Lacet (mathématiques)

Soit ${\displaystyle X}$ est un espace topologique.

Définition 1 :

• On appelle lacet sur ${\displaystyle X}$ toute application continue ${\displaystyle \gamma \,:\,[0,1]\rightarrow X}$ telle que ${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)}$.
• Autrement dit, un lacet sur ${\displaystyle X}$ est un chemin sur ${\displaystyle X}$ dont les deux extrémités (le point initial et le point final) sont identiques.

Définition 2 :

• On appelle lacet sur ${\displaystyle X}$ toute application continue de ${\displaystyle S^{1}}$ vers ${\displaystyle X}$, où ${\displaystyle S^{1}}$ dénote le cercle unité ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}}$.
• S¹ peut être regardé comme le quotient de ${\displaystyle [0,1]}$ en identifiant 0 ∼ 1.

L'ensemble de tous les lacets dans X est appelé l'espace des lacets de X.

En analyse complexe, on s'intéresse aux lacets qui sont aussi des "courbes rectifiables[1]"

Un lacet f est dit simple lorsque l'égalité f(a) = f(b) implique soit que a = b, soit que ${\displaystyle \{a,b\}=\{0,1\}}$. Intuitivement, cela signifie que le lacet ne dessine qu'une unique boucle. On peut aussi définir des lacets polygonaux, ou de classe ${\displaystyle C^{k}}$ (voir Chemins). Les termes de lacet simple et de courbe de Jordan sont synonymes.

Dans le cas ${\displaystyle X=\mathbb {C} }$, on peut définir l'indice ${\displaystyle \mathrm {I} (\gamma ,z_{0})}$ d'un lacet ${\displaystyle \gamma }$ par rapport à un point ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} \smallsetminus \gamma ([0,1])}$ : il correspond au nombre (entier relatif) de tours effectués par le lacet autour de ce point.

On peut l'obtenir en calculant :

${\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {\mathrm {d} z}{z-z_{0}}}}$

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