Triángulo equilátero

Fórmulas relativas al valor del lado ${\displaystyle a}$ de un triángulo equilátero:

• Su perímetro es: ${\displaystyle p=3\cdot a}$

La altura es: ${\displaystyle h=a\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

Triángulo semejante de razón ${\displaystyle \alpha ={\frac {a}{2}}.}$ Aplicando el teorema de Pitágoras a una mitad del triángulo dividida por la altura se tiene que: ${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\big (}{\frac {a}{2}}{\big )}^{2}}}=a\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

• La apotema es ${\displaystyle a_{p}=a\cdot {\frac {\sqrt {3}}{6}}}$.[3]

El radio de una circunferencia circunscrita es: ${\displaystyle R=a\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$ El radio de una circunferencia inscrita es: ${\displaystyle r=a\cdot {\frac {\sqrt {3}}{6}}}$

Aplicando semejanza sobre la mitad del triángulo y uno de los pequeños. Se deduce así que ${\displaystyle R=2\cdot r}$ y, por tanto, la distancia del centro a un vértices es el doble que la distancia del centro a una base.

• El radio de la circunferencia exinscrita es ${\displaystyle R_{e}=a\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.[3]
• La relación entre los tres radios citados anteriormente es ${\displaystyle R=2\cdot r={\frac {2}{3}}\cdot R_{e}}$.[3] Además,

${\displaystyle {\frac {3}{a}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}}$[4]

• El semiperímetro es ${\displaystyle \displaystyle s=2R+(3{\sqrt {3}}-4)r\quad {\text{(Blundon)}}}$[5]
• El área es: ${\displaystyle A=a^{2}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{4}}}$
  • El área en función de la altura ${\displaystyle h}$ del triángulo es: ${\displaystyle A=h^{2}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
  • El área en función del radio ${\displaystyle R}$ de la circunferencia circunscrita es: ${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}}$
  • El área en función del radio ${\displaystyle r}$ de la circunferencia inscrita es:${\displaystyle A=r^{2}\cdot 3{\sqrt {3}}}$
  • El área en función del radio ${\displaystyle R_{e}}$ de la circunferencia exinscrita es:${\displaystyle A=R_{e}^{2}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$[3]

Según símbolo de Schläfli se pueden obtener las siguientes construcciones:

• {3/1} es el triángulo equilátero.

• {3,6} es el teselado del plano.

• {3,5} es el icosaedro.

• {3,4} es el octaedro.

• {3,3} es el tetraedro.