Número poligonal

En matemáticas, un número poligonal es un número natural que puede recomponerse en un polígono regular. Los matemáticos de la Antigüedad descubrieron que los números podían disponerse con ciertas formas cuando los representaban mediante piedras o semillas.

Números poligonales




Los cuatro primeros tipos de números poligonales: números triangulares, cuadrangulares, pentagonales y hexagonales

Números poligonales

El número 10 puede recomponerse como un triángulo (véase número triangular):

Sin embargo, el 10 no puede formar un cuadrado, pero el 9 sí (véase número cuadrado):

Algunos números, como el 36, pueden recomponerse tanto en un cuadrado como en un triángulo (véase número cuadrado triangular):

El método empleado para agrandar el polígono hasta el siguiente tamaño es extender dos brazos adyacentes por un punto y luego añadir los lados extra requeridos entre los puntos.

Fórmulas

Un número s-gonal se puede descomponer en s−2 números triangulares y en un número natural

Si $s$ es el número de lados de un polígono, la fórmula para el $n$ -ésimo número $s$ -gonal $P (s, n)$ es

P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}

o

P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n

El $n$ -ésimo número $s$ -gonal también está relacionado con los números triangulares $T n$ de la siguiente manera:

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.

Por lo tanto:

{\begin{aligned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{aligned}}

Para un número $s$ -gonal dado $P (s, n) = x$ , se puede encontrar $n$ mediante la fórmula

n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}

y a su vez se puede encontrar $s$ calculando

s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}

.

Cada número hexagonal es también un número triangular

Aplicando la fórmula anterior:

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n

al caso de 6 lados, se obtiene:

P(6,n)=4T_{n-1}+n

pero sabiendo que:

T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}

resulta:

P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}

Esto demuestra que el $n$ -'esimo número hexagonal $P (6, n)$ es también el $(2 n - 1)$ -ésimo número triangular $T 2 n -1$ . Se puede determinar la secuencia de los números hexagonales simplemente tomando los números triangulares impares:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

n-ésimo número poligonal

Si $l$ es el número de lados de un polígono, entonces la fórmula para el $n$ -ésimo número poligonal de $l$ lados es ${\tfrac {n((l-2)n-(l-4))}{2}}$ .

Nombre	Fórmula	n
Nombre	Fórmula	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Triangular	½n(1n + 1)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91
Cuadrado	½n(2n - 0)	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169
Pentagonal	½n(3n - 1)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	176	210	247
Hexagonal	½n(4n - 2)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	231	276	325
Heptagonal	½n(5n - 3)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	286	342	403
Octagonal	½n(6n - 4)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	341	408	481
Nonagonal	½n(7n - 5)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	396	474	559
Decagonal	½n(8n - 6)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	451	540	637
11-agonal	½n(9n - 7)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	506	606	715
12-agonal	½n(10n - 8)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	561	672	793
13-agonal	½n(11n - 9)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505	616	738	871
14-agonal	½n(12n - 10)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	671	804	949
15-agonal	½n(13n - 11)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595	726	870	1027
16-agonal	½n(14n - 12)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640	781	936	1105
17-agonal	½n(15n - 13)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685	836	1002	1183
18-agonal	½n(16n - 14)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	891	1068	1261
19-agonal	½n(17n - 15)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775	946	1134	1339
20-agonal	½n(18n - 16)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820	1001	1200	1417
21-agonal	½n(19n - 17)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865	1056	1266	1495
22-agonal	½n(20n - 18)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910	1111	1332	1573
23-agonal	½n(21n - 19)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955	1166	1398	1651
24-agonal	½n(22n - 20)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000	1221	1464	1729
25-agonal	½n(23n - 21)	1	25	72	142	235	351	491	652	837	1045	1276	1530	1807
26-agonal	½n(24n - 22)	1	26	75	148	245	366	511	680	873	1090	1331	1596	1885
27-agonal	½n(25n - 23)	1	27	78	154	255	381	532	708	909	1135	1386	1662	1963
28-agonal	½n(26n - 24)	1	28	81	160	265	396	553	736	945	1180	1441	1728	2041
29-agonal	½n(27n - 25)	1	29	84	166	275	411	574	764	981	1225	1496	1794	2119
30-agonal	½n(28n - 26)	1	30	87	172	285	426	595	792	1017	1270	1551	1860	2197

Propiedades

La siguiente tabla incluye algunas propiedades de las series definidas por los números poligonales. Son especialmente relevantes los resultados de la suma de los inversos de los números poligonales $\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{n_{i}}}$ . Los primeros 6 valores en la columna "suma de inversos", para números triangulares a octagonales, provienen de una solución publicada al problema general, que también da una fórmula general para cualquier número de lados, en términos de la función digamma.[1]

$s$	Nombre	Fórmula	Suma de los inversos[1][2]	número OEIS
3	Triangular	$1 / 2 (n 2 + n)$	2 ^[[1]]	A000217
4	Cuadrado	$1 / 2 (2 n 2 - 0 n) = n 2$	π²/6 ^[[1]]	A000290
5	Pentagonal	$1 / 2 (3 n 2 - n)$	$3 ln 3 - π \sqrt 3 / 3$ ^[[1]]	A000326
6	Hexagonal	$1 / 2 (4 n 2 - 2 n) = 2 n 2 - n$	$2 ln 2$ ^[[1]]	A000384
7	Heptagonal	$1 / 2 (5 n 2 - 3 n)$	${\begin{matrix}{\tfrac {2}{3}}\ln 5\\+{\tfrac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {\pi {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}{15}}\end{matrix}}$ ^[[1]]	A000566
8	Octagonal	$1 / 2 (6 n 2 - 4 n) = 3 n 2 - 2 n$	$3 / 4 ln 3 + π \sqrt 3 / 12$ ^[[1]]	A000567
9	Nonagonal	$1 / 2 (7 n 2 - 5 n)$		A001106
10	Decagonal	$1 / 2 (8 n 2 - 6 n) = 4 n 2 - 3 n$	$ln 2 + π / 6$	A001107
11	Hendecagonal	$1 / 2 (9 n 2 - 7 n)$		A051682
12	Dodecagonal	$1 / 2 (10 n 2 - 8 n)$		A051624
13	Tridecagonal	$1 / 2 (11 n 2 - 9 n)$		A051865
14	Tetradecagonal	$1 / 2 (12 n 2 - 10 n)$	$2 / 5 ln 2 + 3 / 10 ln 3 + π \sqrt 3 / 10$	A051866
15	Pentadecagonal	$1 / 2 (13 n 2 - 11 n)$		A051867
16	Hexadecagonal	$1 / 2 (14 n 2 - 12 n)$		A051868
17	Heptadecagonal	$1 / 2 (15 n 2 - 13 n)$		A051869
18	Octadecagonal	$1 / 2 (16 n 2 - 14 n)$	$4 / 7 ln 2 - \sqrt 2 / 14 ln (3 - 2 \sqrt 2)$ $+ π (1 + \sqrt 2) / 14$	A051870
19	Enneadecagonal	$1 / 2 (17 n 2 - 15 n)$		A051871
20	Icosagonal	$1 / 2 (18 n 2 - 16 n)$		A051872
21	Icosihenagonal	$1 / 2 (19 n 2 - 17 n)$		A051873
22	Icosidigonal	$1 / 2 (20 n 2 - 18 n)$		A051874
23	Icositrigonal	$1 / 2 (21 n 2 - 19 n)$		A051875
24	Icositetragonal	$1 / 2 (22 n 2 - 20 n)$		A051876
...	...	...	...	...
10000	Myriagonal	$1 / 2 (9998 n 2 - 9996 n)$		A167149

El OEIS evita los términos que usan prefijos griegos (por ejemplo, "octagonal") en favor de términos que usan números (es decir, "8-gonal").

Una propiedad de esta tabla se puede expresar mediante la siguiente identidad (consúltese A086270):

2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),

con

k=0,1,2,3,...,s-3.

Números multipoligonales

Algunos números, como el 36, que es tanto cuadrado como triangular, pertenece a dos conjuntos de números poligonales. El problema de determinar, dados dos conjuntos de este tipo, todos los números que pertenecen a ambos se puede resolver reduciendo el problema a una ecuación de Pell. El ejemplo más simple es la secuencia de números cuadrados triangulares.

La siguiente tabla resume el conjunto de números $s$ -gonales $t$ -gonales para valores pequeños de $s$ y $t$ .

$s$	$t$	Secuencia	Número OEIS
4	3	1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ...	A001110
5	3	1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465, …	A014979
5	4	1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ...	A036353
6	3	Todos los números hexagonales también son triangulares.	A000384
6	4	1, 1225, 1413721, 1631432881, 1882672131025, 2172602007770041, 2507180834294496361, 2893284510173841030625, 3338847817559778254844961, 3853027488179473932250054441, ...	A046177
6	5	1, 40755, 1533776805, …	A046180
7	3	1, 55, 121771, 5720653, 12625478965, 593128762435, 1309034909945503, 61496776341083161, 135723357520344181225, 6376108764003055554511, 14072069153115290487843091, …	A046194
7	4	1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, …	A036354
7	5	1, 4347, 16701685, 64167869935, …	A048900
7	6	1, 121771, 12625478965, …	A048903
8	3	1, 21, 11781, 203841, …	A046183
8	4	1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, …	A036428
8	5	1, 176, 1575425, 234631320, …	A046189
8	6	1, 11781, 113123361, …	A046192
8	7	1, 297045, 69010153345, …	A048906
9	3	1, 325, 82621, 20985481, …	A048909
9	4	1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, ...	A036411
9	5	1, 651, 180868051, …	A048915
9	6	1, 325, 5330229625, …	A048918
9	7	1, 26884, 542041975, …	A048921
9	8	1, 631125, 286703855361, …	A048924

En algunos casos, como $s = 10$ y $t = 4$ , no hay números en ambos conjuntos distintos del 1.

El problema de encontrar números que pertenezcan a tres conjuntos poligonales es más difícil. Una búsqueda por computadora de números triangulares cuadrados pentagonales ha arrojado solo el valor trivial de 1, aunque aún no se ha encontrado una prueba de que no exista algún número que pueda pertenecer a las tres clases.[3]

El número 1225 es hecatonicositetragonal ( $s = 124$ ), hexacontagonal ( $s = 60$ ), icosienneagonal ( $s = 29$ ), hexagonal, cuadrado y triangular.

El único conjunto poligonal que está contenido completamente en otro conjunto poligonal es el conjunto de números hexagonales, que está contenido en el conjunto de números triangulares.^{[cita requerida]}

Véase también

Referencias

«Archived copy». Archivado desde el original el 15 de junio de 2011. Consultado el 13 de junio de 2010.
«Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers». Archivado desde el original el 29 de mayo de 2013. Consultado el 6 de marzo de 2021.
Weisstein, Eric W. «Pentagonal Square Triangular Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Bibliografía

The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [ISBN 0-14-026149-4] (en inglés).

Weisstein, Eric W. «Polygonal numbers». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Datos: Q836270

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[siam_07-003s-1] «Archived copy». Archivado desde el original el 15 de junio de 2011. Consultado el 13 de junio de 2010.

[2] «Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers». Archivado desde el original el 29 de mayo de 2013. Consultado el 6 de marzo de 2021.

[3] Weisstein, Eric W. «Pentagonal Square Triangular Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.