Ecuaciones de Maxwell

Oliver Heaviside agrupó las ecuaciones de Maxwell y las reformuló en la notación vectorial actual.

Desde finales del siglo XVIII diversos científicos formularon leyes cuantitativas que relacionaban las interacciones entre los campos eléctricos, los campos magnéticos y las corrientes sobre conductores. Entre estas leyes están la ley de Ampère, la ley de Faraday o la ley de Lenz. Maxwell lograría unificar todas estas leyes en una descripción coherente del campo electromagnético.

Maxwell se dio cuenta de que la conservación de la carga eléctrica parecía requerir introducir un término adicional en la ley de Ampère. De hecho, actualmente se considera que uno de los aspectos más importantes del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el término que introdujo en dicha ley: la derivada temporal de un campo eléctrico, conocida como corriente de desplazamiento. El trabajo que Maxwell publicó en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificaba la versión de la ley de Ampère con lo que se predecía la existencia de ondas electromagnéticas propagándose, dependiendo del medio material, a la velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz como una onda electromagnética, unificando así la óptica con el electromagnetismo.[2]

Exceptuando la modificación a la ley de Ampère, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo que hizo Maxwell fue reobtener dichas ecuaciones a partir de modelos mecánicos e hidrodinámicos usando su modelo de vórtices de líneas de fuerza de Faraday.

En 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupó estas ecuaciones y las reformuló en la notación vectorial actual. Sin embargo, es importante conocer que al hacer eso, Heaviside usó derivadas parciales temporales, diferentes a las derivadas totales usadas por Maxwell, en la ecuación (54). Ello provocó que se perdiera el término ${\displaystyle v\times B}$ que aparecía en la ecuación posterior del trabajo de Maxwell (número 77). En la actualidad, este término se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce como fuerza de Lorentz.

La historia es aún confusa, debido a que el término ecuaciones de Maxwell se usa también para un conjunto de ocho ecuaciones en la publicación de Maxwell de 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, y esta confusión se debe a que seis de las ocho ecuaciones son escritas como tres ecuaciones para cada eje de coordenadas, así se puede uno confundir al encontrar veinte ecuaciones con veinte incógnitas. Los dos tipos de ecuaciones son casi equivalentes, a pesar del término eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones.

Para el caso de que las cargas estén en medios materiales, y asumiendo que estos son lineales, homogéneos, isótropos y no dispersivos, se puede encontrar una relación entre los vectores intensidad eléctrica e inducción magnética mediante dos parámetros conocidos como permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética:[10]

${\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}{\vec {E}}}$

${\displaystyle {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}=\mu _{0}\mu _{r}{\vec {H}}}$

Pero estos valores también dependen del medio material, por lo que se dice que un medio es lineal cuando la relación entre E/D y B/H es lineal. Si esta relación es lineal, matemáticamente se puede decir que ${\displaystyle \varepsilon }$ y ${\displaystyle \mu }$ están representadas por una matriz 3x3. Si un medio es isótropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y consecuentemente es equivalente a una función ${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$; si en esta diagonal uno de los elementos es diferente del otro se dice que es un medio anisótropo. Estos elementos también son llamados constantes dieléctricas y, cuando estas constantes no dependen de su posición, el medio es homogéneo.[11]

Los valores de ${\displaystyle \varepsilon }$ y ${\displaystyle \mu }$ en medios lineales no dependen de las intensidades del campo. Por otro lado, la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas están en medios homogéneos e isótropos. Los medios heterogéneos e isótropos dependen de las coordenadas de cada punto por lo que los valores, escalares, van a depender de la posición. Los medios anisótropos son tensores.[10] Finalmente, en el vacío tanto ${\displaystyle \ \rho }$ como ${\displaystyle {\vec {J}}}$ son cero porque suponemos que no hay fuentes.

En la siguiente tabla encontramos las ecuaciones como se las formula en el vacío y en la materia.[12]

En el vacío	En la materia
${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho }$
${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}$	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}$
${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial {t}}}}$	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial {t}}}}$
${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}$	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial {t}}}}$

Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla:

Nombre	Forma diferencial	Forma integral
Ley de Gauss:	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$	${\displaystyle {\underset {S}{\oint }}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$
Ley de Gauss para el campo magnético:	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}$	${\displaystyle \oint _{S}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=0}$
Ley de Faraday:	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{C}{\vec {E}}\cdot d{\vec {\ell }}=-\ {d \over dt}\int _{S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}}$
Ley de Ampère generalizada:	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\,\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{C}{\vec {B}}\cdot d{\vec {\ell }}=\mu _{0}\int _{S}{\vec {J}}\cdot d{\vec {S}}+\mu _{0}\,\varepsilon _{0}{\frac {d}{dt}}\int _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}}$

Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican cualquier tipo de fenómeno electromagnético. La importancia de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen invariantes con cualquier sistema de unidades, salvo con pequeñas excepciones, y que son compatibles con la relatividad especial y general. Además Maxwell descubrió que la cantidad ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\,\mu _{0}}}}}$ era simplemente la velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una forma de radiación electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, la permitividad y la permeabilidad magnética se resumen en la siguiente tabla:

Símbolo	Nombre	Valor numérico	Unidad de medida SI	Tipo
${\displaystyle c\ }$	Velocidad de la luz en el vacío	${\displaystyle 2.99792458\times 10^{8}}$	metros por segundo	definido
${\displaystyle \ \varepsilon _{0}}$	Permitividad del vacío	${\displaystyle 8.854\times 10^{-12}}$	faradios por metro	derivado
${\displaystyle \ \mu _{0}\ }$	Permeabilidad magnética	${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}}$	henrios por metro	definido

Como consecuencia matemática de las ecuaciones de Maxwell y además con el objetivo de simplificar sus cálculos se han introducido los conceptos de potencial vector (${\displaystyle {\vec {A}}}$) y potencial escalar (${\displaystyle \ \Phi }$). Este potencial vector no es único y no tiene significado físico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una contribución ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {A}}}$ paralela a la corriente.[13] Este potencial se obtiene como consecuencia de la ley de Gauss para el flujo magnético, ya que se conoce que si la divergencia de un vector es cero, ese vector como consecuencia define a un rotacional, así:[14]

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {A}})=0}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow \quad {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}}$

A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un potencial escalar así:[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times {\vec {E}}&=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial {t}}}\\\nabla \times {\vec {E}}+{\frac {\partial }{\partial {t}}}(\nabla \times {\vec {A}})&=0\\\nabla \times {\Big (}{\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial {t}}}{\Big )}&=0\\\Longleftrightarrow \quad -\nabla \Phi &={\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial {t}}}\end{aligned}}}$

donde el signo menos (${\displaystyle -}$) es por convención. Estos potenciales son importantes porque poseen una simetría gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos.[12] El campo eléctrico en función de los potenciales:

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \Phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial {t}}}}$

Hallamos que con la introducción de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell quedan reducidas solo a dos, puesto que, la ley de Gauss para el campo magnético y la ley de Faraday quedan satisfechas por definición. Así la ley de Gauss para el campo eléctrico escrita en términos de los potenciales:

${\displaystyle -\nabla ^{2}\Phi -{\cfrac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot {\vec {A}})={\cfrac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

y la ley de ampère generalizada

${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\nabla ^{2}{\vec {A}}=\mu _{0}\,{\vec {J}}-\mu _{0}\,\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bigg (}\nabla \Phi +{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}{\bigg )}}$.

Nótese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo orden. Sin embargo, estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada elección del gauge.

En el capítulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, titulado «Ecuaciones generales del campo electromagnético», Maxwell formuló ocho ecuaciones que nombró de la A a la H.[15] Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como «las ecuaciones de Maxwell», pero ahora este epíteto lo reciben las ecuaciones que agrupó Heaviside. La versión de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene solo una ecuación de las ocho originales, la ley de Gauss que en el conjunto de ocho sería la ecuación G. Además Heaviside fusionó la ecuación A de Maxwell de la corriente total con la ley circuital de Ampère que en el trabajo de Maxwell era la ecuación C. Esta fusión, que Maxwell por sí mismo publicó en su trabajo On Physical Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampère para incluir la corriente de desplazamiento de Maxwell.

Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma vectorial así:

Denominación	Nombre	Ecuación
A	Corriente de desplazamiento	${\displaystyle {\vec {J}}_{\rm {tot}}={\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$
B	Ecuación de Fuerza magnética	${\displaystyle \mu {\vec {H}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}$
C	Ley circuital de Ampère	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}_{\rm {tot}}}$
D	Fuerza de Lorentz	${\displaystyle {\vec {E}}=\mu {\vec {v}}\times {\vec {H}}-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}-\nabla \phi }$
E	Ecuación de electricidad elástica	${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{\varepsilon }}{\vec {D}}}$
F	Ley de Ohm	${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{\sigma }}{\vec {J}}}$
G	Ley de Gauss	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho }$
H	Ecuación de continuidad de carga	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$

donde: ${\displaystyle {\vec {H}}}$ es el vector intensidad de campo magnético (llamado por Maxwell como intensidad magnética); ${\displaystyle {\vec {J}}}$ es la densidad de corriente eléctrica y ${\displaystyle {\vec {J}}_{\rm {tot}}}$ es la corriente total incluida la corriente de desplazamiento; ${\displaystyle {\vec {D}}}$ es el campo desplazamiento (desplazamiento eléctrico); ${\displaystyle \ \rho }$ es la densidad de carga libre (cantidad libre de electricidad); ${\displaystyle {\vec {A}}}$ es el vector potencial magnético (impulso magnético); ${\displaystyle {\vec {E}}}$ es el campo eléctrico (fuerza electromotriz [no confundir con la actual definición de fuerza electromotriz]); ${\displaystyle \ \phi }$ es el potencial eléctrico y ${\displaystyle \ \sigma }$ es la conductividad eléctrica (resistencia específica, ahora solo resistencia).

Maxwell no consideró a los medios materiales en general, esta formulación inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales, isótropos y no dispersos, a pesar de que también se las puede usar en medios anisótropos.

Maxwell incluyó el término ${\displaystyle \mu {\vec {v}}\times {\vec {H}}}$ en la expresión de la fuerza electromotriz de la ecuación D, que corresponde a la fuerza magnética por unidad de carga en un conductor que se mueve a una velocidad ${\displaystyle {\vec {v}}}$. Esto significa que la ecuación D es otra formulación de la fuerza de Lorentz. Esta ecuación primero apareció como la ecuación 77 de la publicación On Physical Lines of Force de Maxwell, anterior a la publicación de Lorentz. En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de Maxwell pero se la considera una ecuación adicional fundamental en el electromagnetismo.

En la relatividad especial, las ecuaciones de Maxwell en el vacío se escriben mediante unas relaciones geométricas, las cuales toman la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial. Estas ecuaciones están escritas en términos de cuadrivectores y tensores contravariantes, que son objetos geométricos definidos en M⁴. Estos objetos se relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geométricas que al expresarlas en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para el campo electromagnético.

La cuadricorriente ${\displaystyle \,J^{\alpha }}$ está descrita por una 1-forma y lleva la información sobre la distribución de cargas y corrientes. Sus componentes son:

${\displaystyle \,J^{\alpha }=(c\rho (\mathbf {r} ,t),\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t))}$

Que debe cumplir la siguiente relación geométrica para que se cumpla la ecuación de continuidad.

${\displaystyle \,\delta J=0}$

Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda:

${\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=0}$

Para poner en correspondencia objetos del mismo rango, se utiliza el operador de Laplace-Beltrami o laplaciana definida como:

${\displaystyle \Box =d\delta +\delta d}$

Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial, que lleva la información del potencial eléctrico y el potencial vector magnético.

${\displaystyle \Box ^{2}A=-\mu _{0}J}$

O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que:

${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }}$

Expresión que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales electromagnéticos.

La 1-forma A lleva la información sobre los potenciales de los observadores inerciales siendo sus componentes:

${\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\Phi }{c}},\mathbf {A} \right)}$

Para obtener el objeto geométrico que contiene los campos, tenemos que subir el rango de A mediante el operador diferencial exterior ${\displaystyle \partial }$ obteniendo la 2-forma F campo electromagnético. En forma geométrica podemos escribir:

${\displaystyle F=\mathrm {d} A}$

Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que:

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$

Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagnético.

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-{\cfrac {E_{x}}{c}}&-{\cfrac {E_{y}}{c}}&-{\cfrac {E_{z}}{c}}\\{\cfrac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\cfrac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\cfrac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

Obtención de las ecuaciones

• Para ${\displaystyle \,\nu =0}$:

${\displaystyle \partial _{\mu }*F^{\mu 0}=\partial _{1}*F^{10}+\partial _{2}*F^{20}+\partial _{3}*F^{30}=\left[{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial B_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}\right]=0}$

Por tanto:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

• Para ${\displaystyle \,\nu =1,2,3}$ se obtiene la ecuación vectorial:

${\displaystyle \nabla \wedge \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0}$

La propiedad ${\displaystyle \,\partial _{\alpha }*F^{\alpha \beta }=0}$ reproduce las ecuaciones de Maxwell internas, que se puede expresar como ${\displaystyle \,d\mathbf {F} =0}$, que se puede escribir en los sistemas coordenados Lorentz como:

${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=0}$

Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que describen el campo electromagnético en la siguiente tabla. La primera columna son las relaciones geométricas, independientes de cualquier observador; la segunda columna son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz; y la tercera es la descripción de la relación y la ley que cumple.

Forma geométrica	Covariante Lorentz	Descripción
${\displaystyle \,\delta A=0}$	${\displaystyle \,\partial _{\mu }A^{\mu }=0}$	Condición/gauge de Lorenz (*)
${\displaystyle \,F=dA}$	${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$	Definición de campos electromagnéticos
${\displaystyle \Box A=\mu _{0}J}$	${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }}$	Ecuación de onda
${\displaystyle {\begin{matrix}\delta F=\mu _{0}J\\\delta *F=0\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }\\\partial _{\mu }*F^{\mu \nu }=0\end{matrix}}}$	Ecuaciones de Maxwell
${\displaystyle \,\delta J=0}$	${\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=0}$	Ley de conservación de la carga

(*) Existe una confusión habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge. Las primeras ecuaciones en las que aparece tal condición (1867) se deben a Ludvig V. Lorenz, no al mucho más conocido Hendrik A. Lorentz. (Véase: J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 3rd edition p.294)

Finalmente el cuadrigradiente se define así:

${\displaystyle {\partial \over {\partial x^{\alpha }}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\alpha }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {}_{,\alpha }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\partial }{\partial ct}},\nabla \right)}$

Los índices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumación de Einstein. De acuerdo con el cálculo tensorial, los índices pueden subirse o bajarse por medio de la matriz fundamental g.

El primer tensor es una expresión de dos ecuaciones de Maxwell, la ley de Gauss y la ley de Ampère generalizada; la segunda ecuación es consecuentemente una expresión de las otras dos leyes.

Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz ${\displaystyle \ {\vec {v}}\times {\vec {B}}}$ se puede derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invarianza de la carga eléctrica.[16][17]

En las ecuaciones de Maxwell, los campos vectoriales no son solo funciones de la posición, en general son funciones de la posición y del tiempo, como por ejemplo ${\displaystyle {\vec {H}}(x,y,z,t)}$. Para la resolución de estas ecuaciones en derivadas parciales, las variables posicionales se encuentran con la variable temporal. En la práctica, la resolución de dichas ecuaciones pueden contener una solución armónica (sinusoidal).

Con ayuda de la notación compleja se puede evitar la dependencia temporal de los resultados armónicos, eliminando así el factor complejo de la expresión ${\displaystyle \ e^{i\omega t}}$. Gran parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas, además de no ser solo función de la posición. En lugar de la derivación parcial en el tiempo se tiene la multiplicación del factor imaginario ${\displaystyle \ i\omega }$, donde ${\displaystyle \ \omega }$ es la frecuencia angular.

En la forma compleja, las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma:[10]

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho }$

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}$

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-i\omega {\vec {B}}}$

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {\imath }}=(\sigma +i\omega \varepsilon ){\vec {E}}}$

• Electromagnetismo
• James Clerk Maxwell, Oliver Heaviside
• Carga
• Onda electromagnética, ecuación de onda electromagnética
• Ecuaciones de Jefimenko
• Ley de Gauss, Ley de Faraday, Ley de Ampère
• Divergencia, Rotacional
• Teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman
• Ecuaciones de Maxwell explicadas para noobs

• On Physical Lines of Force
• Wikisource en inglés contiene obras originales de o sobre Ecuaciones de Maxwell.
• Monografías.com archivo sobre ecuaciones de Maxwell
• Modelo de Maxwell Archivado el 19 de enero de 2008 en Wayback Machine.
• Fundamentos de la radiación
• A treatise on electricity and magnetism (1873) Vol. 1 PDF
• A treatise on electricity and magnetism (1873) Vol. 2 PDF