Dimension topologique

En mathématiques, une dimension topologique est une notion destinée à étendre à des espaces topologiques la notion algébrique de dimension d'un espace vectoriel. C'est un invariant topologique, entier ou infini.

Les trois principales dimensions topologiques sont les deux dimensions inductives $ind$ et $Ind$ et la dimension de recouvrement $dim$ . Les dimensions $Ind$ et $dim$ coïncident pour tout espace métrisable ; si l'espace est de plus séparable, ses trois dimensions topologiques sont égales[1]. Ces « bons espaces » incluent en particulier les variétés topologiques et a fortiori les variétés différentielles. La dimension topologique n'est pas vraiment l'outil adapté à des applications pratiques, pour lesquelles on lui préfère la notion de dimension fractale.

Dimensions inductives

La petite dimension inductive $ind$ , ou dimension de Urysohn-Menger, et la grande dimension inductive $Ind$ , ou dimension de Čech, seront définies par récurrence à partir de la notion suivante[2] : on dira qu'un fermé sépare deux parties A et B si son complémentaire est la réunion de deux ouverts disjoints dont l'un contient A et l'autre contient B.

Espace de dimension n

On définit la valeur de $ind(E)$ pour tout espace régulier[N 1] $E$ et de $Ind(E)$ pour tout espace normal[N 2] $E$ par l'ensemble de ses majorants :

$ind(\emptyset) = Ind(\emptyset) = -1$
pour n ≥ 0 :
- $ind(E) \leq n$ si (dans $E$ ) un point et un fermé ne contenant pas ce point sont toujours séparés par un sous-espace $L$ tel que $ind(L) < n$ [3]^,[4] ;
- $Ind(E) \leq n$ si (dans $E$ ) deux fermés disjoints sont toujours séparés par un sous-espace $L$ tel que $Ind(L) < n$ [5]^,[6].

Remarques

Pour tout espace normal $E$ , $ind(E) \leq Ind(E)$ [5], d'où les notations $ind$ et $Ind$ et les qualificatifs de petite et grande.
Pour tout sous-espace $F$ de $E$ , on a $ind(F) \leq ind(E)$ .
On obtient la même[7]^,[8] fonction $ind$ sur les espaces réguliers lorsqu'on remplace sa définition récursive par : $ind(E) \leq n$ si les ouverts $U$ tels que $ind(\partial U) < n$ forment une base de $E$ ,où $\partial U$ désigne la frontière de $U$ .
De même[N 3], la condition ci-dessus pour $Ind(E) \leq n$ peut être remplacée (pour $E$ normal) par : pour tout fermé F, les ouverts $U$ contenant F et tels que $ind(\partial U) < n$ forment une base de voisinages de F[5].

Espace de dimension zéro

Un espace topologique non vide est dit « de dimension zéro[9] » s'il possède une base d'ouverts-fermés ; un tel espace vérifie l'axiome T₃[10].

Les espaces de dimension zéro sont donc exactement les espaces T₃ pour lesquels $ind = 0$ (d'après la définition ci-dessus en termes de base d'ouverts).

Propriétés

Un espace de Lindelöf $E$ non vide et de dimension zéro vérifie même (T₄[N 4] et) $Ind(E) = 0$ [11].
Pour tout espace $E$ non vide, $Ind(E) = 0$ si et seulement si $dim(E) = 0$ [12].
Tout produit d'espaces de dimension zéro est de dimension zéro[13].
Un espace régulier de dimension zéro est totalement discontinu[N 5]^,[10](la réciproque est fausse ; l’espace d’Erdős (en) est un contre-exemple)

Exemples

Tous les espaces (séparés) localement compacts totalement discontinus — en particulier les espaces discrets — sont de dimension zéro[14].
Une partie non vide de R est de dimension zéro si et seulement si elle est d'intérieur vide[13] (comme Q, R\Q ou le compact de Cantor, ces deux derniers étant d'ailleurs homéomorphes à des produits d'espaces discrets : N^N et {0, 1}^N).
Il existe un espace compact de dimension zéro contenant un sous-espace $M$ tel que $dim(M) = Ind(M) = 1$ [15].

Exemples

La dimension de tout ouvert non vide de Rⁿ est n[N 6].
Un arc de Jordan rectifiable dans Rⁿ est de dimension 1, une portion de surface régulière est de dimension 2, etc.

Propriétés

Pour tout espace $E$ de Lindelöf, $dim(E) \leq ind(E) \leq Ind(E)$ (inégalités d'Aleksandrov) et si $ind(E) = 1$ alors $Ind(E) = 1$ [16]^,[17]^,[N 7]. À partir de $1$ , les trois dimensions peuvent être distinctes : pour tout entier $i \geq 1$ , il existe un compact $X i$ tel que $dim(X i) = 1$ , $ind(X i) = i$ et $Ind(X i) = 2 i - 1$ [16].
Pour tout espace normal $E$ , si $F$ est fermé dans $E$ alors $Ind(F) \leq Ind(E)$ [18], mais il existe des contre-exemples si $F$ n'est pas fermé (cf. § « Espace de dimension zéro » ci-dessus).
Il existe un compact $E$ réunion de deux fermés $F 1$ et $F 2$ tels que $Ind(F 1) = Ind(F 2) = 1$ mais $Ind(E) = 2$ [19].
Cependant, si E est un espace parfaitement normal, alors[N 8]^,[20] :
- pour tout sous-espace $F$ de $E$ , on a $Ind(F) \leq Ind(E)$ ;
- si $E$ est réunion d'une suite de fermés $F n$ alors $Ind(E)$ =[21] $sup n Ind(F n)$ .
Il existe :
- des espaces normaux dont le produit n'est pas normal ;
- des compacts $X$ et $Y$ tels que $Ind(X) = 1$ et $dim(Y) = Ind (Y) = 2$ mais $ind(X \times Y) = 4$ [22] ;
- un espace de Lindelöf $X$ de dimension zéro tel que $X 2$ soit normal et $dim(X 2) = 1$ [23].
Cependant, $Ind(X \times Y) \leq Ind(X) + Ind (Y)$ (pour $X$ et $Y$ non tous deux vides) dès que $X$ est parfaitement normal et $Y$ est métrisable[24]^,[25] (mais l'inégalité peut être stricte : il existe même[26] un espace métrisable séparable $X$ homéomorphe à $X 2$ et de dimension 1).

Dimension de recouvrement

Définition

La dimension de recouvrement de Lebesgue, $dim$ , se définit de même par ses majorants mais sans récurrence : $dim(E) \leq n$ si tout recouvrement ouvert fini de $E$ admet un recouvrement ouvert fini plus fin tel que chaque point de $E$ appartient à au plus $n + 1$ ouverts de ce dernier recouvrement.

Propriétés

Pour tout espace normal $E$ , $dim(E) \leq Ind(E)$ [27].
Pour tout espace métrisable $E$ , $ind(E) \leq Ind(E) = dim(E)$ [28], l'inégalité pouvant être stricte[29].
Un espace normal $E$ vérifie $dim(E) \leq n$ si et seulement si toute application continue d'un fermé de $E$ dans la sphère Sⁿ peut se prolonger à E[30].
La dimension de la réalisation géométrique d'un complexe simplicial est égale à sa dimension de recouvrement.^{[réf. nécessaire]}

Lien avec la dimension de Hausdorff

La dimension de Hausdorff d'un espace métrisable dépend spécifiquement de la distance utilisée. La dimension topologique d'un espace métrisable séparable E est le minimum des dimensions de Hausdorff de E pour toutes les distances sur E compatibles avec sa topologie[31].

La définition de fractale initialement donnée par Benoît Mandelbrot est celle d'un espace métrique dont la dimension topologique est strictement inférieure à la dimension de Hausdorff[32], mais il l'a rapidement remplacée par une définition plus vague, permettant d'inclure par exemple la courbe de Hilbert.

Notes et références

Notes

Ou (plus rarement) : pour tout espace vérifiant l'axiome de séparation T₃ mais pas nécessairement l'axiome T₀.
Ou (plus rarement) : pour tout espace vérifiant T₄ mais pas nécessairement T₁.
Rappelons que dans tout espace topologique, un ensemble de parties est une base si et seulement si pour tout point x, celles de ces parties qui contiennent x forment une base de voisinages de x.
Tout espace T₃ et de Lindelöf est T₄.
C'est-à-dire que ses composantes connexes sont les singletons.
Ce fait est à rapprocher du théorème de l'invariance du domaine de Brouwer.
Ceci complète deux résultats ci-dessus sur les espaces de dimension zéro.
Théorème dû à Dowker, qui suppose seulement que $E$ est « totalement normal ». C'est un axiome de séparation intermédiaire entre « parfaitement normal » et « complètement normal ».

Références

(en) Ryszard Engelking, Dimension Theory, North-Holland et PWN, 1978 (lire en ligne), p. 65, généralisé p. 256.
« Partition between A and B » : Engelking 1978, p. 4.
Engelking 1978, p. 5.
(en) Keiô Nagami, Dimension Theory, Academic Press, 1970 (lire en ligne), p. 45, dans le cas d'un espace normal.
Engelking 1978, p. 52.
Nagami 1970, p. 45.
Engelking 1978, p. 3.
(en) J. M. Aarts et T. Nishiura, Dimension and Extensions, North-Holland, 1993 (lire en ligne), p. 5.
Ou « scattered space » dans (en) Michel Coornaert, Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer, 2015 (DOI 10.1007/978-3-319-19794-4, lire en ligne), p. 31, qui réserve le terme « dimension » à la dimension de recouvrement. Mais pour la plupart des auteurs, « scattered space » signifie « espace dispersé », qui est une autre notion (Steen et Seebach, p. 33).
(en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995 (1^re éd. Springer, 1978), 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne), p. 32-33.
Coornaert 2015, p. 33 et 38 ; Engelking 1978, p. 12 et 53 et, pour une classe plus vaste (les espaces « fortement paracompacts »), p. 198.
Coornaert 2015, p. 33.
Coornaert 2015, p. 32.
(en) Alexander Arhangel'skii et Mikhail Tkachenko, Topological Groups and Related Structures, Atlantis Press, 2008 (lire en ligne), p. 136.
(en) C. H. Dowker (en), « Local dimension of normal spaces », Q. J. Math., vol. 2, n^o 6,‎ 1955, p. 101-120 (lire en ligne), complété par une remarque de Engelking 1978, p. 176.
(en) V. V. Filippov, « A survey of dimension theory », dans 20 Lectures Delivered at the ICM in Vancouver, 1974, AMS, 1977 (lire en ligne), p. 47-50.
Engelking 1978, p. 220 et 199, le démontre même pour les espaces « fortement paracompacts ».
Engelking 1978, p. 170.
Engelking 1978, p. 178-179.
Cité dans (en) Nobuo Kimura, « On a sum theorem in dimension theory », Proc. Japan Acad., vol. 43, n^o 2,‎ 1967, p. 98-102 (lire en ligne).
Preuve (en termes de $ind$ ) dans le cas où $E$ est métrisable et séparable : Engelking 1978, p. 42.
V. V. Filippov (1972), cité dans (en) Eric K. van Douwen, « The small inductive dimension can be raised by the adjunction of a single point », Indag. Math., vol. 76, n^o 5,‎ 1973, p. 434-442 (DOI 10.1016/1385-7258(73)90067-X) et dans (en) V. A. Chatyrko et K. L. Kozlov, « On (transfinite) small inductive dimension of products », Comment. Math. Univ. Carol., vol. 41, n^o 3,‎ 2000, p. 597-603 (lire en ligne).
(en) Teodor C. Przymusiński, « On the dimension of product spaces and an example of M. Wage », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 76,‎ 1979, p. 315-321 (lire en ligne).
(en) Nobuo Kimura, « On the inductive dimension of product spaces », Proc. Japan Acad., vol. 39, n^o 9,‎ 1963, p. 641-646 (lire en ligne).
Engelking 1978, p. 202-203 et (en termes de $ind$ ) dans le cas particulier où $X$ et $Y$ sont métrisables et séparables p. 46.
(en) P. Erdős, « The dimension of the rational points in Hilbert space », Ann. Math., 2^e série, vol. 41,‎ 1940, p. 734-736 (lire en ligne).
Engelking 1978, p. 220.
Engelking 1978, p. 254 : théorème de Katětov-Morita.
(en) Prabir Roy, « Failure of equivalence of dimension concepts for metric spaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 68, n^o 6,‎ 1962, p. 609-613 (lire en ligne) et (en) Prabir Roy, « Nonequality of dimensions for metric spaces », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 134,‎ 1968, p. 117-132 (lire en ligne).
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E. Szpilrajn, « La dimension et la mesure », Fund. Math., vol. 28,‎ 1937, p. 81-89 (lire en ligne).
(en) C. Wayne Patty, Foundations of Topology, Jones & Bartlett Learning, 2009 (lire en ligne), p. 225.

(en) Stephen Willard, General Topology, Mineola, N.Y., Dover, 2004 (1^re éd. 1968), 369 p. (ISBN 978-0-486-43479-7, lire en ligne)

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[3] Ou (plus rarement) : pour tout espace vérifiant l'axiome de séparation T₃ mais pas nécessairement l'axiome T₀.

[4] Ou (plus rarement) : pour tout espace vérifiant T₄ mais pas nécessairement T₁.

[11] Rappelons que dans tout espace topologique, un ensemble de parties est une base si et seulement si pour tout point x, celles de ces parties qui contiennent x forment une base de voisinages de x.

[14] Tout espace T₃ et de Lindelöf est T₄.

[18] C'est-à-dire que ses composantes connexes sont les singletons.

[21] Ce fait est à rapprocher du théorème de l'invariance du domaine de Brouwer.

[24] Ceci complète deux résultats ci-dessus sur les espaces de dimension zéro.

[27] Théorème dû à Dowker, qui suppose seulement que $E$ est « totalement normal ». C'est un axiome de séparation intermédiaire entre « parfaitement normal » et « complètement normal ».

[1] (en) Ryszard Engelking, Dimension Theory, North-Holland et PWN, 1978 (lire en ligne), p. 65, généralisé p. 256.

[2] « Partition between A and B » : Engelking 1978, p. 4.

[5] Engelking 1978, p. 5.

[6] (en) Keiô Nagami, Dimension Theory, Academic Press, 1970 (lire en ligne), p. 45, dans le cas d'un espace normal.

[E52-7] Engelking 1978, p. 52.

[8] Nagami 1970, p. 45.

[9] Engelking 1978, p. 3.

[10] (en) J. M. Aarts et T. Nishiura, Dimension and Extensions, North-Holland, 1993 (lire en ligne), p. 5.

[12] Ou « scattered space » dans (en) Michel Coornaert, Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer, 2015 (DOI 10.1007/978-3-319-19794-4, lire en ligne), p. 31, qui réserve le terme « dimension » à la dimension de recouvrement. Mais pour la plupart des auteurs, « scattered space » signifie « espace dispersé », qui est une autre notion (Steen et Seebach, p. 33).

[SS-13] (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995 (1^re éd. Springer, 1978), 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne), p. 32-33.

[15] Coornaert 2015, p. 33 et 38 ; Engelking 1978, p. 12 et 53 et, pour une classe plus vaste (les espaces « fortement paracompacts »), p. 198.

[16] Coornaert 2015, p. 33.

[Coornaert-17] Coornaert 2015, p. 32.

[19] (en) Alexander Arhangel'skii et Mikhail Tkachenko, Topological Groups and Related Structures, Atlantis Press, 2008 (lire en ligne), p. 136.

[20] (en) C. H. Dowker (en), « Local dimension of normal spaces », Q. J. Math., vol. 2, n^o 6,‎ 1955, p. 101-120 (lire en ligne), complété par une remarque de Engelking 1978, p. 176.

[Filippov-22] (en) V. V. Filippov, « A survey of dimension theory », dans 20 Lectures Delivered at the ICM in Vancouver, 1974, AMS, 1977 (lire en ligne), p. 47-50.

[23] Engelking 1978, p. 220 et 199, le démontre même pour les espaces « fortement paracompacts ».

[25] Engelking 1978, p. 170.

[26] Engelking 1978, p. 178-179.

[28] Cité dans (en) Nobuo Kimura, « On a sum theorem in dimension theory », Proc. Japan Acad., vol. 43, n^o 2,‎ 1967, p. 98-102 (lire en ligne).

[29] Preuve (en termes de $ind$ ) dans le cas où $E$ est métrisable et séparable : Engelking 1978, p. 42.

[30] V. V. Filippov (1972), cité dans (en) Eric K. van Douwen, « The small inductive dimension can be raised by the adjunction of a single point », Indag. Math., vol. 76, n^o 5,‎ 1973, p. 434-442 (DOI 10.1016/1385-7258(73)90067-X) et dans (en) V. A. Chatyrko et K. L. Kozlov, « On (transfinite) small inductive dimension of products », Comment. Math. Univ. Carol., vol. 41, n^o 3,‎ 2000, p. 597-603 (lire en ligne).

[31] (en) Teodor C. Przymusiński, « On the dimension of product spaces and an example of M. Wage », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 76,‎ 1979, p. 315-321 (lire en ligne).

[32] (en) Nobuo Kimura, « On the inductive dimension of product spaces », Proc. Japan Acad., vol. 39, n^o 9,‎ 1963, p. 641-646 (lire en ligne).

[33] Engelking 1978, p. 202-203 et (en termes de $ind$ ) dans le cas particulier où $X$ et $Y$ sont métrisables et séparables p. 46.

[34] (en) P. Erdős, « The dimension of the rational points in Hilbert space », Ann. Math., 2^e série, vol. 41,‎ 1940, p. 734-736 (lire en ligne).

[35] Engelking 1978, p. 220.

[36] Engelking 1978, p. 254 : théorème de Katětov-Morita.

[37] (en) Prabir Roy, « Failure of equivalence of dimension concepts for metric spaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 68, n^o 6,‎ 1962, p. 609-613 (lire en ligne) et (en) Prabir Roy, « Nonequality of dimensions for metric spaces », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 134,‎ 1968, p. 117-132 (lire en ligne).

[38] Engelking 1978, p. 233.

[39] E. Szpilrajn, « La dimension et la mesure », Fund. Math., vol. 28,‎ 1937, p. 81-89 (lire en ligne).

[40] (en) C. Wayne Patty, Foundations of Topology, Jones & Bartlett Learning, 2009 (lire en ligne), p. 225.