Puntos de Lagrange

El punto L₁ está entre las dos masas grandes M₁ y M₂ en la recta que las une. Es el más intuitivo de los puntos de Lagrange, aquel en que las atracciones opuestas de los dos cuerpos mayores se compensan.

• Ejemplo: un objeto que orbite alrededor del Sol más cerca que la Tierra tendría un período orbital más corto que la Tierra, pero eso ignora el efecto de atracción gravitatoria de la Tierra. Si el objeto está directamente entre la Tierra y el Sol, entonces el efecto de la gravedad de la Tierra es el de debilitar la fuerza que tira del objeto hacia el Sol y, por lo tanto, aumenta el período orbital del objeto. Cuanto más cerca está el objeto de la Tierra, mayor es este efecto. En el punto L₁, el período orbital del objeto es precisamente igual al período orbital de la Tierra. Este punto se encuentra a 1 502 000 km de la tierra.[4]

El punto L₁ del sistema Sol-Tierra es ideal para hacer observaciones del Sol. Los objetos aquí situados nunca son eclipsados por la Tierra o la Luna. La sonda espacial Observatorio Solar y de la Helioesfera (SOHO) está estacionada en el punto L₁, y el satélite Advanced Composition Explorer (ACE) está en una órbita Lissajous alrededor también del punto L₁. El punto L₁ del sistema Tierra-Luna permite un acceso fácil a la órbita lunar y de la Tierra con un mínimo cambio de velocidad, delta-v, y sería ideal para una estación espacial tripulada situada a medio camino pensada para ayudar al transporte de carga y personal hacia y desde la Luna.

Diagrama del sistema Sol-Tierra, que muestra el punto L₂, más alejado que la órbita lunar.

Visualiación de la relación entre los puntos de Lagrange (rojo) de un planeta (azul) orbitando una estrella (amarilla) en dirección contraria a la del reloj, y el potencial efectivo en el plano que contiene la orbita (modelo de hoja de goma gris con contornos púrpuras de igual potencial).[5]
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El punto L₂ está en la línea definida por las dos masas grandes M₁ y M₂, y más allá de la más pequeña de las dos. En él la atracción gravitatoria de los dos cuerpos mayores compensa la fuerza centrífuga causada por el menor.

• Ejemplo: un objeto que orbite el Sol más lejos que la Tierra tendría un período orbital más largo que el de la Tierra. La fuerza adicional de la gravedad de la Tierra hace disminuir el período orbital del objeto, y precisamente el punto L₂ es aquel en que el período orbital es igual al de la Tierra.

El punto L₂ del sistema Sol-Tierra es un buen punto para los observatorios espaciales, porque un objeto alrededor de L₂ mantendrá la misma orientación con respecto al Sol y la Tierra, y la calibración y blindaje son más sencillos. El Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP), así como el Observatorio Espacial Herschel ya están en órbita alrededor del punto L₂ del sistema Sol-Tierra. El telescopio espacial James Webb también se sitúa en el punto L₂ del sistema Sol-Tierra.[6] El punto L₂ del sistema Tierra-Luna sería una buena localización para un satélite de comunicaciones que cubriera la cara oculta de la Luna.[7]

Si M₂ es mucho más pequeño que M₁, entonces L₁ y L₂ están a distancias aproximadamente iguales r de M₂, igual al radio de la esfera de Hill, dado por:

${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}}$

donde R es la distancia entre los dos cuerpos.

Esta distancia puede describirse como aquella en la que el período orbital correspondiente a una órbita circular con esta distancia alrededor de M₂ y en ausencia de M₁, es el tiempo que tarda en girar M₂ alrededor de M₁, dividido por ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3}}\approx 1,44}$.

Ejemplos:

• Sistema Sol y Tierra: 1.500.000 km de la Tierra
• Sistema Tierra y Luna: 61.500 km de la Luna

El punto L₃ está en la línea definida por las dos masas grandes M₁ y M₂, y más allá de la mayor de las dos.

• Ejemplo: el punto L₃ en el sistema de Sol-Tierra está en el lado opuesto del Sol, un poco más cerca del Sol que la propia Tierra. Esta aparente contradicción se explica porque el Sol está también afectado por la gravedad terrestre, y así gira en torno al centro de masas común o baricentro que, no obstante, se encuentra dentro del Sol. En L₃ la fuerza gravitatoria combinada de la Tierra y del Sol hace que el objeto orbite con el mismo período que la Tierra. El punto L₃ en el sistema de Sol–Tierra fue un lugar popular utilizado para ubicar una "Contra-Tierra", en libros de ciencia ficción o en cómics; aunque la observación directa por sondas y satélites demostró luego su inexistencia. En la realidad, L₃ en el sistema Sol-Tierra es muy inestable, pues las fuerzas gravitatorias de los demás planetas pueden llegar a superar a la de la Tierra, (Venus, por ejemplo, pasa a 0.3 AU de L₃ cada veinte meses).

Acciones gravitatorias en L₄.

El punto L₄ y el punto L₅ están en los vértices de triángulos equiláteros cuya base común es la recta que une las dos masas, de forma que el punto L₄ precede al cuerpo pequeño un ángulo de 60° visto desde la masa grande, mientras que L₅ gira detrás del cuerpo pequeño, aunque con radio mayor que este, con un retraso de 60° visto a su vez desde el cuerpo grande. Estos puntos, así como el cuerpo menor de masa M₂, no giran sobre el cuerpo grande, sino sobre el baricentro de ambos cuerpos marcado como b en la figura. El cuerpo grande también gira sobre b con un radio r₁

El radio ${\displaystyle r}$ de la órbita común a los puntos L₄ y L₅ puede deducirse de la figura mediante razonamientos geométricos:

Teniendo en cuenta que los radios de las órbitas de los cuerpos grandes ${\displaystyle r_{1}}$ y ${\displaystyle r_{2}}$ están en relación inversa de sus masas: ${\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {M_{2}}{M_{1}}}=\gamma }$, se resuelve el triángulo formado por L₄, b y el centro de masa del cuerpo menor; resultando en la relación ${\displaystyle r^{2}=r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}}$.

Demostración

Esquema geométrico para el cálculo del radio de rotación de los puntos L4 y L5 Usaremos la figura adjunta que bosqueja la situación geométrica de la imagen anterior. Aquí, P y Q son los centros de masa respectivos de los cuerpos mayor y menor, mientras que B es el centro de gravedad del sistema alrededor del cual rotan los tres objetos. Puesto que los triángulos GBQ y FPB son equiláteros, el cuadrilátero LGBF es paralelogramo y por tanto LG también mide r1. Se aplicamos entonces ley de cosenos en el triángulo LBQ con respecto al ángulo LQB=60° para obtener: ${\displaystyle LB^{2}=BQ^{2}+LQ^{2}-2\,BQ\,LQ\cos 60^{\circ }}$ que corresponde a: ${\displaystyle r^{2}=r_{2}^{2}+(r_{1}+r_{2})^{2}-2r_{2}(r_{1}+r_{2})\cos 60^{\circ }}$ ${\displaystyle r^{2}=r_{2}^{2}+r_{1}^{2}+2r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}-(2r_{1}r_{2}+2r_{2}^{2})/2}$ puesto que ${\displaystyle \cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}}$. Realizando la simplificación arroja el resultado deseado: ${\displaystyle r^{2}=r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}}$.

Expresando el resultado en función de ${\displaystyle \gamma }$ resulta:

${\displaystyle r=r_{2}\cdot {\sqrt {\gamma ^{2}+\gamma +1}}}$

Demostración

Puesto que ${\displaystyle \gamma ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}}$, entonces ${\displaystyle r_{1}=\gamma r_{2}\,}$. Realizamos la sustitución en ${\displaystyle r^{2}=r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}}$. da como resultado ${\displaystyle r^{2}=(\gamma r_{2})^{2}+(\gamma r_{2})r_{2}+r_{2}^{2}}$. El lado derecho tiene factor común ${\displaystyle r_{2}^{2}}$ y así ${\displaystyle r^{2}=r_{2}^{2}(\gamma ^{2}+\gamma +1)}$. Finalmente, se aplica la raíz cuadrada a ambos lados de la expresión para concluir ${\displaystyle r=r_{2}{\sqrt {\gamma ^{2}+\gamma +1}}}$.

Este radio, como se aprecia en la figura es generalmente mayor que el radio ${\displaystyle r_{2}}$ del cuerpo pequeño porque ${\displaystyle \gamma ^{2}+\gamma +1>1\,}$ y por tanto el radical que multiplica tiene también un valor mayor a uno.

El ángulo de precesión verdadero de L₄, es decir el ángulo que forma L₄con el cuerpo pequeño visto desde el centro de giro b, también puede calcularse con procedimientos geométricos, obteniéndose: ${\displaystyle \alpha =\arctan \left({\sqrt {3}}\left({\frac {1+\gamma }{1-\gamma }}\right)\right)}$.

Demostración

Cálculo del ángulo de precesión. Retomando el esquema geométrico, trazamos la altura del triángulo LBQ que pasa por L. Como se señaló antes, ${\displaystyle \gamma ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}}$ por lo que ${\displaystyle r_{1}=\gamma r_{2}\,}$ y por tanto ${\displaystyle r_{1}+r_{2}=\gamma r_{2}+r_{2}=r_{2}(\gamma +1)\,}$. Las relaciones trigonométricas del triángulo rectángulo LBQ implican ${\displaystyle LT=(r_{1}+r_{2})\sin 60^{\circ }=r_{2}(\gamma +1){\frac {\sqrt {3}}{2}}}$, ${\displaystyle TQ=(r_{1}+r_{2})\cos 60^{\circ }=r_{2}(\gamma +1)\cdot {\frac {1}{2}}}$. Ahora en el triángulo rectángulo LBT: ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {LT}{BT}}={\frac {LT}{r_{2}-TQ}}}$. Y sustituyendo las expresiones halladas resulta en ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {r_{2}(\gamma +1){\frac {\sqrt {3}}{2}}}{r_{2}-r_{2}(\gamma +1)\cdot {\frac {1}{2}}}}}$ ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {r_{2}(\gamma +1){\frac {\sqrt {3}}{2}}}{r_{2}\left(1-{\frac {\gamma +1}{2}}\right)}}}$ ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {r_{2}(\gamma +1){\frac {\sqrt {3}}{2}}}{r_{2}\left({\frac {1-\gamma }{2}}\right)}}}$ y tras cancelar términos en el numerador y denominador, se obtiene ${\displaystyle \tan \alpha ={\sqrt {3}}\left({\frac {1+\gamma }{1-\gamma }}\right)}$.

Ejemplos:

• Para el sistema Tierra-Luna tenemos.

Distancia Tierra-Luna: d = r₁ + r₂ = 3,844·10⁸ m

Masa Tierra: M₁ = 5,974·10²⁴ kg

Masa Luna: M₂ = 7,35·10²² kg

Valor de γ = M₂/M₁ = 12,30·10^-3

Entonces, como:

${\displaystyle \gamma ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}}$,

${\displaystyle d=r_{1}+r_{2}=r_{2}\gamma +r_{2}=r_{2}(\gamma +1)\,}$

se tiene:

${\displaystyle r_{2}={\frac {d}{1+\gamma }}=3,7972\cdot 10^{8}m}$.

${\displaystyle r_{1}=d-r_{2}=4,6719\cdot 10^{6}m}$

Con estos datos y la fórmula anterior se evalúa:

${\displaystyle r={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}}}=3,8208\cdot 10^{8}m}$

Para α, usando la otra fórmula, se tiene: α = 60,6067º

Es decir; la órbita común de L₄ y L₅ excede a la de la Luna en 2360 km y dichos puntos forman con ella ángulos de 60° 18' 22" con respecto al baricentro b del sistema

• Si M₁ = M₂, caso de las estrellas dobles simétricas, el parámetro gamma se hace igual a uno.

En estas condiciones las dos masas ocupan una órbita común, el ángulo α aumenta hasta 90° y el radio de la órbita de L₄ y L₅ se hace igual al radio de la órbita común de las estrellas multiplicado por la raíz de 3. Este radio coincide con la altura del triángulo equilátero cuya base coincide con la distancia entre las estrellas.

La razón de que estos puntos estén en equilibrio es que el punto L₄ y el punto L₅ están a la misma distancia de las dos masas. Por ello, las fuerzas gravitatoria de los dos cuerpos están en la misma relación que sus masas respectivas, y la fuerza resultante actúa a través del baricentro del sistema; además, la geometría de triángulo hace que la aceleración resultante esté a la distancia del baricentro en la misma proporción que para los dos cuerpos mayores. Y siendo el baricentro centro de masas y centro de rotación del sistema, esta fuerza resultante es exactamente la que se requiere para mantener un cuerpo en el punto de Lagrange en equilibrio con el resto del sistema.

L₄ y L₅ son llamados a veces «puntos triangulares de Lagrange» o «puntos troyanos». El nombre de «puntos troyanos» viene de los asteroides troyanos del sistema Sol-Júpiter, nombrados según personajes de la Ilíada de Homero —la legendaria guerra de Troya—. Los asteroides del punto L₄, que preceden a Júpiter, son el «campamento griego», los «griegos», mientras que los del punto L₅ son el «campamento troyano». Los nombres están extraídos de personajes de la Ilíada.

Ejemplos:

• Los puntos L₄ y L₅ del sistema Sol-Tierra solo contienen polvo interplanetario y el asteroide troyano terrestre 2010 TK7.
• Los puntos L₄ y L₅ del sistema Tierra-Luna cuya ubicación se ha calculado antes, contienen polvo interplanetario, las llamadas nubes de Kordylewski.
• Los puntos L₄ y L₅ del sistema Sol-Júpiter están ocupados por los asteroides troyanos.
• Neptuno tiene objetos Troyanos del cinturón de Kuiper en sus puntos L₄ y L₅.
• La luna de Saturno Tetis tiene dos satélite más pequeños en sus puntos L₄ y L₅, de nombre Telesto y Calipso, respectivamente.
• La luna de Saturno Dione tiene lunas menores, Helena y Pollux, en sus puntos L₄ y L₅, respectivamente.
• La hipótesis del gran impacto sugiere que un objeto (Theia) se formó en L₄ o L₅ y se estrelló contra la Tierra al entrar en órbita inestable, dando origen así a la Luna.

La Tierra tiene un compañero (3753) Cruithne que tiene una órbita similar a la de la Tierra. No es un verdadero troyano. Más bien, ocupa una de las dos órbitas solares regulares, una ligeramente más pequeña y rápida que la de la Tierra y la otra ligeramente mayor y más lenta, alternando periódicamente cuando se acerca a la Tierra. Con los acercamientos del asteroide a la Tierra, por el interior de la órbita de la Tierra, toma energía orbital de la Tierra y se mueve en una órbita de energía más grande, más alta. Luego la Tierra alcanza al asteroide, que está en una órbita más grande y por tanto más lenta. Ahora es la Tierra la que toma energía y hace caer al asteroide a una órbita más pequeña, y más rápida y en el futuro será el asteroide el que cogerá a la Tierra para empezar el ciclo nuevamente. Esto no tiene un impacto notable en la longitud del año, porque la Tierra es más de 20 000 millones de veces más masiva que 3753 Cruithne.

Los satélites de Saturno Epimeteo y Jano tienen una relación similar, aunque ellos son de masas similares y realmente intercambian su órbita entre sí periódicamente (Janus es aproximadamente cuatro veces más masivo, pero es suficiente para que su órbita sea alterada). Otra configuración similar conocida como la resonancia orbital hace que los cuerpos tienden a tener períodos que están en relaciones sencillas con otros más grandes debido a su interacción.