Parámetro

• En una sección sobre palabras mal utilizadas con frecuencia en su libro The Writer's Art, James J. Kilpatrick citó una carta de un corresponsal, dando ejemplos para ilustrar el uso correcto de la palabra parámetro:

WM Woods ... un matemático ... escribe ... "... una variable es una de las muchas cosas que un parámetro no es". ... La variable dependiente, la velocidad del automóvil, depende de la variable independiente, la posición del pedal del acelerador.

[Kilpatrick citando a Woods] "Ahora ... los ingenieros ... cambian los brazos del accionamiento de la palanca ... la velocidad del automóvil ... aún dependerá de la posición del pedal ... pero en una ... manera diferente. Has cambiado un parámetro"

• Un ecualizador paramétrico es un filtro de audio que permite que un control establezca la frecuencia de corte o realce máximos, y el tamaño del corte o del realce. Estos ajustes, el nivel de la frecuencia del pico o del valle, son dos de los parámetros de una curva de respuesta de frecuencia, y en un ecualizador de dos controles describen completamente la curva. Los ecualizadores paramétricos más elaborados pueden permitir que se varíen otros parámetros, como el sesgo. Cada uno de estos parámetros describe algún aspecto de la curva de respuesta vista en su conjunto, en todas las frecuencias. Un ecualizador gráfico proporciona controles de nivel individuales para varias bandas de frecuencia, cada una de las cuales actúa solo en esa banda de frecuencia en particular.
• Si se imagina la gráfica de la relación y = ax², normalmente se visualiza un rango de valores de x, pero solo un valor de a. Por supuesto, se puede usar un valor diferente de a, generando una relación diferente entre x e y. Por lo tanto, a es un parámetro: es menos variable que las variables x o y, pero no es una constante explícita como el exponente 2. Más precisamente, cambiar el parámetro (a) genera un problema diferente (aunque relacionado), mientras que las variaciones de las variables x e y (y su interrelación) son parte del problema en sí.
• Al calcular el ingreso basado en el salario y las horas trabajadas (el ingreso es igual al salario multiplicado por las horas trabajadas), generalmente se supone que el número de horas trabajadas se cambia fácilmente, pero el salario es más estático. Esto hace que el salario sea un parámetro, las horas trabajadas una variable independiente y el ingreso una variable dependiente.

En el contexto de un modelo matemático, como una distribución de probabilidad, Bard describió la distinción entre variables y parámetros de la siguiente manera:

Nos referimos a las relaciones que supuestamente describen una determinada situación física, como un modelo. Por lo general, un modelo consta de una o más ecuaciones. Las cantidades que aparecen en las ecuaciones las clasificamos en variables y parámetros. La distinción entre estos no siempre es clara, y con frecuencia depende del contexto en el que aparecen las variables. Por lo general, un modelo está diseñado para explicar las relaciones que existen entre cantidades que pueden medirse independientemente en un experimento (las variables del modelo). Sin embargo, para formular estas relaciones, con frecuencia se introducen "constantes" que representan las propiedades inherentes de la naturaleza (o de los materiales y equipos utilizados en un experimento dado). Estos son los parámetros.[4]

En geometría analítica, las curvas a menudo se dan como la imagen de alguna función. El argumento de la función se llama invariablemente "el parámetro". Un círculo de radio 1 centrado en el origen se puede especificar en más de una forma:

• Forma implícita, la curva incluye todos los (x, y) que satisfacen la relación

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

• Forma paramétrica, la curva incluye todos los puntos (cos (t), sin (t)), cuando t varía sobre algún conjunto de valores, como [0, 2π) o (-∞, ∞)

${\displaystyle (x,y)=(\cos \;t,\sin \;t)}$

donde t es el parámetro.

Por lo tanto, estas ecuaciones, que podrían llamarse funciones en otros lugares, están en geometría analítica caracterizadas como ecuaciones paramétricas y las variables independientes se consideran parámetros.

En el análisis matemático, a menudo se consideran integrales que dependen de un parámetro. Estas son de la forma

${\displaystyle F(t)=\int _{x_{0}(t)}^{x_{1}(t)}f(x;t)\,dx.}$

En esta fórmula, t es a la vez el argumento de la función F, y en el lado derecho el parámetro del que depende la integral. Al evaluar la integral, t se mantiene constante, por lo que se considera un parámetro. Si se quiere conocer el valor de F para diferentes valores de t, entonces se debe considerar que t es una variable. La cantidad x es una variable ficticia o una variable de integración (de manera confusa, a veces también llamada parámetro de integración).

En estadística y econometría, el marco de probabilidad anterior aún se mantiene, pero la atención se desplaza hacia la estimación de los parámetros de una distribución basada en datos observados, o para probar hipótesis sobre ellos. En la inferencia frecuentista, los parámetros se consideran "fijos pero desconocidos", mientras que en la estimación bayesiana se tratan como variables aleatorias, y su incertidumbre se describe como una distribución.

En la teoría de la estimación estadística, los términos "estadística" o estimador hacen referencia a muestras, mientras que "parámetro" o estimando se refieren a las poblaciones de donde se toman las muestras. Una estadística es una característica numérica de una muestra que se puede usar como una estimación del parámetro correspondiente, la característica numérica de la población de la que se extrajo la muestra.

Por ejemplo, la muestra promedio (estimador), denotada ${\displaystyle {\overline {X}}}$, se puede utilizar como una estimación del parámetro medio (estimado), denotado μ, de la población de la que se extrajo la muestra. De manera similar, la varianza de la muestra (estimador), denotada S², puede usarse para estimar el parámetro de varianza (estimado), denotado σ², de la población de la cual se extrajo la muestra.(aunque debe tenerse en cuenta que la desviación estándar de la muestra (S) no es una estimación imparcial de la desviación estándar de la población (σ): consúltese el artículo dedicado a laestimación imparcial de la desviación estándar).

Es posible hacer inferencias estadísticas sin suponer una familia paramétrica particular de distribuciones de probabilidad. En ese caso, se habla de estadísticas no paramétricas en oposición a las estadísticas paramétricas que se acaban de describir.[5] Por ejemplo, una prueba basada en el coeficiente de correlación de rango de Spearman se llamaría no paramétrica, ya que la estadística se calcula a partir del orden de rango de los datos sin tener en cuenta sus valores reales (y, por lo tanto, independientemente de la distribución de la que se muestrearon), mientras que los basados en el coeficiente de correlación momento-producto de Pearson son pruebas paramétricas, ya que se calcula directamente a partir de los valores de los datos y, por lo tanto, estima el parámetro conocido como una correlación de la población.[6]

Todas estas trazas representan distribuciones de Poisson, pero con valores diferentes para el parámetro λ

En la teoría de la probabilidad, se puede describir la distribución de una variable aleatoria como perteneciente a una familia de distribuciones de probabilidad, distinguidas entre sí por los valores de un número finito de parámetros. Por ejemplo, se habla de "una distribución de Poisson con valor medio λ". La función que define la distribución (la función de masa de probabilidad) es:

${\displaystyle f(k;\lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}.}$

Este ejemplo ilustra muy bien la distinción entre constantes, parámetros y variables. Aquí, e es el número de Euler, una constante matemática fundamental. El parámetro λ es el número medio de observaciones de algún fenómeno en cuestión, una propiedad característica del sistema. k es una variable, en este caso el número de ocurrencias del fenómeno realmente observado a partir de una muestra particular. Si se quiere saber la probabilidad de observar k₁ ocurrencias, se conecta a la función para obtener ${\displaystyle f(k_{1};\lambda )}$. Sin alterar el sistema, es posible tomar múltiples muestras, que tendrán un rango de valores de k, pero el sistema siempre se caracteriza por el mismo λ.

Por ejemplo, supóngase que se tiene una muestra radiactiva que emite, en promedio, cinco partículas cada diez minutos, se toman medidas de cuántas partículas emite la muestra durante períodos de diez minutos. Las mediciones exhiben diferentes valores de k, y si la muestra se comporta de acuerdo con las estadísticas de Poisson, entonces cada valor de k aparecerá en una proporción dada por la función de masa de probabilidad anterior. Sin embargo, de medición en medición, λ permanece constante en 5. Si no se modifica el sistema, entonces el parámetro λ no cambia de una medición a otra; si, por otro lado, se modula el sistema reemplazando la muestra por una más radiactiva, entonces el parámetro λ aumentaría.

Otra distribución común es la distribución normal, que tiene como parámetros la media μ y la varianza σ².

En estos ejemplos anteriores, las distribuciones de las variables aleatorias están completamente especificadas por el tipo de distribución, es decir Poisson o normal, y los valores de los parámetros, es decir, la media y la varianza. En tal caso, se tiene una distribución parametrizada.

Es posible utilizar la secuencia de momentos (media, media cuadrática,...) o acumulados (media, varianza,...) como parámetros para una distribución de probabilidad (véase parámetros estadísticos).[7]