Monodromía

Sea X conexo y conexo localmente, un espacio topológico con base en el punto x y sea ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$ una cubierta con fibra ${\displaystyle F=p^{-1}(x)}$. Para un bucle γ: [0, 1] → X en donde x, denota un levantamiento bajo el mapa de cobertura (desde un punto de ${\displaystyle {\tilde {x}}\in F}$) por ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$. Por último, denotamos por ${\displaystyle {\tilde {x}}\cdot \gamma }$ el extremo ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$, que es generalmente diferente de ${\displaystyle {\tilde {x}}}$. Hay teoremas que establecen que esta construcción da un grupo acción bien definido del grupo fundamental π₁(X, x) de F y que el estabilizador de ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ es exactamente ${\displaystyle p_{*}(\pi _{1}({\tilde {X}},{\tilde {x}}))}$, es decir, un elemento [γ] resuelve un punto de F si es representada por la imagen de un circuito en ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ en ${\displaystyle {\tilde {x}}}$. Esta acción se llama acción de monodromía y al correspondiente homomorfismo π ₁(X, x) → Aut (F) en el grupo de automorfismos de F, es la monodromía. La imagen de este homomorfismo es el grupo de monodromía.

Estas ideas se hicieron explicitadas primero en análisis complejo. En el proceso de Extensión analítica, una función que es analítica F(z) en un subconjunto abierto E del plano complejo perforado C \ {0} se puede hacer contíinua de reversa hacia E, pero con valores diferentes. Por ejemplo tomar

F(z) = log z

E = {z ∈ C: Re (z) > 0}

y luego extender analíticamente en sentido antihorario alrededor del círculo

|z| = 0.5

resultará en el retorno, no a F(z) sino

F(z) + 2 & pi;i.

En este caso el grupo de monodromía es cíclico infinito y el espacio de la cubierta es la cubierta universal del plano complejo pinchado. Esta cubierta puede ser visualizada como el helicoide (tal como se define en el artículo) restringido a ρ > 0. El mapa de cobertura es una proyección vertical, en un sentido que colapse la espiral en la manera obvia para obtener un plano perforado.

Una aplicación importante es a ecuación diferenciales, donde una sola solución puede dar más soluciones linealmente independientes por extensión analítica. Ecuaciones diferenciales lineales definidas en un conjunto abierto, conectado S en el plano complejo con un grupo de monodromía, que (más precisamente) es una representación lineal del grupo fundamental de S, resume todas las extensiones analíticas de bucles circundantes dentro de S. El problema inverso, de construir la ecuación (con singularidades regulares), dada una representación, se llama problema de Riemann–Hilbert.

Para un sistema lineal normal (y en particular Fuchsiano), uno elige generalmente como generadores del grupo de monodromía los operadores M_j correspondiente a los bucles que sortea uno de los polos del sistema en sentido contrario a las manecillas del reloj. Si los índices j se eligen de tal manera que aumentan de 1 a p + 1 cuando uno sortea el punto base en el sentido de las manecillas del reloj, entonces la relación única entre los generadores es la igualdad ${\displaystyle M_{1}...M_{p+1}=id}$. El problema Deligne–Simpson es el siguiente problema de realización: ¿para qué tuplas de clases conjugadas en GL (n, C) existen tuplas irreductibles de matrices M_j de estas clases que satisfagan la relación anterior? El problema ha sido formulado por Pierre Deligne, y Carlos Simpson fue el primero en obtener resultados hacia su resolución. Una versión aditiva del problema sobre los residuos de sistemas Fuchsianos ha sido formulada y explorado por Vladimir Kostov. Así, el problema ha sido considerado por otros autores para grupos matriciales diferentes a GL (n, C).[1]

En el caso de un mapa de cobertura, lo miramos como un caso especial de fibración y utilizamos la propiedad de elevación de homotopía para 'seguir ' caminos en el espacio base X (suponemos los caminos conectados por simplicidad) cuando se levantan en la cubierta C. Si circundamos un bucle basado en x en X, que levantamos para iniciar en c sobre x, terminaremos en algunos c * nuevamente por encima de x; es muy posible que c ≠ c *, y a este código se le considere la acción del grupo fundamental π₁(X, x) como un grupo de permutación en el conjunto de todos los c, como un grupo de monodromía en este contexto.

En geometría diferencial, desempeñan un papel análogo por transporte paralelo. En un fibrado principal B sobre una variedad diferenciable M, una conexión permite el movimiento 'horizontal' de fibras por encima de m en M a los adyacentes. El efecto cuando se aplica a los bucles basados en m, es que define un grupo holonomía de traslaciones de la fibra en m; si el grupo de estructura de B es G, este es un subgrupo de G que mide la desviación de B del producto fibrado M × G.

Sea F(x) que denote el campo de la funciones racionales en la variable x en el campo F, que es el campo de las fracciones del anillo de polinomios F[x]. Un elemento de y = f(x) de F(x) determina una extensión finita [F(x): F(y)].

Esta extensión suele ser no Galois pero tiene cierre de Galois L(f). El grupo de Galois asociado de la extensión [L(f): F(y)] se llama grupo de monodromía de la f.

En el caso F = C la teoría de superficie de Riemann hace presencia y permite la interpretación geométrica anterior. En el caso de que la extensión [C(x): C(y)] sea Galois, el grupo de monodromía asociado a veces se llama un grupo de transformaciones de la cubierta.

Esto tiene conexiones con la teoría de Galois de espacios recubridores hacia el teorema de existencia de Riemann.

• Grupo de trenzas
• Teorema de monodromía
• Asignación de grupo de clase (de un disco perforado)

• V.I. Danilov (2001), «Monodromy», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
• Monodromy en PlanetMath.