Méthode des variables instrumentales

Le modèle de régression linéaire simple fait l'hypothèse que les variables explicatives sont statistiquement indépendantes du terme d'erreur.

Par exemple, si on pose le modèle

${\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+u_{i}}$

avec ${\displaystyle x_{i}}$ la variable explicative et ${\displaystyle u_{i}}$ le terme d'erreur, on suppose généralement que ${\displaystyle x_{i}}$ est exogène, c'est-à-dire que ${\displaystyle \mathbb {E} (u_{i}|x_{i})=0}$.

Lorsque l'hypothèse d'exogénéité n'est pas vérifiée, les estimateurs standards de ${\displaystyle \beta }$ comme l'estimateur des moindres carrés ordinaires sont biaisés et le coefficient ${\displaystyle \beta _{1}}$ ne peut pas être interprété comme l'effet causal de x sur y. On dit alors que la variable explicative ${\displaystyle x_{i}}$ est endogène.

Un instrument ou variable instrumentale est une variable (par exemple ${\displaystyle z_{i}}$) telle qu'elle est corrélée à ${\displaystyle x_{i}}$ mais n'est pas corrélée à ${\displaystyle u_{i}}$. Autrement dit, une variation de ${\displaystyle z_{i}}$ a un effet sur ${\displaystyle x_{i}}$ mais pas d'effet sur ${\displaystyle u_{i}}$. En étudiant les variations de ${\displaystyle y_{i}}$ et ${\displaystyle x_{i}}$ liées aux variations de ${\displaystyle z_{i}}$, on peut obtenir l'effet causal de x sur y[1].

On a alors un système d'équations :

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{i}&=&\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+u_{i}\\x_{i}&=&\gamma _{0}+\gamma _{1}z_{i}+v_{i}\end{aligned}}}$

On peut alors estimer les paramètres de ce système d'équations et obtenir une estimation sans biais du paramètre ${\displaystyle \beta _{1}}$.

• (en) Joshua Angrist et Jörn-Stephen Pischke, « Instrumental Variables in Action: Sometimes You Get What You Need », dans Mostly Harmless Econometrics, MIT Press, 2009
• (en) Colin Cameron et Pravin Trivedi, Microeconometrics : Methods And Applications, Cambridge University Press, 2005, 1056 p. (ISBN 978-0-521-84805-3, lire en ligne)

• Inférence causale
• Identification (statistique)
• Endogénéité
• Estimateur de Wald

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