Mecánica de fluidos

La hipótesis del medio continuo es la hipótesis fundamental de la mecánica de fluidos y en general de toda la mecánica de medios continuos. En esta hipótesis se considera que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando por tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a esta. Con esta hipótesis se puede considerar que las propiedades del fluido (densidad, temperatura, etc.) son funciones continuas.[4]

La forma de determinar la validez de esta hipótesis consiste en comparar el camino libre medio de las moléculas con la longitud característica del sistema físico. Al cociente entre estas longitudes se le denomina número de Knudsen. Cuando este número adimensional es mucho menor a la unidad, el fluido en cuestión puede considerarse un medio continuo. En el caso contrario los efectos debidos a la naturaleza molecular de la materia no pueden ser despreciados y debe utilizarse la mecánica estadística para predecir el comportamiento de la materia. Ejemplos de situaciones donde la hipótesis del medio continuo no es válida pueden encontrarse en el estudio de los plasmas.[4]

Este concepto está muy ligado al del medio continuo y es sumamente importante en la mecánica de fluidos. Se llama partícula fluida a la masa elemental de fluido que en un instante determinado se encuentra en un punto del espacio. Dicha masa elemental ha de ser lo suficientemente grande como para contener un gran número de moléculas, y lo suficientemente pequeña como para poder considerar que en su interior no hay variaciones de las propiedades macroscópicas del fluido, de modo que en cada partícula fluida podamos asignar un valor a estas propiedades. Es importante tener en cuenta que la partícula fluida se mueve con la velocidad macroscópica del fluido, de modo que está siempre formada por las mismas moléculas. Así pues un determinado punto del espacio en distintos instantes de tiempo estará ocupado por distintas partículas fluidas.[2]

Al describir el movimiento de un fluido, existen dos puntos de vista. Una primera forma de hacerlo es seguir a cada partícula fluida en su movimiento, de manera que buscaremos unas funciones que nos den la posición, así como las propiedades de la partícula fluida en cada instante. Esta es la descripción lagrangiana.

Una segunda forma es asignar a cada punto del espacio y en cada instante, un valor para las propiedades o magnitudes fluidas sin importar qué partícula fluida ocupa, en ese instante, ese volumen diferencial. Esta es la descripción euleriana, que no está ligada a las partículas fluidas sino a los puntos del espacio ocupados por el fluido. En esta descripción el valor de una propiedad en un punto y en un instante determinado es el de la partícula fluida que ocupa dicho punto en ese instante.

La descripción euleriana es la más común, puesto que en la mayoría de casos y aplicaciones es más útil. Usaremos dicha descripción para la obtención de las ecuaciones generales de la mecánica de fluidos.[2]

Para fluido incompresible con densidad constante se requiere que el elemento de fluido tenga densidad constante al moverse solo por una línea de corriente, o sea que la derivada sustancial con respecto al tiempo sea cero.

• Forma integral: ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }\rho \;d\Omega +\int _{\partial \Omega }\rho (\mathbf {v\cdot n} )\ d\partial \Omega =0}$
• Forma diferencial: ${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} )=0}$

Supongamos un elemento de volumen con un fluido que se mueve en una dirección arbitraria a través de las seis caras del elemento de volumen. Es la ecuación de un vector con componentes para cada una de las tres direcciones coordenadas x, y o z. La cantidad de movimiento entra y sale del volumen de control en virtud de dos mecanismos: por convección (es decir, debido al flujo global del fluido) y por transporte molecular (o sea, a causa de los gradientes de velocidad). En la mayoría de los casos las únicas fuerzas importantes serán las procedentes de la presión del fluido p y la fuerza gravitacional por unidad de masa g. La presión de un fluido en movimiento está definida por la ecuación de estado p=f(p,T) y es una magnitud escalar. También hay que considerar la velocidad de acumulación de la cantidad de movimiento.

• Forma integral: ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }\rho \mathbf {v} \;d\Omega +\int _{\partial \Omega }\rho \mathbf {v} (\mathbf {v\cdot n} )\ d\partial \Omega =\int _{\partial \Omega }{\boldsymbol {\tau }}\mathbf {\cdot n} \ d\partial \Omega +\int _{\Omega }\rho \mathbf {f} d\Omega }$
• Forma diferencial: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \mathbf {v} \right)+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} )=-\nabla \mathbf {p} +\rho \mathbf {f} +\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}.}$

Analizando cada término de la ecuación de movimiento se obtiene que: la velocidad de aumento de cantidad de movimiento por unidad de volumen más la velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por convección por unidad de volumen son iguales a la fuerza de presión que actúa sobre el elemento por unidad de volumen menos la velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por transporte viscoso por unidad de volumen más la fuerza de gravitación que actúa sobre el elemento de volumen. Otra interpretación de los términos de la ecuación de movimiento surge de utilizar la derivada sustancial con lo que se obtiene que la masa por unidad de volumen multiplicada por aceleración es igual a la suma de la fuerza de presión sobre el elemento por unidad de volumen, fuerza viscosa sobre el elemento por unidad de volumen y la fuerza gravitacional sobre el elemento por unidad de volumen. Con lo que se concluye que un elemento de volumen que se mueve con el fluido es acelerado por las fuerzas que actúan sobre él. Por lo tanto el balance de cantidad de movimiento es una forma equivalente a la Segunda Ley de Newton. Es necesario tener en cuenta que las ecuaciones son válidas para medios continuos y que si se utiliza la derivada parcial corresponde al caso en el que el elemento se mueve a la velocidad del fluido. Cuando se reemplazan los esfuerzos cortantes por las leyes de viscosidad de Newton y se combina la ecuación de movimiento con la ecuación de continuidad, la variación de la viscosidad con la densidad, la ecuación de estado y las condiciones iniciales y límites se obtiene las ecuaciones diferencia que permiten describir la presión, densidad y componentes de velocidad punto a punto. Para viscosidad y densidad constante, la densidad queda fuera de la derivada y nos queda la Ecuación de Navier-Stokes, esta condición corresponde a fluido incompresible con divergencia del vector velocidad nula en la línea de corriente. Cuando los efectos viscosos son despreciables, la fuerza viscosa sobre el elemento de fluido por unidad de volumen puede considerarse nula y resulta la Ecuación de Euler.

• Forma integral: ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }\rho \left(e+{\frac {1}{2}}v^{2}\right)\;d\Omega +\int _{\partial \Omega }\rho \left(e+{\frac {1}{2}}v^{2}\right)\mathbf {v\cdot n} d\partial \Omega =\int _{\partial \Omega }\mathbf {n} \cdot \tau \cdot \mathbf {v} \;d\partial \Omega +\int _{\Omega }\rho \mathbf {f\cdot v} \;d\Omega -\int _{\partial \Omega }\mathbf {q\cdot n} \;d\partial \Omega }$
• Forma diferencial:${\displaystyle \rho {\frac {D}{Dt}}\left(e+{\frac {1}{2}}v^{2}\right)=-\nabla \cdot \left(p\mathbf {v} \right)+\nabla \cdot \left(\tau '\cdot \mathbf {v} \right)+\rho \mathbf {f\cdot v} +\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)}$

La fluidodinámica es una subdisciplina de la mecánica de fluidos que se ocupa del flujo de fluidos -la ciencia de los líquidos y los gases en movimiento.[21] La dinámica de fluidos ofrece una estructura sistemática -que subyace a estas disciplinas prácticas- que abarca leyes empíricas y semiempíricas derivadas de la medición del flujo y utilizadas para resolver problemas prácticos. La solución de un problema de dinámica de fluidos suele implicar el cálculo de varias propiedades del fluido, como la velocidad, la presión, la densidad y la temperatura, en función del espacio y el tiempo. Tiene varias subdisciplinas en sí misma, incluyendo la aerodinámica [22][23][24][25] (el estudio del aire y otros gases en movimiento) y la hidrodinámica [26][27] (el estudio de los líquidos en movimiento). La dinámica de fluidos tiene una amplia gama de aplicaciones, incluyendo el cálculo de fuerzas y movimientos en aviones, la determinación de la tasa de flujo de masa de petróleo a través de oleoductos, la predicción de la evolución de los patrones de clima, la comprensión de nebulosas en espacio interestelar y el modelado de explosiones. Algunos principios fluidodinámicos se utilizan en la ingeniería del tráfico y en la dinámica de multitudes.

• Falkovich, Gregory (2011), Fluid Mechanics (A short course for physicists), Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-00575-4, doi:10.1017/CBO9780511794353.
• Kundu, Pijush K.; Cohen, Ira M. (2008), Fluid Mechanics (4th revised edición), Academic Press, ISBN 978-0-12-373735-9.
• Currie, I. G. (1974), Fundamental Mechanics of Fluids, McGraw-Hill, Inc., ISBN 0-07-015000-1.
• Massey, B.; Ward-Smith, J. (2005), Mechanics of Fluids (8th edición), Taylor & Francis, ISBN 978-0-415-36206-1.
• Nazarenko, Sergey (2014), Fluid Dynamics via Examples and Solutions, CRC Press (Taylor & Francis group), ISBN 978-1-43-988882-7.