Connexité (mathématiques)

Si X et Y sont deux parties connexes d'un espace topologique, en général l'union et l'intersection de X et Y ne sont pas connexes.

En revanche, l'union des deux parties connexes est connexe dès qu'elles ont un point commun (il suffit même que l'une des deux rencontre l'adhérence de l'autre). Plus généralement :

• Pour toute famille (finie ou pas) de parties connexes dont l'intersection est non vide, la réunion est connexe.

Exemples d'application :

• toute partie connexe par arcs est connexe (comme réunion des chemins dans cette partie ayant tous une même origine fixée) ;
• si ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ est une suite de parties connexes telle que chacune a un point commun avec la suivante ${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} ,X_{n}\cap X_{n+1}\neq \varnothing )}$ alors la réunion ${\displaystyle \cup _{n\in \mathbb {N} }X_{n}}$ est connexe (comme réunion des ${\displaystyle Y_{n}:=\cup _{k\leq n}X_{k}}$ qui, par récurrence, sont connexes).

Si A est une partie connexe de E alors son adhérence A est connexe car plus généralement, toute partie B de E telle que A ⊂ B ⊂ A est connexe.

Théorème du passage à la douane : dans un espace topologique, toute partie connexe qui rencontre à la fois une partie C et son complémentaire rencontre nécessairement la frontière de C[1].

Un produit d'espaces non vides est connexe si (et seulement si) chaque facteur l'est. Plus généralement, l'espace total d'un fibré de base et de fibre connexes est connexe[2].

Étant donné un point x d'un espace topologique E, la réunion de toutes les parties connexes contenant x est connexe. C'est la plus grande (au sens de la relation d'inclusion) de toutes les parties connexes contenant x. On la note C_x et on l'appelle composante connexe de x dans E. Les composantes connexes des points de E sont donc les parties connexes maximales pour l'inclusion (il n'y en a qu'une si l'espace est connexe). Elles forment une partition de E ; autrement dit : ce sont les classes d'une relation d'équivalence sur E. Deux points de E sont dits connectés s'ils sont dans la même composante connexe.

Au minimum, on a C_x = {x} ; cela signifie que {x} est le seul sous-ensemble connexe de E contenant x mais pas forcément que x est un point isolé (voir exemples). Si C_x = {x} pour tout point x de E, on dit que E est totalement discontinu. Au maximum, on a C_x = E ; c'est le cas où E est connexe.

Les composantes connexes sont toujours fermées mais pas toujours ouvertes (elles le sont si et seulement si l'espace est leur somme topologique) ; cependant :

• les composantes connexes d'un espace localement connexe sont ouvertes ;
• toute partie connexe non vide qui est à la fois fermée et ouverte est une composante connexe.

Exemples

• ℝ* a deux composantes connexes : ℝ₊* et ℝ_–*.
• Plus généralement, le groupe GL(n, ℝ) des matrices inversibles de taille n a deux composantes connexes, données par le signe du déterminant.
• Dans ℕ et plus généralement dans un espace muni de la topologie discrète, les composantes connexes sont les singletons.
• Dans ℚ, aucun point n'est isolé, mais les composantes connexes sont aussi les singletons. Le même phénomène se produit pour l'ensemble de Cantor. Ce sont donc des exemples d'espaces totalement discontinus.
• Tout ouvert de ℝ est localement connexe (car ℝ l'est) donc est réunion (donc réunion au plus dénombrable) ∪_k∈κI_k d'intervalles ouverts non vides disjoints : ses composantes connexes. Il est donc homéomorphe à ℝ×κ (où κ est muni de la topologie discrète).

D'après la définition, un espace est connexe lorsque son image par une application continue n'est jamais l'espace discret {0, 1}. Or ce dernier est (a fortiori) non connexe. Plus généralement :

Toute image continue d'un connexe est connexe.

C'est-à-dire que si E est un espace connexe et f une application continue de E dans un espace F, alors f(E) est une partie connexe de F. En effet, si g est une application continue de f(E) dans l'espace discret {0, 1}, alors g∘f — continue sur le connexe E — est constante donc g est constante. En particulier :

• ceci fournit une preuve du fait que tout chemin est connexe — qui correspond au cas où E est un intervalle réel — et du théorème des valeurs intermédiaires (qui est le cas particulier d'un chemin dans ℝ) à condition d'avoir démontré au préalable que tout intervalle réel est connexe, comme indiqué ci-dessus, sans utiliser ce théorème ;
• tout quotient d'un connexe est connexe.

• Espace bien enchaîné
• Espace unicohérent
• Théorème de Phragmén-Brouwer

• Georges Skandalis, Topologie et analyse 3^e année, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001
• Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann, coll. « Méthodes », 1995

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