Méthode du cercle de Hardy-Littlewood

L'idée de départ est couramment située dans le travail de Hardy et Ramanujan, en 1916-1917, sur un développement asymptotique de la fonction de partition. Elle a été reprise par de nombreux autres chercheurs, dont Harold Davenport et Ivan Vinogradov, qui en ont légèrement modifié la formulation (passant de l'analyse complexe aux sommes d'exponentielles), sans en changer les grandes lignes. Des centaines d'articles ont suivi et la méthode, en 2012, produit toujours de nouveaux résultats[1]. Elle est l'objet d'un ouvrage de Robert Charles Vaughan[2].

Le but est d'établir le comportement asymptotique d'une certaine suite (a_n), i.e. de vérifier que pour une certaine fonction F (conjecturée par un raisonnement heuristique) on a a_n ~ F(n). On le fait en prenant la série génératrice correspondante et en calculant des résidus en 0 (essentiellement : les coefficients de Fourier). Techniquement, la série entière ${\displaystyle \textstyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$ est supposée normalisée de telle sorte que son rayon de convergence soit 1, donc elle a des singularités sur le cercle unité et l'on ne peut pas prendre l'intégrale de contour sur ce cercle.

La méthode du cercle indique comment calculer ces résidus, en subdivisant le cercle en des arcs « mineurs » (qui constituent l'essentiel du cercle, et sur lesquels on borne le comportement de la fonction) et des arcs « majeurs » (de petits arcs contenant les singularités les plus significatives). Le point clé est que dans beaucoup de cas intéressants (comme celui des fonctions thêta), les singularités apparaissent aux points racines de l'unité et sont rangées par ordre de prépondérance suivant la suite de Farey. Ceci permet d'examiner les singularités les plus significatives et, dans les bons cas, de calculer les intégrales.

Résidus

D'après le théorème des résidus et avec les notations et hypothèses ci-dessus, on a, pour tout entier n ≥ 0 :

${\displaystyle \int f(z)z^{-(n+1)}~\mathrm {d} z=2\pi \mathrm {i} a_{n}}$

où l'intégrale, que nous noterons I_n, est prise sur le cercle de centre 0 et de rayon quelconque r tel que 0 < r < 1, ce cercle étant parcouru une fois, dans le sens trigonométrique.

On voudrait prendre directement r = 1, c'est-à-dire utiliser le cercle unité comme contour. Dans la formulation de l'analyse complexe, ceci est problématique, puisque f n'est pas définie partout sur ce cercle.

Singularités sur le cercle unité

Le problème traité par la méthode du cercle est d'arriver quand même à prendre r = 1, par une bonne compréhension de la nature des singularités de f sur ce cercle. Le point fondamental est le rôle joué par la suite de Farey de nombres rationnels ou, de façon équivalente, par les racines de l'unité

${\displaystyle \zeta =\exp \left(2\pi \mathrm {i} {\frac {r}{s}}\right).}$

Il se trouve que pour une fonction typique f, le dénominateur s de la fraction r / s (supposée réduite) va déterminer l'importance relative de la singularité de f au voisinage de ζ.

Dans la description ci-dessus, il manque les détails qui « font marcher » cette méthode. Ils sont assez profonds. Une source évidente est la théorie des fonctions thêta.

Module de la fonction d'Euler ${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$.

Des raffinements de la méthode ont permis de démontrer des résultats sur les solutions d'équations diophantiennes homogènes, dès que le nombre k de variables est grand par rapport au degré d (voir par exemple : Théorème de Birch). C'est une contribution, apportant une information quantitative, au principe de Hasse. Si d est fixé et k est petit, d'autres méthodes sont nécessaires, d'ailleurs dans ces cas le principe de Hasse ne s'applique pas en général.

Dans le cas particulier où la méthode du cercle est appliquée pour trouver les coefficients d'une forme modulaire de poids négatif, Hans Rademacher a découvert une modification du contour qui fait que la série qu'on obtient converge vers le résultat exact[5]. Pour décrire son contour, le plus simple est de remplacer, par le changement de variable z = exp(2πiτ), le disque unité par la demi-bande 0 ≤ Re(τ) ≤ 1, Im(τ) ≥ 0, et l'intégrale de contour par une intégrale de τ = i à τ = 1 + i. Le contour de Rademacher est alors (plus ou moins) donné par les cercles de Ford de 0 à 1. Ce remplacement de chemin d'intégration est un procédé non trivial de passage à la limite, que l'on peut justifier pour les formes modulaires de poids strictement négatif et aussi, avec un peu plus de précautions, pour celles de poids nul.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hardy–Littlewood circle method » (voir la liste des auteurs).
• (en) Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet series in number theory, Springer, 1990, 2^e éd., 207 p. (ISBN 978-0-387-97127-8)

• (en) Heuristic limitations of the circle method (20 mai 2012) par Terence Tao, sur son blog
• (en) A. A. Karatsuba, « Circle method », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

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