Fonction exponentielle

En mathématiques, la fonction exponentielle est la fonction notée $exp$ qui est égale à sa propre dérivée et prend la valeur $1$ en $0$ . Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes dans lesquels une différence constante sur la variable conduit à un rapport constant sur les images. Ces phénomènes sont en croissance dite « exponentielle ».

Courbe représentative de la fonction

x\mapsto \mathrm {e} ^{x}

.

Notation	$\mathrm {e} ^{x}$
Réciproque	$\ln x$
Dérivée	$\mathrm {e} ^{x}$
Primitives	$\mathrm {e} ^{x}+C$

Principales caractéristiques
Ensemble de définition	$\mathbb {R}$
Ensemble image	$\mathbb {R} _{+}^{*}$

Valeurs particulières
Valeur en zéro	1
Limite en +∞	+∞
Limite en −∞	0

Particularités
Asymptotes	$y=0$

On note $e$ la valeur de cette fonction en $1$ . Ce nombre $e$ qui vaut approximativement $2,71828$ s'appelle la base de la fonction exponentielle et permet une autre notation de la fonction exponentielle :

\forall x\quad \exp(x)=\mathrm {e} ^{x}

.

La fonction exponentielle est la seule fonction continue sur ℝ qui transforme une somme en produit et qui prend la valeur $e$ en $1$ . C'est un cas particulier des fonctions de ce type appelées exponentielles de base $a$ .

On peut la déterminer comme limite de suite ou à l'aide d'une série entière.

C'est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.

Ces diverses définitions permettent d'étendre la définition de la fonction exponentielle à des fonctions de ℂ vers ℂ* ou même à des espaces plus compliqués et s'utilise alors en géométrie riemannienne, dans la théorie des groupes de Lie, ou encore dans l'étude des algèbres de Banach.

Les applications élémentaires des fonctions exponentielles réelles ou complexes concernent la résolution des équations différentielles, la mise en place de la théorie de Fourier… mais les champs d'applications des fonctions exponentielles sont extrêmement vastes : étude de la croissance des groupes, etc.

On appelle aussi parfois fonction exponentielle toute fonction dont l'expression est de la forme $f (x) = A e λ x$ .

Fonction exponentielle réelle

Définitions

Il existe plusieurs points d'entrée possibles pour la définition de la fonction exponentielle : par la propriété de sa dérivée (la dérivée est égale à la fonction), par ses propriétés algébriques (elle transforme une somme en produit), ou par son développement en série.

Par une équation différentielle

Courbe d'équation

y = exp(x)

et quelques sous-tangentes.

Définition — On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable solution du problème de Cauchy suivant :

f'=f\qquad f(0)=1

.

Cette propriété d'être sa propre dérivée se traduit par une propriété sur la sous-tangente à la courbe représentative de $exp$ . La sous-tangente, c'est-à-dire la distance qui sépare le réel $x$ de l'abscisse du point d'intersection de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x$ avec l'axe des $x$ , est constante et vaut 1. On montre de plus que $f$ ne s'annule jamais.

Démonstration

Il existe une fonction $f$ solution du problème de Cauchy :
Cette existence est garantie par le théorème de Cauchy-Lipschitz. Les sections suivantes en fournissent trois autres preuves (à partir de la fonction logarithme, de l'équation fonctionnelle, ou comme série entière). En voici une cinquième : la méthode d'Euler. L'approximation affine de la fonction $f$ montre que, pour $h$ petit, $f(a+h)$ est voisin de $f(a)+f'(a)h$ , c'est-à-dire de $f(a)(1+h)$ . On écrit l'égalité $f\left(x\right)=f\left(n{\frac {x}{n}}\right)$ ; on pose $a=(n-1){\frac {x}{n}}$ et $h={\frac {x}{n}}$ . En appliquant l'approximation affine une première fois, on obtient que $f(x)$ est voisin de $f\left((n-1){\frac {x}{n}}\right)\left(1+{\frac {x}{n}}\right)$ . En appliquant cette approximation $n$ fois en tout, on conclut que $f (x)$ est voisin de $\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ . Si l'on note $exp$ cette fonction, ce processus de construction conduit à définir $exp(x)$ par $\exp(x)=\lim _{n\to +\infty }u_{n}(x)\quad {\text{où}}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad u_{n}(x)=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ (en particulier, $exp(0) = 1$ ). Avec cette méthode, il reste à démontrer que la suite $(u n (x))$ a bien une limite pour tout $x$ et que la fonction que l'on obtient est bien dérivable et égale à sa dérivée[1].
Une telle fonction $f$ est unique et ne s'annule jamais :
Ces deux propriétés sont, elles aussi, garanties par le théorème de Cauchy-Lipschitz. Une preuve plus spécifique (utilisant l'existence de $f$ ) est donnée dans le § « Par une équation différentielle » de l'article sur l'exponentielle de base quelconque.
La sous-tangente est constante
La tangente au point d'abscisse $x$ a pour équation $Y = exp(x)(X - x) + exp(x)$ et coupe l'axe des abscisses pour $X$ vérifiant l'équation $\exp(x)(X-x)+\exp(x)=0\Leftrightarrow X-x+1=0\Leftrightarrow x-X=1.$

À partir de la fonction logarithme népérien

Définition — La fonction $exp$ , de ℝ dans ℝ*
+, est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.

En effet, la fonction logarithme népérien étant continue strictement croissante sur son ensemble de définition, et de limites infinies aux bornes, elle définit une bijection de ℝ*
+ sur ℝ. Sa réciproque est une fonction $f$ définie sur ℝ vérifiant $f (0) = 1$ car $ln(1) = 0$ . La fonction $ln$ étant dérivable et de dérivée non nulle, sa réciproque est une fonction dérivable et, pour tout réel $x$ ,

f'(x)={\frac {1}{\ln '(f(x))}}=f(x).

Caractérisation algébrique

La propriété algébrique de la fonction exponentielle (fonction continue non nulle transformant une somme en produit) est partagée par un ensemble de fonctions qui portent aussi le nom de fonctions exponentielles. Elles sont entièrement déterminées dès que l'on a précisé leur valeur en 1 qui doit être un réel strictement positif. La fonction qui prend la valeur $a$ en 1 est alors appelée fonction exponentielle de base $a$ . On peut ainsi considérer que la fonction exponentielle est la fonction exponentielle de base $e$ .

Définition — La fonction $exp$ est l'unique fonction continue de ℝ dans ℝ* transformant une somme en produit, c'est-à-dire vérifiant l'équation fonctionnelle

\forall u,v\in \mathbb {R} ,~f(u+v)=f(u)f(v)

et prenant la valeur $e$ en 1.

On détermine $exp(x)$ sur les entiers puis sur les rationnels puis sur les irrationnels par continuité. On démontre à partir de cette définition (voir l'article détaillé) que la fonction $exp$ est non seulement continue mais dérivable et égale à sa propre dérivée. On retrouve ainsi la définition ci-dessus de l'exponentielle par une équation différentielle.

Il est possible de s'affranchir de la nécessité de connaître au préalable $e$ par la caractérisation suivante:

Caractérisation — La fonction $exp$ est l'unique fonction dérivable de ℝ dans ℝ* transformant une somme en produit, c'est-à-dire vérifiant l'équation fonctionnelle

\forall u,v\in \mathbb {R} ,~f(u+v)=f(u)f(v)

et dont la dérivée prend la valeur 1 en 0.

On s'inspire de l'égalité $\exp(p/q)=\mathrm {e} ^{p/q}$ pour tous entiers $q > 0$ et $p$ pour introduire une nouvelle notation pour la fonction $exp$ : $\exp(x)=\mathrm {e} ^{x}$ pour tout réel $x$ .

Toutes les fonctions exponentielles de base $a$ s'expriment à l'aide de la fonction $exp$ et de la fonction logarithme népérien :

\exp _{a}(x)=a^{x}=\mathrm {e} ^{x\ln(a)}.~

Par une série

La fonction exponentielle et son approximation autour de zéro par les premiers termes de la série.

Enfin, en appliquant la méthode de recherche de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir l'application exponentielle $exp$ ou encore $x \mapsto e x$ comme la somme d'une série entière de rayon de convergence infini :

\exp(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{x^{n} \over n!}

,

où $n!$ est la factorielle de $n$ .

Démonstration

Toute série formelle $F(X)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}X^{n}$ vérifie $F(0)=a_{0}{\text{ et }}F'(X)=\sum _{n=0}^{+\infty }(n+1)a_{n+1}X^{n}.$ La solution formelle de $F(0)=1{\text{ et }}F'=F$ est donc $a_{0}=1{\text{ et }}\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n+1}={\frac {a_{n}}{n+1}}$ c'est-à-dire $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}={\frac {1}{n!}}.$ La règle de d'Alembert montre que la série entière associée a un rayon de convergence infini. La fonction entière ainsi définie fournit donc, par restriction, une fonction réelle solution au problème de Cauchy. L'unique solution de ce problème est par conséquent analytique réelle, et les coefficients de sa série de Taylor en 0 sont les 1/n!.

C'est également cette série qu'on obtient en appliquant la démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz[2]^,[3]^,[4], c'est-à-dire en construisant la solution $exp$ de l'équation différentielle comme limite de la suite de fonctions $(u n)$ définie par $u 0 = 1$ et

u_{n+1}(t)=1+\int _{0}^{t}u_{n}(s)\,\mathrm {d} s.

On déduit de cette série entière l'un des nombreux développements en fraction continue généralisée de la fonction exponentielle :

{\rm {e}}^{x}={\frac {1\mid }{\mid 1}}-{\frac {x\mid }{\mid 1+x}}-{\frac {x\mid }{\mid 2+x}}-{\frac {2x\mid }{\mid 3+x}}-{\frac {3x\mid }{\mid 4+x}}-{\frac {4x\mid }{\mid 5+x}}-\cdots .

Une analyse détaillée d'expressions de cette nature est proposée dans l'article « Approximant de Padé de la fonction exponentielle ».

Étude de la fonction exponentielle

La fonction $exp$ prend en $1$ une valeur notée $e$ , qui vaut environ $2,718$ et est un nombre transcendant.

La première des quatre définitions équivalentes ci-dessus montre que la fonction $exp$ est de classe C^$\infty$. La dernière montre qu'elle est même analytique.

Chacune des trois premières montre que la fonction $exp$ est strictement croissante de ℝ dans ℝ*₊ et que $\lim _{x\to -\infty }\exp(x)=0{\text{ et }}\lim _{x\to +\infty }\exp(x)=+\infty .$

Plus précisément — voir l'article « Indétermination de la forme $\infty/\infty$ » — la fonction $exp$ tend vers $+ \infty$ plus rapidement que toute fonction polynomiale quand sa variable tend vers $+ \infty$ , c'est-à-dire que

\lim _{x\to +\infty }{\frac {\exp(x)}{x^{n}}}=+\infty

quel que soit l'entier naturel $n$ . Par changement de variable, on en déduit

\lim _{x\to -\infty }x^{n}\exp(x)=0.

La croissance de $exp$ peut se déduire de la positivité de sa dérivée $exp$ . De même, puisque sa dérivée seconde $exp$ est strictement positive, la fonction $exp$ est strictement convexe.

Propriétés

La fonction exponentielle, de ℝ sur ℝ*₊, est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien : pour tous réels $y > 0$ et $x$ ,

ln(e x) = x

,

e ln(y) = y

et

e x = y \Leftrightarrow x = ln(y)

.

La fonction exponentielle transforme les sommes en produits, c'est-à-dire que pour tous réels $x$ et $y$ , $e x + y = e x e y$ .

On en déduit que pour tout réel $x$ et tout rationnel $b$ , $(e x) b = e bx$ .

Pour $b$ irrationnel, cette équation peut tenir lieu de définition, c'est-à-dire que l'une des façons de définir l'exponentielle de base $a$ est de poser, pour tous réels $a > 0$ et $b$ : $a b = e b ln(a)$ .

Généralisation à d'autres ensembles

Définitions

On peut définir la fonction $exp$ complexe de deux façons :

En utilisant la propriété : $\exp(\mathrm {i} x)=\cos x+\mathrm {i} \sin x$ ,on écrit $\exp(a+\mathrm {i} b)=\exp(a)(\cos b+\mathrm {i} \sin b)$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
La fonction exponentielle complexe s'exprime donc à l'aide de la fonction exponentielle réelle et des fonctions trigonométriques.
En utilisant le développement en série de l'exponentielle, on étend celle-ci au plan complexe : $\exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}.$

La fonction exponentielle vérifie alors les propriétés importantes suivantes :

pour tous $z$ et $w$ , ${\displaystyle \exp(z+w)=\exp(z)\exp(w){\text{ et }}\exp(0)=1{\text{ (donc }}\exp(z)\neq 0{\text{)$
la fonction exponentielle dans le plan complexe est une fonction holomorphe et sa dérivée (au sens complexe) est elle-même : $\exp '(z)=\exp(z).$

Ces formules se montrent à l'aide des formules de trigonométrie ou à l'aide de la notion de produit de Cauchy de deux séries, selon le mode de définition de l'exponentielle.

C'est une fonction périodique, de période le nombre imaginaire pur $2iπ$ . Cette périodicité entraînant la non-injectivité, prolonger le logarithme naturel à l'ensemble des nombres complexes donne naturellement une fonction multiforme $z \mapsto ln(z)$ , appelée logarithme complexe.

L'exponentielle plus générale : pour tous nombres complexes $z$ et $w$ , $z^{w}=\exp[w\ln(z)]$ est alors aussi une fonction multiforme. Les propriétés ci-dessus des exponentielles restent vraies à condition de les interpréter convenablement comme des relations entre fonctions multiformes.

La fonction exponentielle complexe transforme l'axe imaginaire pur en le cercle unité. C'est la fonction que l'on utilise pour montrer que la droite réelle est un revêtement du cercle unité.

Représentations

Si $w=x+\mathrm {i} y$ on peut représenter graphiquement, dans l'espace, les fonctions $w\mapsto \Re (\exp(w))$ , $w\mapsto \Im (\exp(w))$ , $w\mapsto |\exp(w)|$ et $w\mapsto \arg(\exp(w))$

Surfaces représentant la partie réelle, la partie imaginaire, le module et l'argument principal de l'exponentielle complexe
$z=\Re (\exp(x+\mathrm {i} y))$
$z=\Im (\exp(x+\mathrm {i} y))$
$z=|\exp(x+\mathrm {i} y)|$
$z=\arg(\exp(x+\mathrm {i} y))$

Courbe de densité représentant la partie réelle et la partie imaginaire de l'exponentielle complexe
$z=\Re (\exp(x+\mathrm {i} y))$
$z=\Im (\exp(x+\mathrm {i} y))$

Pour d'autres représentations de l'exponentielle complexe, se référer à

l'article en anglais sur Commons

.

Exponentielle d'une matrice

La définition de l'exponentielle comme série entière permet de définir l'exponentielle d'une matrice carrée $M$ comme

\exp(M)=\mathrm {e} ^{M}=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}M^{k}

.

Les exponentielles de matrices sont utiles dans la résolution des équations différentielles linéaires.

Exponentielle d'un opérateur différentiel

On peut de même définir l'exponentielle d'un opérateur différentiel $D$ par :

\exp(D)=\mathrm {e} ^{D}=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}D^{k}

.

Par exemple, quand $D=a{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ où $a$ est une constante :

\exp \left(a{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)=\mathrm {e} ^{a{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{a^{k} \over k!}\left({\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\right)

,

si bien que pour toute fonction $f (x)$ analytique, on a

\mathrm {e} ^{a{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}f(x)=f(x+a)

,

un avatar de la formule de Taylor[5].

Exponentielle dans un groupe additif

La définition de l'exponentielle comme un morphisme continu d'un groupe additif vers un groupe multiplicatif permet de définir une fonction exponentielle de ℝ vers tout groupe topologique. Plus généralement, pour un groupe topologique G, on appelle sous-groupe à un paramètre tout morphisme continu ℝ → G. Certains ouvrages peuvent remplacer l'hypothèse de continuité par la mesurabilité.

Exponentielle dans une variété différentielle

La définition de la fonction exponentielle comme solution d'une équation différentielle se généralise pour les groupes de Lie et les géodésiques dans les variétés riemanniennes

Exponentielle dans une algèbre de Banach

La définition de l'exponentielle comme série entière permet de la définir sur des algèbres de Banach (voir l'article Calcul fonctionnel).

Applications

Équation différentielle linéaire

L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elles sont proportionnelles à leur propre dérivée. a étant un nombre réel ou complexe, on a :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\lambda \mathrm {e} ^{ax}=a\lambda \mathrm {e} ^{ax}

ou plus exactement, la fonction $\varphi :x\mapsto \lambda \mathrm {e} ^{ax}$ est l'unique solution de l'équation fonctionnelle

\varphi '=a\varphi \ {\text{ et }}\ \varphi (0)=\lambda

Si une grandeur croît ou décroît, en fonction du temps et que la vitesse de «sa course» est proportionnelle à «sa taille», comme dans le cas de la croissance d'une population, des intérêts composés continus ou de la décroissance radioactive, alors cette grandeur peut être exprimée comme une constante fois une fonction exponentielle du temps.

La fonction exponentielle de base $e$ est solution de l'équation différentielle élémentaire :

y'=y

et on la rencontre fréquemment dans les solutions d'équations différentielles. En particulier, les solutions d'une équation différentielle linéaire peuvent être écrites à l'aide des fonctions exponentielles. On les trouve aussi dans les solutions des équations différentielles de Schrödinger, de Laplace ou dans l'équation différentielle du mouvement harmonique simple.

Fonction trigonométrique

La fonction exponentielle est d'une utilité capitale en trigonométrie. Les formules d'Euler (que l'on démontre à partir de la définition $exp(i z) = cos z + i sin z$ ) nous donnent un lien direct entre les fonctions cosinus et sinus, réelles ou non, et la fonction exponentielle complexe.

\cos x={{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x} \over 2}

\sin x={{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x} \over 2{\rm {i}}}

Ces formules permettent de retrouver la plupart des identités trigonométriques, en particulier

\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)~

\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)~

à partir desquelles on peut retrouver quasiment toutes les autres.

La fonction exponentielle est aussi un moyen facile de linéariser les expressions de la forme $cos p x sin q x$ : voir le § « Linéarisation » de l'article sur les identités trigonométriques.

La fonction exponentielle trouve aussi son utilité quand on veut démontrer la formule de Moivre.

Fonction exponentielle et trigonométrie hyperbolique

À partir de la fonction exponentielle, on peut définir les fonctions de trigonométrie hyperbolique, définissant les fonctions hyperboliques cosinus hyperbolique, $cosh$ et sinus hyperbolique, $sinh$ , utilisées en partie dans les résolutions des équations différentielles de second ordre.

\operatorname {cosh} x={\frac {{\rm {e}}^{x}+{\rm {e}}^{-x}}{2}}

\operatorname {sinh} x={\frac {{\rm {e}}^{x}-{\rm {e}}^{-x}}{2}}

Théorie de Fourier

Les fonctions exponentielles $t\mapsto {\rm {e}}^{{\rm {i}}kt}$ où $t$ est un réel et $k$ un entier relatif sont utilisées dans la théorie de Fourier. Elles permettent d'exprimer toute fonction périodique comme somme de fonctions trigonométriques, ce sont les séries de Fourier. Elles permettent aussi de définir la transformée de Fourier d'une fonction de carré sommable.

Fonction sigmoïde

La fonction sigmoïde $f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}$ pour tout réel $x$ est particulièrement utile dans les réseaux de neurones pour calculer le gradient de l'erreur.

Notes et références

Voir cet exercice corrigé de la leçon « Suites et séries de fonctions » sur Wikiversité. Pour d'autres démonstrations (plus compliquées), voir par exemple celles de G. Costantini ou de Perrin 2002.
T. Budzinski, « Théorème de Cauchy-Lipschitz », sur le serveur des élèves de l'ENS, 2014.
« Autour de la fonction exponentielle et ses constructions », sur OpenClassrooms.
(en) Foster Morrison, The Art of Modeling Dynamic Systems : Forecasting for Chaos, Randomness and Determinism, Dover, 2012 (lire en ligne), p. 217 élargit cette remarque aux fonctions $t \mapsto exp(t - t 0)$ et Roger Godement, Analyse mathématique, vol. 3, Springer, 2001 (lire en ligne), p. 273, aux exponentielles matricielles.
Jean-Pierre Provost et Gérard Vallée, Les maths en physique : La physique à travers le filtre des mathématiques, Paris, Éditions Dunod, coll. « Sciences Sup », mars 2004, 1^re éd., 331 p. (ISBN 2-10-004652-7), p. 7.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

« Fonction exponentielle : à tout Euler », La Méthode scientifique, France Culture, 19 novembre 2020.
Daniel Perrin, « Une définition de la fonction exponentielle dans l'esprit des nouveaux programmes », 2002
Jean-Pierre Demailly, Puissances, exponentielles, logarithmes de l'école primaire jusqu'à la terminale, 2010

Portail de l'analyse

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[1] Voir cet exercice corrigé de la leçon « Suites et séries de fonctions » sur Wikiversité. Pour d'autres démonstrations (plus compliquées), voir par exemple celles de G. Costantini ou de Perrin 2002.

[2] T. Budzinski, « Théorème de Cauchy-Lipschitz », sur le serveur des élèves de l'ENS, 2014.

[3] « Autour de la fonction exponentielle et ses constructions », sur OpenClassrooms.

[4] (en) Foster Morrison, The Art of Modeling Dynamic Systems : Forecasting for Chaos, Randomness and Determinism, Dover, 2012 (lire en ligne), p. 217 élargit cette remarque aux fonctions $t \mapsto exp(t - t 0)$ et Roger Godement, Analyse mathématique, vol. 3, Springer, 2001 (lire en ligne), p. 273, aux exponentielles matricielles.

[5] Jean-Pierre Provost et Gérard Vallée, Les maths en physique : La physique à travers le filtre des mathématiques, Paris, Éditions Dunod, coll. « Sciences Sup », mars 2004, 1^re éd., 331 p. (ISBN 2-10-004652-7), p. 7.