminf {\frac {p_{n+1}-p_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}$[4]

Anteriormente, demostraron condicionalmente una versión más débil de la conjetura de los números primos gemelos en la que existen infinitos números primos p tales que ${\displaystyle \pi (p+20)-\pi (p)\geq 1}$, bajo la conjetura de Elliott-Halberstam.[5] ${\displaystyle \pi (x)}$ es la función enumerativa de números primos. La conjetura de los primos gemelos sustituye el 20 de la expresión por 2.

Chen demostró que existen infinitos primos p (que posteriormente se dieron a conocer como números primos de Chen) tales que p+2 es primo o semiprimo.

Basta comprobar que, para cada número primo p, la diferencia con el siguiente número primo es menor que ${\displaystyle 2{\sqrt {p}}}$. Una tabla de diferencias maximales entre primos consecutivos muestra que la conjetura se verifica hasta 10¹⁸.[6] Un contraejemplo próximo a 10¹⁸ requeriría una diferencia entre un primo y el siguiente cincuenta millones de veces mayor que la diferencia media.

Un resultado de Ingham muestra que existe un número primo entre ${\displaystyle n^{3}}$ y ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ para cada n lo suficientemente grande.[7]

El teorema de Friedlander-Iwaniec muestra que hay infinitos números primos de la forma ${\displaystyle x^{2}+y^{4}}$. Iwaniec también señaló[8] que existen infinitos números de la forma ${\displaystyle n^{2}+1}$ con a lo sumo dos factores primos.