Proyección isométrica

En diseño industrial se representa una pieza desde diferentes puntos de vista, perpendicular a los ejes coordenados naturales. Una pieza con movimiento mecánico presenta en general formas con ejes de simetría o caras planas. Tales ejes, o las aristas de las caras, permiten definir una proyección ortogonal.

A estas vistas generalmente se les denomina como: planta, elevación y perfil.

Siendo planta la vista desde arriba, (vista de pájaro); elevación, la vista frontal y perfil, la vista lateral. En otras palabras, si nos referimos al plano cartesiano de 3D, X, Y y Z, las vistas serían: Planta - eje Z; Elevación - eje Y; y Perfil - eje X.

Se puede fácilmente dibujar una perspectiva isométrica de la pieza a partir de tales vistas, lo que permite mejorar la comprensión de la forma del objeto.

Vista de un conjunto de edificios

La utilización de la proyección isométrica es útil para visualizar de forma sencilla conjuntos de edificios relativamente pequeños, produciendo imágenes que recuerdan a fotografías oblicuas tomadas a vista de pájaro, en las que la gran distancia entre el observador y el modelo representado tiende a atenuar el efecto de convergencia de las líneas paralelas propia de la perspectiva real.

Desde un concepto más práctico, también son habituales los dibujos en sección, que permiten hacerse una idea de la distribución del volumen de las habitaciones de una casa mucho mejor que un simple plano de la distribución en planta de la vivienda.

Imagen isométrica del juego Goodgame Empire

Cierto número de videojuegos pone en acción a sus personajes utilizando un punto de vista en perspectiva isométrica o mejor dicho, en la jerga usual, en "perspectiva 3/4". Desde un ángulo práctico, ello permite desplazar los elementos gráficos sin modificar el tamaño, limitación inevitable para ordenadores con baja capacidad gráfica.

A fin de evitar el pixelado, en algunos casos se llevó la proyección a un sistema 2:1, vale decir a una inclinación de 26,6° (arctan 0,5) en lugar de 30°, que no corresponde a una proyección isométrica propiamente dicha, sino "dimétrica".

El progresivo incremento en las capacidades gráficas de los ordenadores ha posibilitado el uso cada vez más generalizado de sistemas de proyección más realistas, basados en la perspectiva naturalmente percibida por el ojo humano: la perspectiva cónica.

Ilustración de la proyección del eje "z" sobre el plano de representación.

Considerando la arista de un cubo que va desde el origen al punto (0,0,1), si su intersección con el plano de proyección define un ángulo α, la proyección tendrá una longitud equivalente al coseno de α.

• α es también el ángulo entre la perpendicular al plano de proyección que pasa por el origen y por el punto (1,1,1) y la bisectriz de los ejes x e y que pasan por (1,1,0).

• el triángulo formado por los puntos (0,0,0), (1,1,0) y (1,1,1) es rectángulo, por lo que el segmento [(0,0,0),(1,1,0)] tiene una longitud equivalente a √2 (diagonal del cuadrado), el segmento [(1,1,0),(1,1,1)] tiene una longitud igual a 1, y la hipotenusa [(0,0,0),(1,1,1)] tiene una longitud √3.

En consecuencia:

${\displaystyle \cos \alpha ={\sqrt {\frac {2}{3}}}\simeq 0,82}$.

Puede deducirse que α ≈ 35,26 °.

Es posible también utilizar el producto escalar:

• el vector unitario definido por la diagonal mayor es (1/√3, 1/√3, 1/√3);
• la arista [(0,0,0),(0,0,1)] se proyecta sobre la diagonal mayor en un segmento de longitud k₁, y sobre el plano normal a la misma en un segmento de longitud k₂
• k₁ es el producto escalar de ${\displaystyle {\vec {a}}}$ y de ${\displaystyle {\vec {b}}}$, y se puede calcular mediante las coordenadas: ${\displaystyle k_{1}={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=1\times 1/{\sqrt {3}}+0\times 1/{\sqrt {3}}+0\times 1/{\sqrt {3}}=1/{\sqrt {3}}}$
• el teorema de Pitágoras nos indica que k₁² + k₂² = 1 (longitud de las aristas de un cubo)

En consecuencia:

${\displaystyle k_{2}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\simeq 0,82}$.

La longitud de los segmentos sobre los ejes de representación se proyectan con un factor de 0.82.

Se llega igualmente a esta conclusión utilizando la fórmula general de proyecciones ortogonales.

Por otro lado, si se considera el círculo unitario del plano (x,y), el rayo se proyecta según la línea de mayor pendiente, que es la primera bisectriz del plano, con un factor de proyección equivalente a sin α = k₁ = 1/√3 ≈ 0,58, que corresponde al eje menor de la elipse.

Proyección de la base ortonormal del espacio.

La transformación de coordenadas cartesianas se utiliza para calcular las vistas a partir de las coordenadas de los puntos, por ejemplo en el caso de un juego de vídeo, o de simulación 3D.

Suponiendo un espacio provisto de una base ortonormal directa ${\displaystyle ({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},{\vec {e_{3}}})}$. La proyección P se realiza según el vector ${\displaystyle {\vec {u}}}$ de componentes (1,1,1), es decir el vector ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e_{1}}}+{\vec {e_{2}}}+{\vec {e_{3}}}}$, según el plano representado por ese mismo vector.

Como toda aplicación lineal, puede estar representado por la transformación de los vectores de la base, más un vector

${\displaystyle {\vec {v}}=v_{1}\cdot {\vec {e_{1}}}+v_{2}\cdot {\vec {e_{2}}}+v_{3}\cdot {\vec {e_{3}}}}$

que se transforma según

${\displaystyle P({\vec {v}})=P(v_{1}\cdot {\vec {e_{1}}}+v_{2}\cdot {\vec {e_{2}}}+v_{3}\cdot {\vec {e_{3}}})}$

${\displaystyle P({\vec {v}})=v_{1}\cdot P({\vec {e_{1}}})+v_{2}\cdot P({\vec {e_{2}}})+v_{3}\cdot P({\vec {e_{3}}})}$

Sea ${\displaystyle {\vec {e'_{n}}}=P({\vec {e_{n}}})}$. Llamamos ${\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {j}})}$ a la base ortonormal directa sobre el plano de proyección.

Elegimos arbitrariamente que ${\displaystyle {\vec {e'_{1}}}}$ hace un ángulo de -π/6 con ${\displaystyle {\vec {i}}}$.

La aplicación particular del cálculo a las proyecciones ortogonales en la perspectiva isométrica resulta:

• ${\displaystyle {\vec {e'_{1}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\vec {i}}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\cdot {\vec {j}}}$; ${\displaystyle k_{1}={\sqrt {\frac {2}{3}}}}$
• ${\displaystyle {\vec {e'_{2}}}=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\vec {i}}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\cdot {\vec {j}}}$; ${\displaystyle k_{2}=k_{1}}$
• ${\displaystyle {\vec {e'_{3}}}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot {\vec {j}}}$; ${\displaystyle k_{3}=k_{1}}$

La matriz de la proyección M_P es en consecuencia:

${\displaystyle M_{P}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&0\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\sqrt {\frac {2}{3}}}\\\end{pmatrix}}}$

Considerando un punto (x, y, z) del espacio que se proyecta en (x', y'), su proyección será:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}}=M_{P}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}(x-y)\\{\sqrt {\frac {2}{3}}}z-{\frac {1}{\sqrt {6}}}(x+y)\\\end{pmatrix}}}$

Si consideramos el círculo trigonométrico del plano ${\displaystyle ({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{3}}})}$, las coordenadas paramétricas de sus puntos serán:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\0\\\end{pmatrix}}}$

Las coordenadas de los puntos proyectados en la base ${\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {j}})}$ serán:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}(\cos \theta -\sin \theta )\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}(\cos \theta +\sin \theta )\\\end{pmatrix}}}$

La distancia al origen es ${\displaystyle r={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$, siendo

${\displaystyle r^{2}={\frac {2}{3}}\left(1-\sin \theta \cdot \cos \theta \right)={\frac {2}{3}}\left(1-{\frac {1}{2}}\cdot \sin 2\theta \right)}$

Esta distancia varia en consecuencia entre 1 y ${\displaystyle {\sqrt {1/3}}\simeq 0,58}$