Parámetro estadístico

Son valores que suelen situarse cerca del centro de la distribución de datos. Los más destacados son las medias o promedios (incluyendo la media aritmética, la media geométrica y la media armónica), la mediana y la moda.

La estatura media como resumen de una población homogénea (abajo) o heterogénea (arriba).

La media muestral o media aritmética es, probablemente, uno de los parámetros estadísticos más extendidos.[12] Sus propiedades son:[13]

• Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.
• Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}{\overline {x}}}{n}}={\overline {x}}-{\overline {x}}=0}$

• Minimiza las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de cualquier valor prefijado, esto es, el valor de ${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-k)^{2}}{n}}}$ es mínimo cuando ${\displaystyle k={\overline {x}}}$. Este resultado se conoce como Teorema de König. Esta propiedad permite interpretar uno de los parámetros de dispersión más importantes: la varianza.

• Se ve afectada por transformaciones afines (cambios de origen y escala), esto es, si

${\displaystyle x_{i}'=ax_{i}+b}$ entonces ${\displaystyle {\overline {x'}}=a{\overline {x}}+b}$, donde ${\displaystyle {\overline {x'}}}$ es la media aritmética de los ${\displaystyle x_{i}'}$, para i = 1, ..., n y a y b números reales.

Este parámetro, aun teniendo múltiples propiedades que aconsejan su uso en situaciones muy diversas, tiene también algunos inconvenientes, como son:

• Para datos agrupados en intervalos (variables continuas), su valor oscila en función de la cantidad y amplitud de los intervalos que se consideren.

• Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la dispersión, de modo que cuanto menos homogéneos son los datos, menos información proporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy distintas en su composición pueden tener la misma media.[14] Por ejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores de igual estatura, 1,95, pongamos por caso, tendría una estatura media de 1,95, evidentemente, valor que representa fielmente a esta homogénea población. Sin embargo, un equipo de estaturas más heterogéneas, 2,20, 2,15, 1,95, 1,75 y 1,70, por ejemplo, tendría también, como puede comprobarse, una estatura media de 1,95, valor que no representa a casi ninguno de sus componentes.

• Es muy sensible a los valores extremos de la variable. Por ejemplo, en el cálculo del salario medio de una empresa, el salario de un alto directivo que gane 1.000.000 de € tiene tanto peso como el de mil empleados "normales" que ganen 1.000 €, siendo la media de aproximadamente 2.000 €.

La moda es el dato más repetido, el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta.[15] En cierto sentido se corresponde su definición matemática con la locución "estar de moda", esto es, ser lo que más se lleva.

Su cálculo es extremadamente sencillo, pues solo necesita de un recuento. En variables continuas, expresadas en intervalos, existe el denominado intervalo modal o, en su defecto, si es necesario obtener un valor concreto de la variable, se recurre a la interpolación.

Sus principales propiedades son:

• Cálculo sencillo.
• Interpretación muy clara.
• Al depender solo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas. Es por ello el parámetro más utilizado cuando al resumir una población no es posible realizar otros cálculos, por ejemplo, cuando se enumeran en medios periodísticos las características más frecuentes de determinado sector social. Esto se conoce informalmente como "retrato robot".[16]

Inconvenientes:

• Su valor es independiente de la mayor parte de los datos, lo que la hace muy sensible a variaciones muestrales. Por otra parte, en variables agrupadas en intervalos, su valor depende excesivamente del número de intervalos y de su amplitud.
• Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandes variaciones en los datos fuera de la moda, no afectan en modo alguno a su valor.
• No siempre se sitúa hacia el centro de la distribución.
• Puede haber más de una moda en el caso en que dos o más valores de la variable presenten la misma frecuencia (distribuciones bimodales o multimodales).

La mediana es un valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los datos, una vez que estos están ordenados de menor a mayor.[17] Por ejemplo, la mediana del número de hijos de un conjunto de trece familias, cuyos respectivos hijos son: 3, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1 y 1, es 2, puesto que, una vez ordenados los datos: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, el que ocupa la posición central es 2:

${\displaystyle \underbrace {1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,} _{Mitad\;inferior}\;\underbrace {\color {Red}2,} _{Mediana\;}\;\underbrace {2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4} _{Mitad\;superior}}$

En caso de un número par de datos, la mediana no correspondería a ningún valor de la variable, por lo que se conviene en tomar como mediana el valor intermedio entre los dos valores centrales. Por ejemplo, en el caso de doce datos como los anteriores:

${\displaystyle \underbrace {1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,} _{Valores\;inferiores}\;\underbrace {\color {Red}1,\ 2,} _{Valores\;intermedios}\;\underbrace {2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4} _{Valores\;superiores}}$

Se toma como mediana ${\displaystyle 1,5={\frac {{\color {Red}1}+{\color {Red}2}}{2}}}$

En este ejemplo basado en una tabla real de percentiles usada en pediatría, puede comprobarse que una niña de 24 meses con un peso de 13 kg estaría en el percentil 75.º, esto es, su peso es superior al 75% de las niñas de su edad. La mediana correspondería, aproximadamente, a 12 kg (intersección de la línea curva más oscura con la línea horizontal correspondiente al valor 12 en el eje vertical, para esa misma edad).

Existen métodos de cálculo más rápidos para datos más numerosos (véase el artículo principal dedicado a este parámetro). Del mismo modo, para valores agrupados en intervalos, se halla el "intervalo mediano" y, dentro de este, se obtiene un valor concreto por interpolación.

Propiedades de la mediana como parámetro estadístico:[18]

• Es menos sensible que la media a oscilaciones de los valores de la variable. Un error de transcripción en la serie del ejemplo anterior en, pongamos por caso, el último número, deja a la mediana inalterada.
• Como se ha comentado, puede calcularse para datos agrupados en intervalos, incluso cuando alguno de ellos no está acotado.
• No se ve afectada por la dispersión. De hecho, es más representativa que la media aritmética cuando la población es bastante heterogénea. Suele darse esta circunstancia cuando se resume la información sobre los salarios de un país o una empresa. Hay unos pocos salarios muy altos que elevan la media aritmética haciendo que pierda representatividad respecto al grueso de la población. Sin embargo, alguien con el salario "mediano" sabría que hay tanta gente que gana más dinero que él, como que gana menos.

Sus principales inconvenientes son que en el caso de datos agrupados en intervalos, su valor varía en función de la amplitud de estos. Por otra parte, no se presta a cálculos algebraicos tan bien como la media aritmética.

Directamente relacionados con la anterior, se encuentran las medidas de posición no central, también conocidas como cuantiles. Se trata de valores de la variable estadística que dejan por debajo de sí determinada cantidad de los datos. Son, en definitiva, una generalización del concepto de la mediana. Mientras que ésta deja por debajo de sí al 50% de la distribución, los cuantiles pueden hacerlo con cualquier otro porcentaje.[19] Se denominan medidas de posición porque informan, precisamente, de la posición que ocupa un valor dentro de la distribución de datos.

Tradicionalmente se distingue entre cuartiles, si se divide la cantidad de datos en cuatro partes antes de proceder al cálculo de los valores que ocupan cada posición; deciles, si se divide los datos en diez partes; o percentiles, que dividen la población en cien partes.

Ejemplos: si se dice que una persona, tras un test de inteligencia, ocupa el percentil 75, ello supone que el 75% de la población tiene un cociente intelectual con un valor inferior al de esa persona. Este criterio se usa por las asociaciones de superdotados, que limitan su conjunto de miembros a aquellas que alcanzan determinado percentil (igual o superior a 98 en la mayoría de los casos).

El ejemplo que se muestra en la imagen de la derecha es el correspondiente al cálculo inverso, esto es, cuando se desea conocer el percentil correspondiente a un valor de la variable, en lugar del valor que corresponde a un determinado percentil.

Otras medidas de posición central son la media geométrica y la media armónica que, aunque tienen determinadas propiedades algebraicas que podrían hacerlas útiles en determinadas circunstancias, su interpretación no es tan intuitiva como la de los parámetros anteriores.[20]

Este tipo de parámetros no tienen por qué coincidir con un valor exacto de la variable y, por tanto, tampoco pueden usarse con carácter general para hacer pronósticos. Por ejemplo, si se dice que la media aritmética de los hijos de las familias de un país es de 1,2, no es posible encontrar familias con ese valor en concreto. Un segundo ejemplo: a ninguna fábrica de zapatos se le ocurriría fabricar los suyos con tallas únicamente correspondientes al valor promedio, ni siquiera tienen por qué ser estas tallas las más fabricadas, pues en tal caso sería más apropiado atender a la moda de la distribución de tallas de los eventuales clientes.

La elección de uno u otro parámetro dependerá de cada caso particular, de los valores de la variable y de los propósitos del estudio. Su uso indiscriminado puede ser deliberadamente tendencioso o involuntariamente sesgado, convirtiéndose, de hecho, en un abuso.[21] Puede pensarse, por ejemplo, en la siguiente situación: un empresario publica que el salario medio en su empresa es de 1600 €. A este dato, que en determinadas circunstancias podría considerarse muy bueno, podría llegarse si la empresa tuviese cuatro empleados con salarios de 1.000 € mensuales y el salario del jefe, incluido en la media, fuese de 4.000 € al mes:[22]

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1000+1000+1000+1000+4000}{5}}=1600}$

Con carácter general y a modo de resumen podría decirse que la media aritmética es un parámetro representativo cuando la población sigue una distribución normal o es bastante homogénea; en otras situaciones de fuerte dispersión, habría que decantarse por la mediana. La moda es el último recurso (y el único) cuando de describir variables cualitativas se trata.

Diagrama de caja que muestra la dispersión gráficamente, usando los cuartiles como referencia. Entre Q₁ y Q₃ (rango intercuartílico) se encuentran el 50% de las observaciones.

Las medidas de posición resumen la distribución de datos, pero resultan insuficientes y simplifican excesivamente la información. Estas medidas adquieren verdadero significado cuando van acompañadas de otras que informen sobre la heterogeneidad de los datos. Los parámetros de dispersión miden eso precisamente, generalmente, calculando en qué medida los datos se agrupan en torno a un valor central. Indican, de un modo bien definido, lo homogéneos que estos datos son. Hay medidas de dispersión absolutas, entre las cuales se encuentran la varianza, la desviación típica o la desviación media, aunque también existen otras menos utilizadas como los recorridos o la meda; y medidas de dispersión relativas, como el coeficiente de variación, el coeficiente de apertura o los recorridos relativos. En muchas ocasiones las medidas de dispersión se ofrecen acompañando a un parámetro de posición central para indicar en qué medida los datos se agrupan en torno de él.[23]

El recorrido o rango de una variable estadística es la diferencia entre el mayor y el menor valor que toma la misma. Es la medida de dispersión más sencilla de calcular, aunque es algo burda porque solo toma en consideración un par de observaciones. Basta con que uno de estos dos datos varíe para que el parámetro también lo haga, aunque el resto de la distribución siga siendo, esencialmente, la misma.

Existen otros parámetros dentro de esta categoría, como los recorridos o rangos intercuantílicos, que tienen en cuenta más datos y, por tanto, permiten afinar en la dispersión. Entre los más usados está el rango intercuartílico, que se define como la diferencia entre el cuartil tercero y el cuartil primero. En ese rango están, por la propia definición de los cuartiles, el 50% de las observaciones. Este tipo de medidas también se usa para determinar valores atípicos. En el diagrama de caja que aparece a la derecha se marcan como valores atípicos todos aquellos que caen fuera del intervalo [L_i, L_s] = [Q₁ - 1,5·R_s, Q₃ + 1,5·R_s], donde Q₁ y Q₃ son los cuartiles 1º y 3º, respectivamente, y R_s representa la mitad del recorrido o rango intercuartílico, también conocido como recorrido semiintercuartílico.[24]

Dada una variable estadística X y un parámetro de tendencia central, c, se llama desviación de un valor de la variable, x_i, respecto de c, al número |x_i - c|. Este número mide lo lejos que está cada dato del valor central c, por lo que una media de esas medidas podría resumir el conjunto de desviaciones de todos los datos.

Así pues, se denomina desviación media de la variable X respecto de c a la media aritmética de las desviaciones de los valores de la variable respecto de c, esto es, si

${\displaystyle X={x_{1},\,x_{2},\,...,\,x_{n}},}$ entonces ${\displaystyle DM_{c}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-c\right|}{n}}}$

De este modo se definen la desviación media respecto de la media (c = ${\displaystyle {\overline {x}}}$) o la desviación media respecto de la mediana (c = ${\displaystyle {\overline {Me}}}$), cuya interpretación es sencilla en virtud del significado de la media aritmética.[23]

Sin embargo, el uso de valores absolutos impide determinados cálculos algebraicos que obligan a desechar estos parámetros, a pesar de su clara interpretación, en favor de los siguientes.

Conjunto de datos estadísticos de media aritmética 50 (línea azul) y desviación típica 20 (líneas rojas).

Como se vio más arriba, la suma de todas las desviaciones respecto al parámetro más utilizado, la media aritmética, es cero. Por tanto, si se desea una medida de la dispersión sin los inconvenientes para el cálculo que tienen las desviaciones medias, una solución es elevar al cuadrado tales desviaciones antes de calcular el promedio. Así, se define la varianza como:[25]

${\displaystyle {\sigma ^{2}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}{n}}}$,

o sea, la media de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media.

La desviación típica, σ, se define como la raíz cuadrada de la varianza, esto es,

${\displaystyle {\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}}}}$

Para variables agrupadas en intervalos, se usan las marcas de clase (un valor apropiado del interior de cada intervalo) en estos cálculos.

Propiedades:[25]

• Ambos parámetros no se alteran con los cambios de origen.
• Si todos los valores de la variable se multiplican por una constante, b, la varianza queda multiplicada por b².
• En el intervalo ${\displaystyle ({\overline {x}}-k\sigma ,\,{\overline {x}}+k\sigma )}$ se encuentran, al menos, el ${\displaystyle 100(1-{\frac {1}{k^{2}}})\%}$ de las observaciones (véase Desigualdad de Tchebyschev).[26]

Esta última propiedad muestra la potencia del uso conjunto de la media y la desviación típica como parámetros estadísticos, ya que para valores de k iguales a 2 y 3, respectivamente, se obtiene que:

• En el intervalo ${\displaystyle ({\overline {x}}-2\sigma ,\,{\overline {x}}+2\sigma )}$ están, al menos, el 75% de los datos.
• En el intervalo ${\displaystyle ({\overline {x}}-3\sigma ,\,{\overline {x}}+3\sigma )}$ están, al menos, el 89% de los datos.

Se cumple la siguiente relación entre los parámetros de dispersión:

${\displaystyle D_{Me}\leq D_{\overline {x}}\leq \sigma }$

donde ${\displaystyle D_{Me},\,D_{\overline {x}}}$, y ${\displaystyle \sigma }$ son, respectivamente, la desviación media respecto de la mediana, la desviación media respecto de la media y la desviación típica (véase Desviación media).

La media. Es una medida de dispersión que tiene, por su propia definición, las mismas propiedades que la mediana. Por ejemplo, no se ve afectada por valores extremos o atípicos.[27]

Son parámetros que miden la dispersión en términos relativos, un porcentaje o una proporción, por ejemplo, de modo que permiten una sencilla comparación entre la dispersión de distintas distribuciones.[28]

Se define como ${\displaystyle C_{V}={\frac {\sigma }{\bar {x}}}}$, donde σ es la desviación típica y ${\displaystyle {\bar {x}}}$ es la media aritmética.

Se interpreta como el número de veces que la media está contenida en la desviación típica. Suele darse su valor en tanto por ciento, multiplicando el resultado anterior por 100. De este modo se obtiene un porcentaje de la variabilidad.

Su principal inconveniente es que en el caso de distribuciones cuya media se acerca a cero, su valor tiende a infinito e incluso resulta imposible de calcular cuando la media es cero. Por ello no puede usarse para variables tipificadas.

Se define como el cociente entre los valores extremos de la distribución de datos, esto es, dada una distribución de datos estadísticos x₁, x₂, ..., x_n, su coeficiente de apertura, C_A es ${\displaystyle C_{A}={\frac {\mathrm {m{\acute {a}}x} (x_{i})}{\mathrm {m{\acute {\imath }}n} (x_{i})}},\;i=1,...,n}$

Se usa para comparar salarios de empresas.

Dado R_e, el recorrido de una distribución de datos estadísticos, el recorrido relativo, R_R es ${\displaystyle R_{R}={\frac {R_{e}}{\bar {x}}}}$, donde ${\displaystyle {\bar {x}}}$ es la media aritmética de la distribución.

Dada una distribución de datos estadísticos con cuartiles Q₁, Q₂ y Q₃, el recorrido intercuartílico relativo, R_IQR se define como[29] ${\displaystyle R_{IQR}={\frac {Q_{3}-Q_{1}}{Q_{2}}}}$

Por otra parte, se define el recorrido semiintercuartílico relativo, R_SIR, como ${\displaystyle R_{SIR}={\frac {Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}}}$

Se define como ${\displaystyle V_{Me}={\frac {D_{Me}}{Me}}}$, donde D_Me es la desviación media respecto de la mediana y Me es la mediana de una distribución de datos estadísticos dada.

La campana de Gauss, curva que sirve de modelo para el estudio de la forma de una distribución.

Las medidas de forma caracterizan la forma de la gráfica de una distribución de datos estadísticos. La mayoría de estos parámetros tiene un valor que suele compararse con la campana de Gauss, esto es, la gráfica de la distribución normal, una de las que con más frecuencia se ajusta a fenómenos reales.

Se dice que una distribución de datos estadísticos es simétrica cuando la línea vertical que pasa por su media, divide a su representación gráfica en dos partes simétricas. Ello equivale a decir que los valores equidistantes de la media, a uno u otro lado, presentan la misma frecuencia.

En las distribuciones simétricas los parámetros media, mediana y moda coinciden, mientras que si una distribución presenta cierta asimetría, de un tipo o de otro, los parámetros se sitúan como muestra el siguiente gráfico:

Ello puede demostrarse fácilmente si se tiene en cuenta la atracción que la media aritmética siente por los valores extremos, que ya se ha comentado más arriba y las definiciones de mediana (justo en el centro de la distribución, tomando el eje de abscisas como referencia) y moda (valor que presenta una ordenada más alta).

Por consiguiente, la posición relativa de los parámetros de centralización pueden servir como una primera medida de la simetría de una distribución.

Otras medidas más precisas son el coeficiente de asimetría de Fisher, el coeficiente de asimetría de Bowley y el coeficiente de asimetría de Pearson.

Tres distribuciones con distintos grados de apuntamiento.

Con estos parámetros se pretende medir cómo se reparten las frecuencias relativas de los datos entre el centro y los extremos, tomando como comparación la campana de Gauss.

El parámetro usado con más frecuencia para esta medida es el coeficiente de curtosis de Fisher, definido como:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{n\sigma ^{4}}}-3}$,

aunque hay otros como el coeficiente de curtosis de Kelley o el coeficiente de curtosis percentílico.

La comparación con la distribución normal permite hablar de distribuciones platicúrticas o más aplastadas que la normal; distribuciones mesocúrticas, con igual apuntamiento que la normal; y distribuciones leptocúrticas, esto es, más apuntadas que la normal.[30]

Por último, existen otras medidas para decidir sobre la forma de una distribución con ajuste a modelos menos usuales como los que se muestran en las siguientes gráficas:

Se presentan en este apartado otros parámetros que tienen aplicación en situaciones muy concretas, por lo que no se incluyen entre los grupos anteriores, aunque tienen cabida en este artículo por su frecuente uso en medios de comunicación y su facultad de resumir grandes cantidades de datos, como ocurre con las medidas tratadas hasta ahora.

La proporción de un dato estadístico es el número de veces que se presenta ese dato respecto al total de datos. Se conoce también como frecuencia relativa y es uno de los parámetros de cálculo más sencillo. Tiene la ventaja de que puede calcularse para variables cualitativas.

Por ejemplo, si se estudia el color de ojos de un grupo de 20 personas, donde 7 de ellas los tienen azules, la proporción de individuos con ojos azules es del 35% (= 7/20).

El dato con mayor proporción se conoce como moda (véase, más arriba).

En inferencia estadística existen intervalos de confianza para la estimación de este parámetro.

Un número índice es una medida estadística que permite estudiar las fluctuaciones o variaciones de una magnitud o de más de una en relación con el tiempo o al espacio. Los índices más habituales son los que realizan las comparaciones en el tiempo. Algunos ejemplos de uso cotidiano de este parámetro son el índice de precios o el IPC[31]

Coeficiente de Gini en el mundo (2007-2008)

La tasa es un coeficiente que expresa la relación entre la cantidad y la frecuencia de un fenómeno o un grupo de fenómenos. Se utiliza para indicar la presencia de una situación que no puede ser medida en forma directa.[31] Esta razón se utiliza en ámbitos variados, como la demografía o la economía, donde se hace referencia a la tasa de interés.

Algunos de los más usados son: tasa de natalidad, tasa de mortalidad, tasa de crecimiento demográfico, tasa de fertilidad o tasa de desempleo.

El índice de Gini o coeficiente de Gini es un parámetro de dispersión usado para medir desigualdades entre los datos de una variable o la mayor o menor concentración de los mismos.

Este coeficiente mide de qué forma está distribuida la suma total de los valores de la variable. Se suele usar para describir salarios. Los casos extremos de concentración serían aquel en los que una sola persona acapara el total del dinero disponible para salarios y aquel en el que este total está igualmente repartido entre todos los asalariados.[32]

Dadas dos variables estadísticas X e Y, se define el centro de gravedad como la pareja (${\displaystyle {\bar {X}}}$, ${\displaystyle {\bar {Y}}}$), donde ${\displaystyle {\bar {X}}}$ y ${\displaystyle {\bar {Y}}}$ son, respectivamente, las medias aritméticas de las variables X e Y.

El nombre de este parámetro proviene de que en una representación de las parejas del estudio en una nube de puntos, en la que cada punto tuviese un peso proporcional a su frecuencia absoluta, las coordenadas (${\displaystyle {\bar {X}}}$, ${\displaystyle {\bar {Y}}}$) corresponderían, precisamente, al centro de gravedad como concepto físico.[37]

La covarianza o varianza conjunta de una distribución bidimensional se define como:

${\displaystyle \sigma _{xy}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}}$

La interpretación de este parámetro tiene que ver con la eventual correlación lineal de las dos variables. Una covarianza positiva implica una correlación directa y una negativa, una correlación inversa.[38] Por otra parte, es un parámetro imprescindible para el cálculo del coeficiente de correlación lineal o los coeficientes de regresión, como se verá más abajo.

En su contra tiene que se ve excesivamente influenciada, al igual que ocurría con la media aritmética, por los valores extremos de las distribuciones y los cambios de escala.

Variación del coeficiente de correlación lineal en función de la nube de puntos asociada.

Se trata de un coeficiente que permite determinar la bondad del ajuste de la nube de puntos por una recta.

Se define como: ${\displaystyle r={\frac {\sigma _{xy}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}}$, donde σ_xy es la covarianza y σ_x y σ_y, las desviaciones típicas respectivas de las distribuciones implicadas.

El coeficiente de correlación lineal toma valores entre -1 y 1. En esa escala, mide la correlación del siguiente modo:

• La correlación lineal es más fuerte cuanto más cerca esté de -1 o 1.
• La correlación lineal es más débil cuanto más próximo a cero sea r.[39]

El diagrama de la derecha ilustra cómo puede variar r en función de la nube de puntos asociada:

Otros parámetros bidimensionales son, el coeficiente de correlación de Spearman, los coeficientes de correlación no paramétricos, el coeficiente de determinación o los coeficientes de regresión lineal.

Al igual que con distribuciones unidimensionales, existe una forma equivalente de desarrollar la teoría relativa a los parámetros estadísticos bidimensionales usando los momentos.

• Calot, Gérard (1985). Curso de estadística descriptiva. trad. Francisco José Cano Sevilla (4ª edición). Parainfo. ISBN 8428305633.
• Férnandez Fernández, Santiago; Córdoba, Alejandro; Cordero Sánchez, José María (2002). Estadística Descriptiva (2ª edición). ESIC Editorial. ISBN 8473563069.
• Huff, Darrel; Geis, Irvin (1993). How to lie with Statistics. W W Norton & Co Inc. ISBN 0393310728.
• Rius Díaz, Francisca (1997). Bioestadística. Métodos y aplicaciones (2ª edición). Universidad de Málaga. ISBN 84-7496-653-1.
• Velasco Sotomayor, Gabriel; Wisniewski, Piotr Marian (2001). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Cengage Learning Editores. pp. 185-197. ISBN 970686136X.
• Técnicos de Administración Del Ministerio de Economía Y Hacienda (instituto Nacional de Estadística). Grupos III Y IV. Temario Específico Y Test Ebook. MAD-Eduforma. 2006. ISBN 9788466552509.

Calculadoras de parámetros estadísticos:

• Las tres medias Calcula la media aritmética, geométrica y armónica de una serie de 80 datos o menos.
• La calculadora web descriptiva Archivado el 6 de abril de 2009 en Wayback Machine. Calcula media, moda, varianza, desviación típica, coeficiente de variación, coeficientes de forma, índice Gini, media armónica.
• Calculadora estadística Incluye parámetros bidimensionales y otros cálculos de utilidad en probabilidad.

Cursos completos de estadística descriptiva:

• Estadística descriptiva. Hecho con Moodle, por la Universidad de Antioquia.
• Bioestadística, métodos y aplicaciones, por la Universidad de Málaga.