Espace de Lindelöf

En mathématiques, un espace de Lindelöf est un espace topologique dont tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement dénombrable. Cette condition est un affaiblissement de la quasi-compacité, dans laquelle on demande l'existence de sous-recouvrements finis. Un espace est dit héréditairement de Lindelöf si tous ses sous-espaces sont de Lindelöf. Il suffit pour cela que ses ouverts le soient.

Les espaces de Lindelöf sont nommés d'après le mathématicien finlandais Ernst Leonard Lindelöf.

Propriétés

Un espace est quasi-compact si et seulement s'il est de Lindelöf et dénombrablement compact.
Tout espace pseudométrisable de Lindelöf est séparable (cf. Propriétés des espaces séparables) donc à base dénombrable (cf. Lien entre ces deux notions).
Pour qu'un espace X soit de Lindelöf, il suffit que tout recouvrement de X par des ouverts d'une base fixée possède un sous-recouvrement dénombrable (la démonstration est la même que l'analogue pour les quasicompacts, en remplaçant « fini » par « dénombrable »). Cela rend immédiat le résultat suivant :
Lemme de Lindelöf — Tout espace à base dénombrable est de Lindelöf[1].
La réciproque est fausse en général. Par exemple, la droite de Sorgenfrey S est de Lindelöf (et de plus, séparable et à bases dénombrables de voisinages) mais n'est pas à base dénombrable.
Cependant, d'après ce qui précède, pour un espace pseudométrisable, les trois propriétés Lindelöf/séparable/à base dénombrable sont équivalentes.
Tout fermé d'un espace de Lindelöf est de Lindelöf[2] (la démonstration est analogue à celle de la compacité de tout fermé d'un compact).
Toute image continue d'un espace de Lindelöf est de Lindelöf[2].
Tout espace réunion dénombrable de sous-espaces de Lindelöf (en particulier tout espace dénombrable) est de Lindelöf[2].

Démonstration

Soit $X=\cup _{n\in \mathbb {N} }X_{n}$ un espace dont les sous-espaces $X_{n}$ sont de Lindelöf, et soit $(U_{i})_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $X$ . Alors, chaque $X_{n}$ est recouvert par une sous-famille dénombrable $(U_{i})_{i\in I_{n}}$ . L'ensemble $J:=\cup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$ est dénombrable et $(U_{i})_{i\in J}$ recouvre $X$ .

En général, on n'a aucune implication (dans un sens ou dans l'autre) entre la propriété de Lindelöf et les autres propriétés de compacité. Cependant :
- tout espace σ-compact est clairement de Lindelöf (cas particulier de la propriété précédente) ;
- d'après un théorème de Morita[3], tout espace régulier de Lindelöf est paracompact (et a fortiori, normal[4] donc complètement régulier) ; dans le cas non séparé, on montre directement[5] que tout espace de Lindelöf T₃ est T₄ donc uniformisable.
Tout espace de Lindelöf est un espace de Hewitt-Nachbin (en) (ou, ce qui est équivalent : un fermé d'une puissance — éventuellement infinie — de ℝ).

Espaces fortement de Lindelöf

Si ω₁ désigne le premier ordinal non dénombrable, l'ouvert [0, ω₁[ du compact [0, ω₁] n'est pas de Lindelöf.

Un espace est dit fortement de Lindelöf si tous ses ouverts sont de Lindelöf.

Tout espace fortement de Lindelöf est héréditairement de Lindelöf, c'est-à-dire que tous ses sous-espaces sont de Lindelöf. (Il suffit, pour le vérifier, d'écrire que tout recouvrement ouvert d'une partie Y de X est de la forme (Y ⋂O_i) où les O_i sont des ouverts de X et que leur réunion O est alors un ouvert contenant Y et recouvert par les O_i.)
Tout espace à base dénombrable est fortement Lindelöf (puisque ses sous-espaces sont à base dénombrable).
Tout espace souslinien est fortement de Lindelöf.
La propriété d'être fortement de Lindelöf est préservée par réunions dénombrables, sous-espaces et images continues.
Toute mesure de Radon sur un espace fortement Lindelöf est modérée, c'est-à-dire que sa mesure extérieurement régulière associée est σ-finie.

Produit d'espaces de Lindelöf

Un produit d'espaces de Lindelöf n'est pas toujours de Lindelöf. Le contre-exemple classique est le plan de Sorgenfrey S×S, produit de la droite de Sorgenfrey S par elle-même. Dans le plan S×S, l'antidiagonale D (la droite d'équation y = – x) est un sous-espace discret donc n'est pas de Lindelöf (puisque D n'est pas dénombrable). Or D est un fermé de S×S, qui n'est par conséquent pas de Lindelöf non plus.

Cependant, le produit d'un espace de Lindelöf par un espace quasi-compact est de Lindelöf[6].

Généralisation

Un espace est dit κ-compact (ou κ-Lindelöf), pour un cardinal κ donné, si tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement de cardinalité strictement inférieure à κ. Les espaces quasi-compacts sont donc les ℵ₀-compacts et les espaces de Lindelöf sont les ℵ₁-compacts.

À tout espace X on associe son degré de Lindelöf, ou nombre de Lindelöf, noté L(X) et son degré héréditaire de Lindelof, noté hL(X)[7] :

L(X) est le plus petit cardinal infini κ tel que tout recouvrement ouvert de X possède un sous-recouvrement de cardinalité inférieure ou égale à κ ethL(X) est la borne supérieure des L(Y) pour toutes les parties Y de X.

Avec cette notation, X est de Lindelöf si et seulement si L(X) = ℵ₀, mais la donnée de L(X) ne suffit pas à distinguer si X est quasi-compact ou seulement de Lindelöf. C'est pourquoi, bien que moins couramment, certains auteurs donnent le nom de nombre de Lindelöf[8] de X (ou parfois degré de compacité^{[réf. nécessaire]}) à une notion différente : le plus petit cardinal infini κ tel que X soit κ-compact.

Le cardinal d'un espace séparé X est borné[9] en fonction de son degré de Lindelöf L(X) et de son caractère $χ$ (X)[7] : |X| ≤ 2^{L(X) $χ$ (X)}. Par exemple, tout espace de Lindelöf séparé (en particulier tout espace compact) à bases dénombrables de voisinages a au plus la puissance du continu.

Il est aussi borné en fonction de son degré héréditaire de Lindelöf[7] : |X| ≤ 2^hL(X).

Notes et références

Par exemple, tout ouvert de ℝ (muni de la topologie usuelle) est réunion dénombrable d'intervalles ouverts.
N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], chap. I, p. 107, exercice 15.
(en) K. Morita, « Star-finite coverings and the star-finite property », Math. Jap., vol. 1,‎ 1948, p. 60-68
Ce théorème est souvent cité sous la forme « tout espace de Lindelöf est normal » mais l'hypothèse de régularité, bien qu'implicite, est indispensable : cf. « When is a Lindelof Space Normal? » sur Dan Ma's Topology Blog ou (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995 (1^re éd. Springer, 1978), 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne), p. 82, Counterexample 60 (Relatively Prime Integer Topology) et Counterexample 61 (Prime Integer Topology), deux topologies sur ℕ*, séparées, de Lindelöf et non normales, moins fines que la restriction à ℕ* de la topologie des entiers uniformément espacés : on prend comme base d'ouverts les a ℕ* + b avec a et b premiers entre eux (resp. a premier).
(en) M. G. Murdeshwar, General Topology, New Age International, 1990, 2^e éd., 357 p. (ISBN 978-81-224-0246-9, lire en ligne), p. 256, « Tychonoff's Lemma »
Murdeshwar 1990, p. 255
(en) Chris Good, « The Lindelöf Property », dans K. P. Hart, J.-I. Nagata et J. E. Vaughan, Encyclopedia of General Topology, Elsevier, 2003, 1^re éd. (ISBN 978-0-08053086-4, lire en ligne), p. 182-184
(en) Mary Ellen Rudin, Lectures on Set Theoretic Topology, AMS, coll. « Conference Board of the Mathematical Sciences », 1975 (lire en ligne), p. 4
Pour plus de détails, voir par exemple (en) Alessandro Fedeli, « On the cardinality of Hausdorff spaces », Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, vol. 39, n^o 3,‎ 1998, p. 581-585 (lire en ligne).

(en) Michael Gemignani, Elementary Topology, 1972, 270 p. (ISBN 978-0-486-66522-1, lire en ligne), chap. 7.2
(en) István Juhász (hu), Cardinal Functions in Topology – Ten Years Later, Amsterdam, Math. Centre Tracts, 1980, 160 p. (ISBN 978-90-6196-196-3, lire en ligne)
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lindelöf space » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

Axiomes de dénombrabilité (en)
Fonctions cardinales d'un espace topologique

Lien externe

(en) Chris Good, « The Lindelöf Property », sur Université de Birmingham, 2002

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[1] Par exemple, tout ouvert de ℝ (muni de la topologie usuelle) est réunion dénombrable d'intervalles ouverts.

[BourbakiTGI107-2] N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], chap. I, p. 107, exercice 15.

[3] (en) K. Morita, « Star-finite coverings and the star-finite property », Math. Jap., vol. 1,‎ 1948, p. 60-68

[4] Ce théorème est souvent cité sous la forme « tout espace de Lindelöf est normal » mais l'hypothèse de régularité, bien qu'implicite, est indispensable : cf. « When is a Lindelof Space Normal? » sur Dan Ma's Topology Blog ou (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995 (1^re éd. Springer, 1978), 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne), p. 82, Counterexample 60 (Relatively Prime Integer Topology) et Counterexample 61 (Prime Integer Topology), deux topologies sur ℕ*, séparées, de Lindelöf et non normales, moins fines que la restriction à ℕ* de la topologie des entiers uniformément espacés : on prend comme base d'ouverts les a ℕ* + b avec a et b premiers entre eux (resp. a premier).

[5] (en) M. G. Murdeshwar, General Topology, New Age International, 1990, 2^e éd., 357 p. (ISBN 978-81-224-0246-9, lire en ligne), p. 256, « Tychonoff's Lemma »

[6] Murdeshwar 1990, p. 255

[EGT-7] (en) Chris Good, « The Lindelöf Property », dans K. P. Hart, J.-I. Nagata et J. E. Vaughan, Encyclopedia of General Topology, Elsevier, 2003, 1^re éd. (ISBN 978-0-08053086-4, lire en ligne), p. 182-184

[8] (en) Mary Ellen Rudin, Lectures on Set Theoretic Topology, AMS, coll. « Conference Board of the Mathematical Sciences », 1975 (lire en ligne), p. 4

[9] Pour plus de détails, voir par exemple (en) Alessandro Fedeli, « On the cardinality of Hausdorff spaces », Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, vol. 39, n^o 3,‎ 1998, p. 581-585 (lire en ligne).