Operación (matemática)

Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular, conocido como el orden de prioridad o el orden de precedencia de las operaciones. Primero se calculan los valores de las expresiones encerradas en signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), luego las de exponenciaciones, luego las multiplicaciones y divisiones y, por último, las sumas y las restas.

La relación de igualdad (=) es:

• reflexiva: ${\displaystyle \,a=a}$
• simétrica: si ${\displaystyle \,a=b}$ entonces ${\displaystyle \,b=a}$
• transitiva: si ${\displaystyle \,a=b}$ y ${\displaystyle \,b=c}$ entonces ${\displaystyle \,a=c}$

La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:

• si ${\displaystyle \,a=b}$ y ${\displaystyle \,c=d}$ entonces ${\displaystyle \,a+c=b+d}$ y ${\displaystyle \,ac=bd}$
• si ${\displaystyle \,a=b}$ entonces ${\displaystyle \,a+c=b+c}$
• si dos símbolos son iguales, entonces uno puede ser sustituido por el otro.
• regularidad de la suma: trabajando con números reales o complejos sucede que si ${\displaystyle \,a+c=b+c}$ entonces ${\displaystyle \,a=b}$.
• regularidad condicional de la multiplicación: si ${\displaystyle \,a\cdot c=b\cdot c}$ y ${\displaystyle \,c}$ no es cero, entonces ${\displaystyle \,a=b}$ .

La relación de desigualdad (<) tiene las siguientes propiedades:

• de transitividad: si ${\displaystyle \,a<b}$ y ${\displaystyle \,b<c}$ entonces ${\displaystyle \,a<c}$
• si ${\displaystyle \,a<b}$ y ${\displaystyle \,c<d}$ entonces ${\displaystyle \,a+c<b+d}$
• si ${\displaystyle \,a<b}$ y ${\displaystyle \,c>0}$ entonces ${\displaystyle \,ac<bc}$
• si ${\displaystyle \,a<b}$ y ${\displaystyle \,c<0}$ entonces ${\displaystyle \,bc<ac}$

En el producto y en el cociente de números positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas:

${\displaystyle {\begin{cases}+\cdot -=-\\+\cdot +=+\\-\cdot -=+\\-\cdot +=-\\\end{cases}}}$

Diremos que ${\displaystyle f_{}^{}}$ es una operación n-aria en el conjunto ${\displaystyle A_{}^{}}$, si:

${\displaystyle f:A_{}^{n}\to A}$

a ${\displaystyle n_{}^{}\in \mathbb {N} }$ se le llama la ariedad o anidad.

Una operación es binaria cuando ${\displaystyle n}$ es igual a dos:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\star$ :&\;A\times B&\to &C\\&(a,b)&\to &c=a\star b\end{array}}}

y también:

${\displaystyle a\star b\;\to \;c}$

${\displaystyle (a,b)\;{\xrightarrow {\star }}\;c}$

${\displaystyle \star (a,b)\;\to \;c}$

Ejemplo:

En el conjunto de los números naturales, ${\displaystyle \mathbb {N} }$, la operación de adición: ${\displaystyle +:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} }$, ${\displaystyle (N,+)\,}$, con las diferentes expresiones:

1. ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {N} ,\quad a+b\to c}$
2. ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {N} ,\quad (a,b)\;{\xrightarrow {+}}\;c}$
3. ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {N} ,\quad +(a,b)\;\to \;c}$

donde a y b son los sumandos y c el resultado de la suma.

Una operación unaria, con un solo parámetro:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\star$ :&\;A&\to &B\\&a&\to &b=\star (a)\end{array}}}

también suelen denominarse funciones.

Ejemplos:

• Dado el conjunto de los números naturales ${\displaystyle \mathbb {N} }$, la operación unaria incremento o siguiente, como:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}in:&\;N&\to &N\\&a&\to &b=in(a)\end{array}}}$

Donde:

${\displaystyle in(n)=n+1\;:\;n\in \mathbb {N} }$

• Dado el conjunto de los números enteros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, la operación opuesto, como:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}op:&\;Z&\to &Z\\&a&\to &b=op(a)\end{array}}}$

esto es:

${\displaystyle op(e)=-e\;:\;e\in \mathbb {Z} }$

Una operación 0-aria es cuando tenemos una operación ${\displaystyle f:A^{0}\to A}$ es decir:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\star$ :&\;\{\emptyset \}&\to &A\\&\emptyset &\to &b=\star (\emptyset )\end{array}}}

Ejemplo: Una operación nularia suele devolver constantes, por ejemplo el valor de pi:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}pi:&\;\{\emptyset \}&\to &R\\&\emptyset &\to &a=pi(\emptyset )\end{array}}}$

Que asigna a a el valor real del número pi.

• Una operación que designa un elemento distinguido de ${\displaystyle A_{}^{}}$, en teoría de grupos sería el elemento neutro de un grupo.[2][3]

Una ley de composición externa sobre un conjunto A con un conjunto B es una aplicación:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\star$ :&\;B\times A&\to &A\\&(a,b)&\to &c=a\star b\end{array}}}

esta aplicación se dice que es una operación externa.

Ejemplo: Dado el conjunto ${\displaystyle V_{2}\;}$ de los vectores en el plano y el conjunto de escalares ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de números reales, tenemos que el producto de un número real por un vector en el plano es un vector en el plano:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\cdot$ :&R\times V_{2}&\to &V_{2}\\&(a,{\vec {v}})&\to &{\vec {u}}=a\cdot {\vec {v}}\end{array}}}

Dado el vector:

${\displaystyle {\vec {v}}=3i+6j\;}$

Si lo multiplicamos por un escalar 3:

${\displaystyle 3\cdot {\vec {v}}=3\cdot (3i+6j)=(9i+18j)={\vec {u}}}$

podemos ver que los dos vectores son del plano:

${\displaystyle (3i+6j),(9i+18j)\in V_{2}}$

Partiendo de los conjuntos A y B distintos, y una aplicación:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\star$ :&A\times A&\to &B\\&(a,b)&\to &c=a\star b\end{array}}}

se dice que también es una ley de composición externa. Por ejemplo el Producto escalar de dos vectores en el plano, da como resultado un número real, esto es:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\circ$ :&V_{2}\times V_{2}&\to &R\\&({\vec {u}},{\vec {v}})&\to &a={\vec {u}}\circ {\vec {v}}\end{array}}}

Tomando los vectores del plano:

${\displaystyle {\vec {u}}=(x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle {\vec {v}}=(x_{2},y_{2})}$

Y siendo su producto escalar:

${\displaystyle {\vec {u}}\circ {\vec {v}}=(x_{1},y_{1})\circ (x_{2},y_{2})=x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2}}$

Que da por resultado un número real, veamos un ejemplo numérico:

${\displaystyle {\vec {u}}=(3,6)}$

${\displaystyle {\vec {v}}=(5,2)}$

Operando

${\displaystyle {\vec {u}}\circ {\vec {v}}=(3,6)\circ (5,2)=3\cdot 5+6\cdot 2=15+12=27}$