Construction des entiers relatifs

Les points rouges représentent les couples d'entiers modélisant les relatifs. Les points rouges reliés par des pointillés bleus appartiennent à la classe d'équivalence du nombre relatif situé dans le prolongement de la ligne, lui aussi en bleu.

On sait déjà que l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {N} }$ des entiers naturels, muni de la loi interne addition, est un monoïde commutatif ; donc notre but est simplement de rajouter un opposé (élément symétrique pour l'addition) pour chaque entier non nul. Il ne s'agit pas de rajouter brutalement un élément, il faut aussi définir l'addition.

C'est pourquoi on va partir de la notion naïve d'entier relatif, que l'on suppose déjà connue, pour construire l'objet mathématique correspondant. Si on veut définir ${\displaystyle -2}$ avec des entiers naturels, on a envie de le voir comme ${\displaystyle 0-2}$, ou comme ${\displaystyle 5-7}$, ou… ; bref, on a envie de le voir comme la différence de deux entiers naturels. Cela pose une difficulté, car on voit d'une part que l'écriture n'est pas unique, et d'autre part, que cela fait intervenir une opération, la soustraction, qui n'a pas toujours un sens avec les entiers naturels.

On va donc considérer des couples d'entiers, de la forme ${\displaystyle (n_{1},n_{2})}$, et considérer que le couple ${\displaystyle (n_{1},n_{2})}$ correspond à l'entier relatif naïf ${\displaystyle n_{1}-n_{2}}$ ; et comme on a vu qu'il n'est pas raisonnable de prendre ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ comme ensemble des entiers relatifs, on va regrouper les couples qui correspondent au même entier relatif naïf.

Pour cela, on va définir sur ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ une relation d'équivalence ${\displaystyle R}$, par : ${\displaystyle (n_{1},n_{2})R(n_{1}',n_{2}')\Leftrightarrow n_{1}+n_{2}'=n_{1}'+n_{2}}$. Intuitivement, on est en train d'écrire que deux couples sont égaux si quand on soustrait le second entier du couple au premier on obtient le même entier relatif. Mais on n'utilise que la somme pour définir ${\displaystyle R}$, donc cette définition n'utilise pas d'objet naïf.

Les relations d'équivalences sont faites pour quotienter ; on définit donc : ${\displaystyle \mathbb {Z} =(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )/R}$

On dispose maintenant de l'ensemble des entiers relatifs ; il reste à définir l'addition sur ces derniers : pour cela, on ne dispose que de la définition sur les entiers ; on va donc d'abord définir une opération sur les couples d'entiers, et comme elle sera compatible avec la relation ${\displaystyle R}$, elle donnera une opération sur les entiers relatifs.

On définit la somme de deux couples d'entiers ainsi : ${\displaystyle (n_{1},n_{2})+(n_{1}',n_{2}')=(n_{1}+n_{1}',n_{2}+n_{2}')}$ ; cette opération est commutative, associative et d'élément neutre ${\displaystyle (0,0)}$ sur les couples d'entiers ; elle passe clairement au quotient, pour donner sur ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ une structure de monoïde commutatif, dont le neutre est la classe de ${\displaystyle (0,0)}$, constituée des couples ${\displaystyle (n,n)}$.

Il ne reste donc qu'à trouver un opposé à tout entier relatif ; mais ceci est immédiat : si ${\displaystyle (n_{1},n_{2})}$ représente un entier relatif dans les couples d'entiers, ${\displaystyle (n_{1},n_{2})+(n_{2},n_{1})}$ est égal à ${\displaystyle (n_{1}+n_{2},n_{1}+n_{2})}$ donc équivalent à ${\displaystyle (0,0)}$. La classe d'équivalence de ${\displaystyle (n_{2},n_{1})}$ est donc opposée à la classe d'équivalence de ${\displaystyle (n_{1},n_{2})}$.

Addition de 2 et de -1, ainsi que de -1 et de 2 avec différents représentants.

Addition de 2 et de -2, ainsi que de -2 et de 2 avec différents représentants.

On va montrer qu'il y a un morphisme de monoïdes injectif de ${\displaystyle \mathbb {N} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ; de cette façon, on pourra voir un entier naturel comme un cas particulier d'entier relatif. À nouveau, c'est l'idée naïve que l'on se faisait des entiers relatifs qui montre la voie.

Soit ${\displaystyle n}$ un entier naturel ; on lui associe la classe du couple ${\displaystyle (n,0)}$. On voit alors que :

• ${\displaystyle 0}$ a pour image la classe de ${\displaystyle (0,0)}$, donc le ${\displaystyle 0}$ des entiers relatifs ;
• ${\displaystyle n+n'}$, la somme de deux entiers, a pour image la classe de ${\displaystyle (n+n',0)}$, qui est la somme des classes de ${\displaystyle (n,0)}$ et ${\displaystyle (n',0)}$.

Par ailleurs, on voit bien que cette application est injective, puisque demander que les classes de ${\displaystyle (n,0)}$ et ${\displaystyle (n',0)}$ soient égales, c'est précisément demander que ${\displaystyle n=n'}$.

Notons (n ; m) la classe d'un couple d'entiers naturels (n, m). Elle est de l'un des trois types suivants :

• (d ; 0) si n > m avec n = m + d et d non nul
• (0 ; d) si n < m avec n + d = m et d non nul
• (0 ; 0) si n = m

Or l'ensemble des classes (d ; 0) est isomorphe à ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ; on note donc ces classes sous la forme simplifiée d.

D'autre part, pour d non nul, les classes (d ; 0) et (0 ; d) sont opposées. En effet, (d ; 0) + (0 ; d) = (d ; d) = (0 ; 0). On note donc les classes (0 ; d) sous la forme simplifiée (–d).

L'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ retrouve alors sa forme plus classique de ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{(-d)\mid d\in \mathbb {N} ^{*}\}}$.

On peut alors définir la multiplication comme suit : ${\displaystyle (n_{1},n_{2})\times (m_{1},m_{2})=(n_{1}m_{1}+n_{2}m_{2},n_{1}m_{2}+m_{1}n_{2})}$ (toujours en s'inspirant de l'analogie avec les entiers relatifs naïfs).

Cette opération définie sur ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ est associative, commutative, possède un élément neutre (1, 0) et est distributive pour l'addition précédemment définie. De plus, elle est compatible avec la relation d'équivalence. Par passage au quotient, elle confère à ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ une structure d'anneau unitaire.

Les égalités

${\displaystyle (d,0)\times (d',0)=(dd',0)}$

${\displaystyle (d,0)\times (0,d')=(0,dd')}$

${\displaystyle (0,d)\times (0,d')=(dd',0)}$

permettent les écritures

${\displaystyle d\times d'=dd'}$

${\displaystyle d\times (-d')=(-dd')}$

${\displaystyle (-d)\times (-d')=dd'}$,

qui permettent de démontrer que l'anneau est aussi intègre.

On vérifie aisément :

${\displaystyle \mathbb {N} \cup (-\mathbb {N} )=\mathbb {Z} {\text{ et }}\mathbb {N} \cap (-\mathbb {N} )=\{0\}.}$

Ceci, lié au fait que ${\displaystyle \mathbb {N} }$ est une partie de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ stable par somme et produit, permet de démontrer que la relation binaire sur ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ définie par :

${\displaystyle x\leqslant y\iff y-x\in \mathbb {N} }$

est une relation d'ordre total sur ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ qui prolonge celle de ${\displaystyle \mathbb {N} }$, et qu'elle est compatible avec l'addition ainsi que la multiplication par un élément positif. On en déduit également qu'une partie non vide de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ minorée (resp. majorée) possède un minimum (resp. un maximum).

En informatique théorique, d'autres méthodes de constructions des entiers relatifs sont utilisées par les outils de démonstration automatique de théorèmes et de réécriture de termes. Les entiers relatifs sont représentés comme des termes algébriques construits à partir de quelques opérations de base (par exemple zero, succ, pred...) et, éventuellement, à partir d'entiers naturels que l'on suppose avoir été préalablement construits selon la méthode de Peano.

On recense, au minimum, une dizaine de telles constructions des entiers relatifs[1]. Ces constructions diffèrent en plusieurs points : le nombre des opérations de base utilisées ; le nombre (généralement entre 0 et 2) et le type des arguments acceptés par ces opérations ; l'utilisation ou non des entiers naturels comme arguments de certaines de ces opérations ; le fait que ces opérations soient libres ou non, c'est-à-dire qu'un même nombre relatif corresponde à un seul ou à plusieurs termes algébriques.

La technique de construction des entiers relatifs par symétrisation présentée ci-dessus correspond d'ailleurs au cas particulier où l'on n'a qu'une seule opération de base pair${\displaystyle (x,y)}$ qui prend comme arguments deux entiers naturels ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ et renvoie un entier relatif (égal à ${\displaystyle x-y}$). Cette opération n'est pas libre puisque l'entier relatif 0 peut s'écrire pair(0,0), ou pair(1,1), ou pair(2,2), etc. Cette technique de construction est utilisée par l'assistant de preuve Isabelle/HOL ; cependant, de nombreux autres outils utilisent des techniques de construction différentes, notamment celles avec des constructeurs libres qui sont plus simples et s'implémentent plus efficacement dans les ordinateurs.

• Corps des fractions
• Construction des nombres rationnels

• Arithmétique et théorie des nombres