Grupo de rotación SO(3)

El grupo SU(2) es isomórfico con respecto a los cuaterniones de norma unidad a través de una aplicación dada por

${\displaystyle q=a\mathbf {1} +b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =\alpha +j\beta \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}=U,\quad q\in \mathbb {H} ,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\quad U\in \mathrm {SU} (2).}$[5]

Identifíquese ahora ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ con el subespacio generado por ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$. Entonces se puede verificar que si ${\displaystyle v}$ está en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ y ${\displaystyle q}$ es un cuaternión unidad, entonces

${\displaystyle qvq^{-1}\in \mathbb {R} ^{3}}$.

Además, la aplicación ${\displaystyle v\mapsto qvq^{-1}}$ es una rotación de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, y ${\displaystyle (-q)v(-q)^{-1}}$ equivale a ${\displaystyle qvq^{-1}}$. Esto significa que hay un homomorfismo 2:1 de cuaterniones de norma unidad con respecto a SO(3).

Se puede resolver este homomorfismo explícitamente: el cuaternión unidad, q, con

${\displaystyle {\begin{aligned}q&{}=w+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z,\\1&{}=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2},\end{aligned}}}$

se asigna a la matriz de rotación

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.}$

Esta es una rotación alrededor del vector (x,y,z) según un ángulo 2θ, donde cos θ = w y |sin θ| = ||(x,y,z)||. El signo adecuado para sin θ está implícito, una vez que los signos de los componentes del eje son fijos. La naturaleza 2:1 es aparente, ya que tanto q como −q se asignan al mismo Q.

Proyección estereográfica desde la esfera de radio 1/2 desde el polo norte (x, y, z) = (0, 0, 1/2) sobre el plano M dado por z = −1/2 según las coordenadas (ξ, η), mostrada en sección transversal

La referencia general para esta sección es Gelfand, Minlos y Shapiro (1963). Los puntos P en la esfera S = {(x, y, z) ∈ ℝ³: x² + y² + z² = 1/4} pueden, a excepción del polo norte N, colocarse en una biyección uno a uno con los puntos S(P) = P´ en el plano M definido por z = −1/2 (véase la figura adjunta). La aplicación S se llama proyección estereográfica.

Denominando a las coordenadas en M como (ξ, η), la recta L que pasa por N y P se puede parametrizar como

${\displaystyle L(t)=N+t(N-P)=(0,0,1/2)+t((0,0,1/2)-(x,y,z)),\quad t\in \mathbb {R} .}$

Exigiendo que la coordenada z de ${\displaystyle L(t_{0})}$ sea igual a −1/2, se tiene que ${\displaystyle t_{0}={\frac {1}{z-{\frac {1}{2}}}}}$. Entonces, ${\displaystyle L(t_{0})=(\xi ,\eta ,-1/2)}$. De ahí que la aplicación

${\displaystyle S:\mathbf {S} \rightarrow M;\qquad P\mapsto P'}$

esté dada por

${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (\xi ,\eta )=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z}},{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right)\equiv \zeta =\xi +i\eta ,}$

donde, para mayor comodidad, el plano M se identifica con el plano complejo ℂ.

Para la aplicación inversa, considerando L como

${\displaystyle L=N+s(P'-N)=\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)+s\left(\left(\xi ,\eta ,-{\frac {1}{2}}\right)-\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)\right),}$

e imponiendo que x² + y² + z² = 1/4 para encontrar s = 1/1 + ξ² + η², y por lo tanto

${\displaystyle S^{-1}:M\rightarrow \mathbf {S}$ ;\qquad P'\mapsto P;\qquad (\xi ,\eta )\mapsto (x,y,z)=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right).}

Si g ∈ SO(3) es una rotación, entonces relacionará puntos en S con puntos en S por su acción estándar Π_s(g) en el espacio de incrustación ℝ³. Al componer esta acción con S se obtiene una transformación S ∘ Π_s(g) ∘ S⁻¹ de M,

${\displaystyle \zeta =P'\quad \mapsto \quad P\quad \mapsto \quad \Pi _{s}(g)P=gP\quad \mapsto \quad S(gP)\equiv \Pi _{u}(g)\zeta =\zeta '.}$

Por lo tanto, Π_u(g) es una transformación de ℂ asociada a la transformación Π_s(g) de ℝ³.

Resulta que g ∈ SO(3) representado de esta manera por Π_u(g) puede expresarse como una matriz Π_u(g) ∈ SU(2) (donde la notación se modifica para usar el mismo nombre para la matriz que para la transformación de ℂ que representa). Para identificar esta matriz, considérese primero una rotación g_φ sobre el eje z a través de un ángulo φ,

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \varphi -y\sin \varphi ,\\y'&=x\sin \varphi +y\cos \varphi ,\\z'&=z.\end{aligned}}}$

Por lo tanto

${\displaystyle \zeta '={\frac {x'+iy'}{{\frac {1}{2}}-z'}}={\frac {e^{i\varphi }(x+iy)}{{\frac {1}{2}}-z}}=e^{i\varphi }\zeta ={\frac {e^{\frac {i\varphi }{2}}\zeta +0}{0\zeta +e^{-{\frac {i\varphi }{2}}}}},}$

que, como era de esperar, es una rotación en el plano complejo. De manera análoga, si g_θ es una rotación sobre el eje x a través de θ y su ángulo, entonces

${\displaystyle w'=e^{i\theta }w,\quad w={\frac {y+iz}{{\frac {1}{2}}-x}},}$

que, después de un poco de álgebra, se convierte en

${\displaystyle \zeta '={\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}\zeta +i\sin {\frac {\theta }{2}}}{i\sin {\frac {\theta }{2}}\zeta +\cos {\frac {\theta }{2}}}}.}$

Estas dos rotaciones, g_φ, g_θ, corresponden a transformaciones bilineales de ℝ² ≃ ℂ ≃ M, es decir, son ejemplos de transformaciones de Möbius.

Una transformación general de Möbius está dada por

${\displaystyle \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }},\quad \alpha \delta -\beta \gamma \neq 0.}$.

Las rotaciones, g_φ, g_θ generan todo SO(3) y las reglas de composición de las transformaciones de Möbius muestran que cualquier composición de g_φ, g_θ se traduce a la composición correspondiente de las transformaciones de Möbius. Las transformaciones de Möbius se pueden representar mediante matrices.

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{matrix}}\right),\quad \quad \alpha \delta -\beta \gamma =1,}$

ya que un factor común de α, β, γ, δ se cancela.

Por la misma razón, la matriz no está definida de manera única ya que la multiplicación por −I no tiene efecto ni en el determinante ni en la transformación de Möbius. La ley de composición de las transformaciones de Möbius sigue la de las matrices correspondientes. La conclusión es que cada transformación de Möbius corresponde a dos matrices g, −g ∈ SL(2, ℂ).

Usando esta correspondencia, se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{u}(g_{\varphi })&=\Pi _{u}\left[\left({\begin{matrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{matrix}}\right)\right]=\pm \left({\begin{matrix}e^{i{\frac {\varphi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\varphi }{2}}}\end{matrix}}\right),\\\Pi _{u}(g_{\theta })&=\Pi _{u}\left[\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{matrix}}\right)\right]=\pm \left({\begin{matrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{matrix}}\right).\end{aligned}}}$

Estas matrices son unitarias y por lo tanto Π_u(SO(3)) ⊂ SU(2) ⊂ SL(2, ℂ). En términos de los ángulos de Euler[nb 1] se encuentra para una rotación general que

y se tiene que[6]

Para el proceso contrario, considérese una matriz general

${\displaystyle \pm \Pi _{u}(g_{\alpha ,\beta })=\pm \left({\begin{matrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{matrix}}\right)\in \mathrm {SU} (2).}$

Haciendo las sustituciones

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {\theta }{2}}&=|\alpha |,\quad \sin {\frac {\theta }{2}}=|\beta |,\quad (0\leq \theta \leq \pi ),\\{\frac {\varphi +\psi }{2}}&=\arg \alpha ,\quad {\frac {\psi -\varphi }{2}}=\arg \beta .\end{aligned}}}$

Con las sustituciones, Π(g_{α, β}) se asume la forma del lado derecho de la (2), que corresponde bajo Π_u a una matriz en la forma del lado derecho de la (1) con el mismo φ, θ, ψ. En términos de los parámetros complejos α, β,

${\displaystyle g_{\alpha ,\beta }=\left({\begin{matrix}{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}})&{\frac {i}{2}}(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}})&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}})&{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}})&-i(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }})\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta )&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{matrix}}\right).}$

Para verificar este resultado, se sustituyen por α. β los elementos de la matriz en el lado derecho de la (2). Después de alguna manipulación, la matriz asume la forma del lado derecho de la (1).

De forma explícita, en términos de los ángulos de Euler, queda claro que la aplicación p:SU(2) → SO(3);Π_u(±g_αβ) ↦ g_αβ que se acaba de describir es un homomorfismo de grupos de relación 2:1 y diferenciable. Por lo tanto, es una descripción explícita del recubrimiento universal de SO(3) sobre el grupo de recubrimiento universal SU(2).

En la representación de álgebras de Lie, el grupo SO(3) es compacto y simple de rango 1, por lo que tiene un solo elemento de Casimir independiente, una función invariante cuadrática de los tres generadores que conmuta con todos ellos. La fórmula de Killing para el grupo de rotación es solo la delta de Kronecker, y por lo tanto, este invariante de Casimir es simplemente la suma de los cuadrados de los generadores, ${\displaystyle J_{x},\,J_{y},\,J_{z}}$, del álgebra

${\displaystyle [J_{\mathbf {x} },J_{\mathbf {y} }]=J_{\mathbf {z} },\quad [J_{\mathbf {z} },J_{\mathbf {x} }]=J_{\mathbf {y} },\quad [J_{\mathbf {y} },J_{\mathbf {z} }]=J_{\mathbf {x} }.}$

Es decir, el invariante de Casimir está dado por

${\displaystyle J^{2}\equiv {\boldsymbol {J\cdot J}}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\propto I~.}$

Para las representaciones de D^j irreducible unitario, los valores propios de este invariante son reales y discretos, y caracterizan cada representación, que es una dimensión finita, de dimensión 2j + 1. Es decir, los valores propios de este operador de Casimir son

${\displaystyle J^{2}=-j(j+1)~I_{2j+1}~,}$

donde j es un número entero o medio entero, y se conoce como espín o momento angular.

Por lo tanto, los generadores de 3 × 3 L mostrados actúan sobre la representación del triplete (giro 1), mientras que los de 2 × 2 (t) actúan sobre la representación del doblete (spin-½). Al tomar los productos de Kronecker de D^1/2 consigo mismo repetidamente, se pueden construir todas las representaciones irreducibles más altas de D^j. Es decir, los generadores resultantes para sistemas de espín superiores en tres dimensiones espaciales, para j arbitrariamente grande, se pueden calcular utilizando estos espines y operadores escalera.

Para cada una de las representaciones irreducibles D^j hay una equivalente, D^−j−1. Todas las representaciones irreducibles de dimensión infinita deben ser no unitarias, ya que el grupo es compacto.

En mecánica cuántica, el invariante de Casimir es el operador momento angular-al cuadrado; los valores enteros del giro j caracterizan la representación bosónica, mientras que los valores de medio entero caracterizan la representación de los fermiones, respectivamente. Las matrices antihermíticas utilizadas anteriormente se emplean para definir espines después de ser multiplicadas por i, pasando a ser hermíticas (como las matrices de Pauli). Así, en esta notación,

${\displaystyle [J_{\mathbf {x} },J_{\mathbf {y} }]=iJ_{\mathbf {z} },\quad [J_{\mathbf {z} },J_{\mathbf {x} }]=iJ_{\mathbf {y} },\quad [J_{\mathbf {y} },J_{\mathbf {z} }]=iJ_{\mathbf {x} }.}$

y por lo tanto

${\displaystyle J^{2}=j(j+1)~I_{2j+1}~.}$

Las expresiones explícitas para estos D^j son,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J_{z}^{(j)}\right)_{ba}&=(j+1-a)~\delta _{b,a}\\\left(J_{x}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2}}(\delta _{b,a+1}+\delta _{b+1,a}){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\left(J_{y}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2i}}(\delta _{b,a+1}-\delta _{b+1,a}){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\&1\leq a,b\leq 2j+1~,\end{aligned}}}$

para j arbitrario.

Por ejemplo, las matrices de espín resultantes para el espín 1, espín 3/2 y espín 5/2 son:

Para ${\displaystyle j=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\J_{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\\J_{z}&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

(Téngase en cuenta, sin embargo, cómo estas expresiones figuran en una base equivalente, pero diferente, la base esférica, que las i L anteriores en la base cartesiana.[nb 3])

Para ${\displaystyle j=\textstyle {\frac {3}{2}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\J_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\J_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Para ${\displaystyle j=\textstyle {\frac {5}{2}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\J_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\J_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

y así sucesivamente.

Las álgebras de Lie so(3) y su(2) son isomorfas. Una base para su(2) está dada por[10]

${\displaystyle t_{1}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix}},\quad t_{2}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},\quad t_{3}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-i&0\\0&i\end{bmatrix}}.}$

Estas expresiones están relacionadas con las matrices de Pauli por t_i ↔ 1/2iσ_i. Las matrices de Pauli se ajustan a la convención de la física para las álgebras de Lie. En esa convención, los elementos del álgebra de Lie se multiplican por i, la aplicación exponencial (véase más adelante) se define con un factor extra de i en el exponente y las constantes de estructura siguen siendo las mismas, pero su definición adquiere un factor de i. Asimismo, las relaciones de conmutación adquieren un factor de i. Las relaciones de conmutación para t_i son

${\displaystyle [t_{i},t_{j}]=\varepsilon _{ijk}t_{k},}$

donde ε_ijk es el símbolo totalmente antisimétrico con ε₁₂₃ = 1. El isomorfismo entre so(3) y su(2) se puede configurar de varias maneras. Para mayor simplicidad, so(3) y su(2) se identifican mediante una aplicación

${\displaystyle L_{x}\leftrightarrow t_{1},\quad L_{y}\leftrightarrow t_{2},\quad L_{z}\leftrightarrow t_{3},}$

extendiéndose por la linealidad.