Groupe cyclique

Les groupes monogènes sont importants pour l'étude des groupes abéliens de type fini : tous sont des produits directs de groupes monogènes (dont certains peuvent être monogènes infinis c'est-à-dire isomorphes à ℤ). En particulier, les groupes abéliens finis sont classifiés par le théorème de Kronecker. Dans le cas des groupes finis non abéliens, le théorème de Cauchy montre l'existence de nombreux sous-groupes cycliques. Ce théorème est utilisé pour la classification des groupes finis, même si souvent, certaines formes plus élaborées sont utilisées comme les trois théorèmes de Sylow.

En arithmétique ces groupes offrent un large répertoire d'outils et permettent de nombreuses démonstrations. Ces outils sont regroupés dans une branche des mathématiques nommée arithmétique modulaire. Ils se fondent sur l'étude des congruences sur l'anneau des entiers. On peut citer comme exemple le petit théorème de Fermat ou encore le théorème des deux carrés de Fermat avec la démonstration de Richard Dedekind. On peut encore citer la loi de réciprocité quadratique qui repose sur des structures de groupes cycliques. Il existe de nombreux cas où le groupe sous-jacent est non monogène, mais seulement abélien de type fini, ce qui s'y ramène par produit. On le trouve par exemple dans le théorème de la progression arithmétique ou le théorème des unités de Dirichlet.

Les groupes monogènes jouent un rôle dans la théorie des anneaux particulièrement dans le cas des anneaux unitaires. En effet, l'unité de l'anneau engendre (pour l'addition) un groupe monogène, permettant de définir la caractéristique d'un anneau.

Dans le cas particulier des corps commutatifs, les groupes cycliques ont aussi un rôle fondamental. Toute extension de corps possède un groupe associé nommé groupe de Galois. Le théorème d'Abel-Ruffini indique que les propriétés de commutativité sont essentielles pour comprendre la théorie des équations. Le théorème de Kronecker-Weber montre que la compréhension de la résolution des équations algébriques est essentiellement liée à la structure des extensions cyclotomiques dont le groupe de Galois est cyclique.

La théorie de Galois permet aussi de construire tous les corps finis, intimement associés à la structure de groupes cycliques. Ainsi le groupe additif est un produit direct de plusieurs occurrences d'un groupe cyclique et le groupe multiplicatif est cyclique.

La théorie de l'information utilise largement les groupes cycliques. Un élément essentiel de la cryptologie se fonde sur le fait qu'il est relativement simple de construire un grand nombre premier mais difficile de décomposer un grand nombre en nombres premiers. Ce principe est à la base du chiffrement RSA. Les algorithmes de décomposition, nommés test de primalité se fondent très généralement sur les groupes cycliques. On peut citer comme exemple ceux de Fermat, de Miller-Rabin ou encore de Solovay-Strassen.

La théorie des codes correcteurs, visant à assurer non pas la sécurité mais la fiabilité, n'est pas en reste. La grande majorité des codes utilisés dans l'industrie font partie de la famille des codes cycliques s'appuyant sur divers groupes cycliques.

La structure du treillis des sous-groupes d'un groupe monogène ℤ/nℤ est simple[3] :

• Les sous-groupes d'un groupe monogène sont monogènes (en particulier, les sous-groupes de ℤ sont les parties de la forme dℤ avec d entier).
• Si n ≠ 0, pour tout diviseur positif d de n, le sous-groupe de ℤ/nℤ engendré par la classe de n/d est l'unique sous-groupe d'ordre d.

On en déduit[4] :

${\displaystyle n=\sum _{d\mid n}\varphi (d)}$,

équation qui fournit en retour une réciproque[5]^,[6] :

Pour qu'un groupe G d'ordre n soit cyclique, il suffit que pour tout diviseur d de n, G possède au plus un sous-groupe cyclique d'ordre d.

En particulier, tout groupe d'ordre premier est cyclique[7]. Autrement dit : tout nombre premier est un nombre cyclique.

Ceci permet également de montrer que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique[5]^,[8].

Le théorème des restes chinois permet la décomposition d'un groupe cyclique fini en groupes cycliques plus petits. Ce théorème est largement utilisé en théorie algébrique des nombres et plus spécifiquement en arithmétique modulaire. Il est aussi à la base de nombreux algorithmes de cryptographie, comme celui du chiffrement RSA. En théorie des groupes, le théorème s'énonce de la manière suivante :

Soient n₁, … , n_k (≥ 1) des entiers deux à deux premiers entre eux et n leur produit. Alors, tout groupe cyclique d'ordre n est isomorphe à un produit de k groupes cycliques d'ordres respectifs n₁, … , n_k.

Note : l'exposant du groupe produit est égal au PPCM des n_i. Si ceux-ci ne sont pas premiers entre eux deux à deux, l'exposant du groupe produit est donc strictement inférieur à son ordre n et ce groupe n'est alors pas cyclique.

On déduit du théorème une décomposition d'un groupe cyclique en « facteurs primaires » : si n est l'ordre du groupe, soit

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}}$

sa décomposition en produit de facteurs premiers (unique à l'ordre près des facteurs), où (p_i) est une famille de k nombres premiers distincts et α_i des entiers supérieurs ou égaux à 1. Le théorème précédent s'applique en posant ${\displaystyle n_{i}=p_{i}^{\alpha _{i}}}$ et donne :

Tout groupe cyclique se décompose (de manière essentiellement unique) en un produit de groupes cycliques d'ordre une puissance d'un nombre premier.

Pour tous groupes abéliens G et H, l'ensemble Hom(G, H) des morphismes de G dans H est naturellement muni d'une structure de groupe abélien. En particulier, l'ensemble End(G) := Hom(G, G) des endomorphismes d'un groupe monogène G est un groupe abélien, et même monogène car :

Si g est un générateur de G, l'application End(G) →G, ψ ↦ ψ(g) est un isomorphisme de groupes.

En effet, ce morphisme est injectif (l'endomorphisme ψ est entièrement déterminé par ψ(g)) et surjectif car réciproquement, si h est un élément de G, de la forme h = g^p, alors l'endomorphisme id^p (puissance p-ième dans End(G) de l'endomorphisme identité), qui à x associe x^p, envoie g sur h.

Pour tout endomorphisme ψ de G, de la forme x ↦ x^p, im(ψ) est le sous-groupe de G engendré par g^p et ψ est un automorphisme si et seulement s'il est surjectif.

Plus précisément, si G est d'ordre n, ker(ψ) est le sous-groupe de G d'ordre PGCD(n, p) et im(ψ) est celui d'ordre n/PGCD(n, p). Par conséquent :

Un groupe cyclique d'ordre n a exactement φ(n) automorphismes, où φ désigne l'indicatrice d'Euler : les morphismes de la forme x ↦ x^p, pour p premier avec n et compris entre 1 et n.

Ces automorphismes forment, dans le groupe symétrique S(G), un sous-groupe abélien, dont la structure est décrite dans l'article Anneau ℤ/nℤ, § Groupe des unités.

Un caractère d'un groupe G est un morphisme de G dans le groupe multiplicatif (ℂ*, ×) des éléments non nuls du corps des nombres complexes. Cette notion est au cœur d'une théorie importante, celle des représentations d'un groupe fini.

Si G est d'ordre n, ses caractères sont à valeurs dans le groupe U_n des racines n-ièmes de l'unité (cf. article détaillé). Ce groupe est cyclique d'ordre n donc :

• L'image d'un caractère est un sous-groupe U_d de U_n.
• Soit G = ⟨g⟩ un groupe cyclique d'ordre n. L'application χ ↦ χ(g) est un isomorphisme, du groupe des caractères de G dans U_n.

(On peut le déduire de l'étude ci-dessus des endomorphismes de G, ou le démontrer exactement de la même manière.)

Remarquons que si r est une racine n-ième de l'unité, l'unique caractère χ tel que χ(g) = r vérifie, pour tout entier m : χ(g^m) = r^m.

• Jean-François Labarre, La théorie des groupes, PUF, coll. « Sciences » (n^o 1), 1978 (ISBN 978-2-13-035684-4)
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]

• Groupe dicyclique
• Groupe quasicyclique
• Groupes abéliens simples (les groupes d'ordre premier)
• Logarithme discret

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