Notación axial-angular

Un observador está situado sobre el suelo, y elige la dirección z negativa para representar la dirección de la gravedad. Si gira 90° a la izquierda, rotará π/2 radianes con respecto al eje z. Viendo la notación axial-angular como un par ordenado, este giro queda representado por

${\displaystyle (\mathrm {eje} ,\mathrm {\text{ángulo}} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\frac {\pi }{2}}\right).}$

El ejemplo anterior se puede representar como un vector de rotación con una magnitud de π/2 apuntando en la dirección z,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.}$

La aplicación exponencial efectúa una transformación de la notación axial-angular de las rotaciones a matrices de rotación,

${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)\,.}$

Esencialmente, al usar una serie de Taylor, se deduce una relación de forma cerrada entre estas dos notaciones. Dado un vector unidad ω ∈ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$(3) = ℝ³ que representa el eje de rotación unitario y un ángulo, θ ∈ ℝ, se da una matriz de rotación equivalente R como sigue, donde K es el producto vectorial de ω, es decir, Kv = ω × v para todos los vectores v ∈ ℝ³,

${\displaystyle R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots }$

Como K es asimétrico y la suma de los cuadrados de sus entradas diagonales superiores es 1, el polinomio característico de P(t) de K es P(t) = det(K − tI) = −(t³ + t). Dado que, por el teorema de Cayley-Hamilton, P(K) = 0, esto implica que

${\displaystyle \mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.}$

Como resultado, K⁴ = –K², K⁵ = K, K⁶ = K², K⁷ = –K.

Este patrón cíclico continúa indefinidamente, por lo que todas las potencias superiores de K se pueden expresar en términos de K y K². Así, de la ecuación anterior, se deduce que

${\displaystyle R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}\,,}$

es decir,

${\displaystyle R=I+(\operatorname {sen} \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\,.}$

Esta es una deducción del álgebra de Lie, en contraste con el concepto geométrico que conduce a la fórmula de rotación de Rodrigues.[1]

Debido a la existencia de la aplicación exponencial mencionada anteriormente, el vector unitario ω que representa el eje de rotación y el ángulo θ, a veces se denominan coordenadas exponenciales de la matriz de rotación R.

Sea K, que denota la matriz 3 × 3 definida para efectuar el producto cruzado con el eje de rotación ω: K(v) = ω × v para todos los vectores v.

Para recuperar la notación axial-angular a partir de una matriz de rotación, se debe calcular la traza de la matriz de rotación

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\operatorname {Tr} (R)-1}{2}}\right)}$

y luego calcular el eje normalizado,

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2\operatorname {sen} \theta }}{\begin{bmatrix}R(3,2)-R(2,3)\\R(1,3)-R(3,1)\\R(2,1)-R(1,2)\end{bmatrix}}~.}$

Téngase en cuenta también que el logaritmo de la matriz de rotación R es

${\displaystyle \log R={\begin{cases}0&{\text{si }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\operatorname {sen} \theta }}\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)&{\text{si }}\theta \neq 0{\text{ and }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}}$

Se produce una excepción cuando R tiene un autovalor igual a Plantilla:Num. En este caso, el registro no es único. Sin embargo, incluso en el caso donde θ = Π, la norma matricial del logaritmo es

${\displaystyle \|\log(R)\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {2}}|\theta |\,.}$

Dadas las matrices de rotación A y B,

${\displaystyle d_{g}(A,B):=\left\|\log \left(A^{\mathsf {T}}B\right)\right\|_{\mathrm {F} }}$

es la distancia geodésica en la variedad 3D de matrices de rotación.

Para pequeñas rotaciones, el cálculo anterior de θ puede ser numéricamente impreciso, ya que la derivada de la función (arc cos) tiende a infinito cuando θ → 0. En ese caso, los términos fuera del eje proporcionarán una mejor información sobre θ ya que, para ángulos pequeños, R ≈ I + θK (esto se debe a que estos son los dos primeros términos de la serie de Taylor para exp(θK)).

Esta formulación también tiene problemas numéricos en θ = π, donde los términos fuera del eje no proporcionan información sobre el eje de rotación (que todavía se define hasta una ambigüedad de signo). En ese caso, se debe reconsiderar la fórmula anterior.

${\displaystyle R=I+\mathbf {K} \operatorname {sen} \theta +\mathbf {K} ^{2}(1-\cos \theta )}$

En θ = π, tenemos

${\displaystyle R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I)=2{\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I}$

y así se llega a

${\displaystyle B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}(R+I)\,,}$

y por lo tanto, los términos diagonales de B son los cuadrados de los elementos de ω y los signos (hasta la ambigüedad de signos) se pueden determinar a partir de los signos de los términos fuera del eje de&nbspB.

La siguiente expresión transforma las coordenadas de la expresión axial-angular a versores (cuaterniones):

${\displaystyle Q=\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\operatorname {sen} {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$

Dado un versor q = s + x representado mediante su escalar s y el vector x, las coordenadas axiales-angulares se pueden extraer utilizando el procedimiento siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arccos s\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {x}{\operatorname {sen} {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{si }}\theta \neq 0\\0,&{\text{en caso contrario}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Una expresión más estable numéricamente del ángulo de rotación utiliza la función arcotangente de dos parámetros:

${\displaystyle \theta =2\operatorname {atan2} (|x|,s)\,,}$

donde | x | es la norma vectorial del 3-vector x.