Especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo

En la especificación euleriana de un campo, este se representa como una función de la posición x y el tiempo t . Por ejemplo, la velocidad de flujo está representada por la función:

${\displaystyle \mathbf {u} \left(\mathbf {x} ,t\right).}$

Por otro lado, en la especificación lagrangiana, las parcelas de fluidos individuales se siguen a lo largo del tiempo. Las parcelas de fluidos se etiquetan mediante algún campo vectorial x₀, independiente del tiempo. A menudo, x₀ se elige para ser el centro de masa de las parcelas en algún tiempo inicial t₀. Se elige de esta manera particular para tener en cuenta los posibles cambios de la forma a lo largo del tiempo. Por lo tanto, el centro de masa es una buena opción de parametrización de la velocidad de flujo u de la parcela.[1] En la descripción de Lagrangian, el flujo se describe mediante la función

${\displaystyle \mathbf {X} \left(\mathbf {x} _{0},t\right),}$

dando la posición de la partícula seguida mediante x₀ en el tiempo t₀.

Las dos especificaciones se relacionan de la siguiente manera:[2]

${\displaystyle \mathbf {u} \left(\mathbf {X} (\mathbf {x} _{0},t),t\right)={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial t}}\left(\mathbf {x} _{0},t\right),}$

porque ambos lados describen la velocidad de la partícula etiquetada x₀ en el tiempo t.

Dentro de un sistema de coordenadas elegido, x₀ y x se denominan coordenadas lagrangianas y coordenadas eulerianas del flujo.

Las especificaciones lagrangianas y eulerianas de la cinemática y la dinámica del campo de flujo están relacionadas por la derivada material, también llamada derivada Lagrangiana, derivada de convección, derivada sustancial o derivada de la partícula.[1]

Se supone que se tiene un campo de flujo u , y también un campo genérico con la especificación Euleriana F(x , t). Ahora se podría preguntar sobre la tasa total de cambio de F que experimenta una parcela de flujo específica. Se puede calcular de la siguiente forma:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {F} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \nabla \right)\cdot \mathbf {F} ,}$

donde ∇ expresa el gradiente con respecto a x , y el operador u⋅∇ es el que debe aplicarse a cada componente de F. Esto indica que la tasa total de cambio de la función F como las parcela de fluido se mueve a través de un campo de flujo descrito por su especificación de Euler y u es igual a la suma de la tasa local de cambio y la tasa de cambio de convección F. Esto es una consecuencia de la regla de la cadena, ya que se está diferenciando la función F(X(x₀,t),t) con respecto a t.

Las leyes de conservación para una masa unitaria tienen una forma lagrangiana, que junto con la conservación masiva producen la conservación euleriana; por el contrario, cuando las partículas de fluido pueden intercambiar una cantidad de energía o impulso, solo existen leyes de conservación de Euler.[3]

• Dinámica de fluidos
• Línea de corriente
• Advección de contorno
• Sistema de referencia
• Conservación de la energía

• Batchelor, G.K. (1973), An introduction to fluid dynamics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3.
• Lamb, H. (1994) [1932], Hydrodynamics (6th edición), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9.
• Badin, G .; Crisciani, F. (2018). Formulación variacional de la dinámica de fluidos y fluidos geofísicos - Mecánica, simetrías y leyes de conservación - . Saltador. pag. 218. doi : 10.1007 / 978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5.
• Landau, Lev ; Lifshitz, EM (1987), Mecánica de fluidos, 2ª edición (Curso de física teórica, volumen 6) , Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0750627672
• Falkovich, Gregory (2011), Mecánica de fluidos (Un curso corto para físicos) , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-00575-4