Théorie de Yang-Mills

Pour définir une théorie de Yang-Mills il faut commencer par se donner un groupe de jauge ${\displaystyle G}$ qui est un groupe de Lie et représente physiquement le groupe de symétrie locale de la théorie. L'invariance locale signifie que les équations de Yang-Mills seront inchangées sous l'action de transformations de G sur les champs physiques en chaque point de l'espace-temps.

Pour décrire la théorie, le meilleur point de vue est alors d'incorporer l'espace-temps et le groupe ${\displaystyle G}$ au sein d'une même entité géométrique appelée espace fibré en G. On peut visualiser cet espace fibré par la donnée d'une copie du groupe G au-dessus de chaque point de l'espace-temps[4].

Une fois cet espace construit l'outil fondamental de l'analyse est la donnée d'une connexion ${\displaystyle A}$ qui est un objet analogue au potentiel vecteur de la théorie électromagnétique. D'un point de vue mathématique une connexion est ce qui permet de définir un transport parallèle sur l'espace-fibré[5]. D'un point de vue de physique quantique, et pour prendre l'exemple plus simple de l'électromagnétisme, la connexion est ce qui permet de connaitre l'évolution de la phase d'une particule chargée, comme un électron en mouvement par exemple.

Pour définir complètement cette connexion, on peut la voir comme une forme différentielle sur l'espace-temps à valeur dans l'espace tangent du groupe de Lie ${\displaystyle G}$, ce qu'on appelle l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ de ${\displaystyle G}$. En tout point ${\displaystyle P}$ de l'espace-temps elle peut s'écrire

${\displaystyle A(P)=A_{\mu }(P){\rm {d}}x^{\mu }\qquad A_{\mu }(P)\in T_{P}G}$

où ${\displaystyle x^{\mu }}$ sont des coordonnées sur l'espace-temps.

En première approche on peut aussi visualiser ${\displaystyle A_{\mu }}$ comme la donnée d'une matrice (dans la représentation adjointe de G) en chaque point de l'espace-temps.

On peut alors introduire le lagrangien de Yang-Mills, duquel découlent de nombreuses équations. Il est formulé en termes de la courbure ${\displaystyle F}$ de la connexion ${\displaystyle A}$ qui est exprimée par

${\displaystyle F=d_{A}A\equiv {\rm {d}}A+A\wedge A}$

et s'écrit

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{4g^{2}}}\int \mathrm {Tr} F\wedge \star F}$

où Tr est la trace dans la représentation adjointe l'algèbre de Lie de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. ${\displaystyle g}$ est le seul paramètre libre de la théorie et correspond à la constante de couplage de la théorie de Yang-Mills.

L'utilisation de ce lagrangien fait intervenir des équations aux dérivées partielles, dont l'existence ou l'unicité des solutions est inconnue dans le cas général. On peut toutefois, en imposant certaines conditions initiales, lever ce problème. Néanmoins, cela n'est pas satisfaisant d'un point de vue physique, car de telles conditions ne correspondent pas (ou ne permettent pas de se ramener) à celles de l'expérience.

Les premières équations de Yang-Mills à être introduites étaient les équations de Yang-Mills pour l'électromagnétisme, qui remplacent celles de Maxwell :

${\displaystyle d_{A}F=0\,}$

${\displaystyle d_{A}\star F=\star J\,}$

ou d_A est l'extension covariante de jauge de la dérivée extérieure, ${\displaystyle \star }$ l'étoile de Hodge et enfin ${\displaystyle J}$ est le terme de sources. Il apparaît, par opposition aux équations de Maxwell, que les équations de Yang-Mills ne sont pas linéaires. Ainsi, seules quelques solutions exactes à ces équations sont connues, la plupart du temps sous forme d’ansatz.

Le succès de la théorie de Yang-Mills avec l'électromagnétisme amena à se poser la question de son efficacité éventuelle à traiter les deux autres forces quantiques : l'interaction nucléaire faible et forte. Cependant, la théorie utilise des vecteurs d'interaction de masse nulle : cela fonctionne pour l'électromagnétisme, dont le vecteur est le photon. Mais cela fut un obstacle pour les deux interactions nucléaires, dont on savait qu'au moins une partie était transmise par des bosons massifs.

La compréhension du mécanisme de Higgs, qui donne une masse aux vecteurs des interactions nucléaires, et de l'unification électro-faible, qui réunit électromagnétisme et interaction faible dans une même description théorique, constituèrent les deux principaux éléments à partir desquels la théorie de Yang-Mills put s'appliquer à ces deux interactions quantiques.

L'interaction forte révéla en fait une propriété remarquable de la théorie de Yang-Mills elle-même : la liberté asymptotique. Cela permit la description de cette interaction dans SU(3) au travers de la chromodynamique quantique, qui utilise les mêmes concepts.

Cependant, la description de l'interaction forte faite par cette théorie ne peut vérifier l'expérience que si elle présente un certain nombre de phénomènes purement quantiques :

• Elle doit posséder un « gap de masse » : il doit exister une constante (par nature positive) telle que toute excitation du vide ait au moins autant d'énergie que cette constante. Cela explique pourquoi cette interaction est si forte et de portée si courte.
• Elle doit expliquer le « confinement de couleur » : la théorie s'exprime dans SU(3), mais les particules comme les protons ou les neutrons sont invariants dans ce groupe. En effet, on n'observe jamais de quark individuellement.
• Elle doit permettre la « brisure de symétrie chirale », afin de rester cohérente avec les descriptions algébriques des pions.

Ces propriétés, bien qu'observées dans les simulations ou dans les accélérateurs de particules, ne sont pas encore comprises dans la théorie de Yang-Mills. On peut parfois les expliquer dans des modèles extrêmement simplifiés, mais ces preuves ne s'étendent pas à la théorie complète.