Distance ultramétrique

Tout ensemble peut être muni de la distance dite triviale ou discrète définie par:

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{si }}x=y\\1&{\text{si }}x\neq y\end{cases}}}$

L'inégalité

${\displaystyle d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))}$

est vraie, que x soit égal à z ou non. Il s'agit donc d'une distance ultramétrique.

Pour un nombre premier p, on peut définir la valuation p-adique ${\displaystyle v_{p}(r)}$ de tout nombre rationnel r non nul.

On prouve facilement que cette application vérifie

${\displaystyle v_{p}(r+r')\geq \inf(v_{p}(r),v_{p}(r'))}$ et ${\displaystyle v_{p}(-r)=v_{p}(r).}$

On définit alors la distance p-adique sur ℚ par :

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{si }}x=y\\p^{-v_{p}(x-y)}&{\text{si }}x\neq y\end{cases}}}$

La propriété précédente de ${\displaystyle v_{p}}$ conduit facilement à l'inégalité ultramétrique. Les deux autres vérifications sont aisées.

Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur ℚ[3].

• Soient X un ensemble quelconque et E = X^ℕ l'ensemble des suites à valeurs dans X. On munit E d'une structure d'espace ultramétrique complet en posant${\displaystyle k(x,y)=\inf\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}\neq y_{n}\}}$ (autrement dit : ${\displaystyle k(x,x)=+\infty }$ et si ${\displaystyle x\neq y}$, ${\displaystyle k(x,y)}$ est le rang du premier terme où les deux suites diffèrent), puis${\displaystyle d(x,y)={\frac {1}{1+k(x,y)}}}$[4]^,[5]ou encore, pour un réel ${\displaystyle a>1}$ arbitraire :${\displaystyle d_{a}(x,y)=a^{-k(x,y)}}$[6],qui est une distance uniformément équivalente à ${\displaystyle d}$.Pour X = {0, 1}, on obtient l'espace de Cantor et pour X = ℕ, l'espace de Baire.
• En génétique, la distance entre génotypes le long des branches d'un arbre phylogénétique peut être mesurée par une distance ultramétrique.^{[réf. souhaitée]}

Soit X un ensemble muni d'une distance ultramétrique d, et soit r un nombre positif. L'ensemble des boules de rayon r définies sur X constitue une partition de X. En faisant croître r à partir de 0, on forme une chaîne de finesse entre ces partitions, de la plus fine (partition discrète pour r = 0) à la moins fine (partition universelle pour r maximal). C'est une des bases de la classification automatique par regroupement hiérarchique[9].