Distribution de temps de séjour

La concentration du traceur à l'entrée du réacteur passe brusquement de 0 à C₀. La concentration du traceur en sortie du réacteur est mesurée et peut d'être divisée par la concentration initiale C₀ (en général connue) pour obtenir la courbe adimensionnelle F[3] qui est comprise entre 0 et 1:

${\displaystyle F(t)={\frac {C(t)}{C_{0}}}\qquad (9)}$

Par un bilan de matière, on peut définir la relation suivante

${\displaystyle F(t)+\tau \cdot I(t)=1\qquad (10)}$    ce qui donne    ${\displaystyle I(t)={\frac {1-F(t)}{\tau }}\qquad (11)}$

En utilisant les relations (7) et (10), on trouve

${\displaystyle F(t)=\int \limits _{0}^{t}E(t)\,\mathrm {d} t\qquad (12)}$    ce qui donne    ${\displaystyle E(t)={\frac {\mathrm {d} F(t)}{\mathrm {d} t}}\qquad (13)}$

La valeur de la moyenne et de la variance peuvent également être déduite de la fonction F(t)

${\displaystyle {\overline {t}}=\int \limits _{0}^{\infty }t\cdot E(t)\,\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{1}t\,\mathrm {d} F(t)=-\int \limits _{0}^{1}t\,\mathrm {d} (1-F(t))=\int \limits _{0}^{\infty }(1-F(t))\,\mathrm {d} t\qquad (14)}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }(t-{\overline {t}})^{2}\cdot E(t)\,\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{1}(t-{\overline {t}})^{2}\,\mathrm {d} F(t)=\int \limits _{0}^{1}t^{2}\,\mathrm {d} F(t)-{\overline {t}}^{2}=2\int \limits _{0}^{\infty }t(1-F(t))\,\mathrm {d} t-{\overline {t}}^{2}\qquad (15)}$

Cette méthode d'injection consiste à introduire tout le traceur sur un intervalle très court à l'entrée du réacteur de manière à s'approcher de la fonction de Dirac. Dans la pratique, la durée de l'injection doit être petite en comparaison du temps de séjour moyen. La concentration du traceur en sortie du réacteur est mesurée et est divisée par la concentration virtuelle C₀ (définie par le nombre de mole du traceur n₀ injecté divisé par le volume du réacteur) pour obtenir la courbe adimensionnelle C qui est comprise entre 0 et 1[3]:

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {C(t)}{C_{0}}}\qquad (16)}$

Par un bilan de matière, on obtient:

${\displaystyle E(t)={\frac {\dot {V}}{n_{0}}}\cdot C(t)={\frac {1}{\tau }}{\frac {C(t)}{{\bar {C}}_{0}}}={\frac {1}{\tau }}\mathbf {C} \qquad (17)}$

Le réacteur tubulaire idéal n'a qu'une fonction retardatrice et ne change pas le signal d'entrée. Pour une injection par impulsion, on obtient le même signal à la sortie après un certain temps qui correspond au temps de séjour moyen τ.

La distribution de séjour est un pic très étroit situé au temps τ.

${\displaystyle E(t)=\delta (t-\tau )\qquad (18)}$

Le même raisonnement peut être appliqué à l'injection échelon où l'on obtient un échelon décalé de τ avec une réponse désignée par

${\displaystyle F(t)=H(t-\tau )\qquad (19)}$

où H est la fonction échelon unité de Heaviside[2].

Si l'on introduit dans un réacteur parfaitement mélangé une impulsion de n₀ moles de traceur, le système va instantanément atteindre la concentration moyenne maximale

${\displaystyle C_{0,t=0}={\frac {n_{0}}{V}}\qquad (20)}$

L'évolution de la concentration en fonction du temps peut alors être déduite par l'intégration du bilan de matière donné par l'équation (21) où la variation de la quantité de traceur dans le réacteur est égale à la quantité de traceur qui quitte le réacteur :

${\displaystyle V\cdot {\frac {\mathrm {d} C(t)}{\mathrm {d} t}}=-Q\cdot C(t)\qquad (21)}$

ce qui donne

${\displaystyle {\frac {C(t)}{C_{0}}}=\exp \left(-{\frac {t}{\tau }}\right)\qquad (22)}$

d'où

${\displaystyle E(t)={\frac {1}{\tau }}\exp \left(-{\frac {t}{\tau }}\right)\qquad (23)}$

${\displaystyle F(t)=1-\exp \left(-{\frac {t}{\tau }}\right)\qquad (24)}$

Le réacteur tubulaire à écoulement laminaire est un cas particulier du réacteur tubulaire avec un comportement hydrodynamique connu et bien défini, ce qui permet d'en prédire la distribution de séjour. La différence de temps de séjour des éléments de volume dans le réacteur est la conséquence du profil de vitesse parabolique (Ecoulement de Poiseuille). Dans un filet de fluide de position radiale constante, chaque particule traverse le réacteur sans être influencée par les autres[4].

La vitesse dans un tube ayant un écoulement laminaire est fonction de la position dans le tube

${\displaystyle u=u_{\max }\cdot \left(1-{\frac {R^{2}}{R_{0}^{2}}}\right)\qquad (25)}$

où ${\displaystyle u_{\max }}$ est la vitesse au centre du tube et ${\displaystyle {\bar {u}}}$ la valeur moyenne sur la section ${\displaystyle ({\bar {u}}={\frac {Q}{\pi \cdot R^{2}}})}$. La relation entre ces 2 vitesses est ${\displaystyle u_{\max }=2\cdot {\bar {u}}}$.

Le temps de séjour d'un élément de volume qui se trouve dans un filet de fluide donné vaut ainsi :

${\displaystyle t={\frac {L}{u}}=L\cdot \left(u_{\max }\cdot \left(1-{\frac {R^{2}}{R_{0}^{2}}}\right)\right)^{-1}={\frac {t_{\min }}{1-{\frac {R^{2}}{R_{0}^{2}}}}}\qquad (26)}$

avec ${\displaystyle t_{\min }={\frac {L}{u_{\max }}}={\frac {\tau }{2}}\qquad (27)}$

La fraction du flux qui se trouve dans la position ${\displaystyle R+\mathrm {d} R}$ avec une vitesse ${\displaystyle v+\mathrm {d} v}$ qui a un temps de passage ${\displaystyle t+dt}$ se calcule avec la relation suivante :

${\displaystyle E(t)\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} Q}{Q}}={\frac {u\cdot 2\cdot \pi \cdot R\mathrm {d} R}{\pi \cdot R_{0}^{2}\cdot {\bar {u}}}}={\frac {2\cdot u\cdot R\mathrm {d} R}{{\bar {u}}\cdot R_{0}^{2}}}\qquad (28)}$

Pour obtenir la relation entre ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} R}$, on utilise l'équation (26) et par dérivation, on a

${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {2\cdot R\cdot t_{\min }}{R_{0}^{2}\cdot \left(1-{\frac {R^{2}}{R_{0}^{2}}}\right)^{2}}}\mathrm {d} R={\frac {2}{R_{0}^{2}\cdot t_{\min }}}\cdot \left({\frac {t_{\min }}{1-{\frac {R^{2}}{R_{0}^{2}}}}}\right)^{2}\cdot R\mathrm {d} R={\frac {2\cdot t^{2}}{R_{0}^{2}\cdot t_{\min }}}\cdot R\mathrm {d} R\qquad (29)}$

Et en utilisant la dérivée (29) et la relation (27), on peut réécrire l'équation (28)

${\displaystyle E(t)\mathrm {d} t={\frac {2\cdot u}{{\bar {u}}\cdot R_{0}^{2}}}\cdot {\frac {R_{0}^{2}\cdot t_{\min }}{2\cdot t^{2}}}\mathrm {d} t={\frac {2\cdot L\cdot t_{\min }\cdot t_{\min }}{L\cdot t\cdot t^{2}}}\mathrm {d} t={\frac {\tau ^{2}}{2\cdot t^{3}}}\mathrm {d} t\qquad (30)}$

En incluant la fonction retardatrice du réacteur piston et en observant que le plus petit temps de séjour possible est donnée par l'équation (27)[2], on a finalement

${\displaystyle E(t)={\frac {\tau ^{2}}{2\cdot t^{3}}}H\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)\qquad {\text{ ou }}\qquad E(t)={\begin{cases}0,&t<{\frac {\tau }{2}}\\{\frac {\tau ^{2}}{2\cdot t^{3}}},&t>{\frac {\tau }{2}}\end{cases}}\qquad (31)}$

Ce qui donne pour ${\displaystyle F(t)}$

${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}E(t)\,\mathrm {d} t=0+\int _{\frac {\tau }{2}}^{t}E(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\frac {\tau }{2}}^{t}{\frac {\tau ^{2}}{2\cdot t^{3}}}\,\mathrm {d} t={\frac {\tau ^{2}}{2}}\int _{\frac {\tau }{2}}^{t}{\frac {\mathrm {d} t}{t^{3}}}\,\mathrm {d} t=1-{\frac {\tau ^{2}}{4t^{2}}}\qquad (32)}$

Le réacteur en cascade se compose de réacteurs parfaitement mélangés placés en série. Les réacteurs sont considérés comme étant identiques et possèdent ainsi la même distribution de séjour. Par convolution successive, il est possible de définir la distribution de séjour globale pour deux réacteurs en série ou plus.

Dans le cas de 2 réacteurs, la fonction de sortie du deuxième réacteur y(t) s'obtient par convolution de la fonction d'entrée x(t) avec la fonction de distribution de temps de séjour pour un réacteur parfaitement mélangé (équation 23). Si une impulsion d'un traceur est utilisé comme moyen d'analyse, il est possible de remplacer la fonction d'entrée par la distribution du temps de séjour de la première cuve.

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{t}x(t-t')\cdot E(t')dt'\qquad (33)}$

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{t}{\frac {1}{\tau _{1}}}exp\left(-{\frac {t-t'}{\tau _{1}}}\right)\cdot exp\left(-{\frac {t'}{\tau _{2}}}\right)dt\qquad (34)}$

En supposant que les 2 cuves sont identiques, ce qui implique que les temps de passage le sont aussi

${\displaystyle y(t)={\frac {1}{\tau }}{\frac {t}{\tau }}exp\left(-{\frac {t}{\tau }}\right)=E(t)\qquad (35)}$

En faisant de même pour N réacteurs identiques

${\displaystyle E(t)={\frac {1}{\tau }}\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{N-1}\cdot {\frac {1}{(N-1)!}}\cdot exp\left(-{\frac {t}{\tau }}\right)\qquad (36)}$

Par intégration la courbe F peut être déduite

${\displaystyle F(t)=1-exp(-{\frac {Nt}{\tau }})\cdot \left(1+N{\frac {t}{\tau }}+{\frac {N\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{2}}{2!}}+...+{\frac {N\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{N-1}}{N-1!}}\right)\qquad (37)}$

Distribution de temps de séjour idéale pour une impulsion dans un réacteur continu

Cas idéal (a). Dans un cas idéal avec un liquide incompressible, le temps de passage τ est défini par la relation habituelle

${\displaystyle \tau ={\frac {V_{\text{tot}}}{F_{0}}}\qquad (26)}$

Ceci permet de définir les différentes courbes caractéristiques d'une impulsion par les équations suivantes

${\displaystyle C(t)=C_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}\qquad (27)}$

${\displaystyle E(t)={\frac {1}{\tau }}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}\qquad (28)}$

${\displaystyle F(t)=1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\qquad (29)}$

Distribution de temps de séjour pour une impulsion dans un réacteur continu avec un court-circuit (F₀, flux total; F_r, flux se mélangeant au contenu du réacteur; F_bp, flux non mélangé, V, volume du réacteur).

Cas avec court-circuit (b). Dans le cas d'un court-circuit, une partie du traceur ne se mélange pas avec le mélange réactionnel présent en début d'expérience dans le réacteur et est directement évacuée vers la sortie. On peut représenter ce problème par une division du flux d'entrée en 2 parties : un flux F_r entrant dans le réacteur et se mélangeant au contenu de ce dernier, un deuxième flux F_bp étant directement dévié vers la sortie sans passer dans le réacteur.

${\displaystyle F_{r}=F_{0}-F_{bp}\qquad (30)}$

Le temps de passage sera donc plus grand que celui d'un réacteur idéal et la fonction ${\displaystyle E(t)}$ diminuera moins rapidement que dans le cas du réacteur idéal. La fonction ${\displaystyle E(t)}$ peut être modélisée par l'équation suivante qui intègre le court-circuit comme étant un tube parallèle au réacteur et qui peut être représenté comme un réacteur tubulaire[4]:

${\displaystyle E(t)={\frac {F_{bp}}{F_{0}}}\cdot \delta (t-0)+{\frac {{F^{2}}_{bp}}{V_{\text{tot}}\cdot F_{0}}}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau _{bp}}}}\qquad (31)}$

On constate pour la fonction ${\displaystyle F(t)}$ un seuil qui est formé par le court-circuit.

Distribution de temps de séjour pour une impulsion dans un réacteur continu avec un volume mort

Cas avec zone morte (c). Dans le cas d'un volume mort, le volume réel de mélange dans le réacteur est réduit par rapport au cas idéal : il s'agit de zones où la circulation induite par mouvement de l'agitateur est nulle. Pratiquement ces zones ne participent pas au mélange et sont considérées comme mortes.

${\displaystyle {V}_{r}={V}_{\text{tot}}-{V}_{d}\qquad (32)}$

Le temps de passage sera donc plus petit que celui d'un réacteur idéal et la fonction ${\displaystyle E(t)}$ diminuera plus rapidement que dans le cas du réacteur idéal.

Théoriquement le réacteur tubulaire ne modifie pas le signal, il ne fait que le retarder.

• Cas idéal
• Cas avec court-circuit
• Cas avec zone morte

Pour un réacteur tubulaire, le modèle idéal peut être amélioré en introduisant un terme par la diffusion dans la direction axiale. Ce terme sert à représenter la diffusion moléculaire et les effets hydrodynamiques (tourbillons, inhomogénéité de la vitesse). Mathématiquement cela se traduit en utilisant un bilan de masse par

${\displaystyle -{\frac {1}{A_{c}}}{\frac {dF_{y}}{dx}}+r_{y}=0}$

En considérant que le flux est décrit par un phénomène de dispersion et de convection

${\displaystyle F_{y}=A_{c}\cdot \left(-D_{a}{\frac {dC_{y}}{dx}}+UC_{y}\right)}$

On obtient

${\displaystyle {\frac {D_{a}}{U}}{\frac {d^{2}C_{y}}{dx^{2}}}-{\frac {dC_{y}}{dx}}+{\frac {r_{y}}{U}}=0}$