Suite de Fibonacci

Le calcul du n-ième terme de la suite de Fibonacci via la formule de récurrence requiert le calcul des termes précédents. Au contraire, une expression fonctionnelle de la suite de Fibonacci est une expression où le calcul du n-ième terme ne présuppose pas la connaissance des termes précédents. Binet a redécouvert une formule en 1843[4], qui avait déjà été obtenue par de Moivre^{[réf. nécessaire]} en 1718 et par Euler en 1765[5]. Cette expression fonctionnelle s'appelle la formule de Binet :

${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(\varphi ^{n}-\varphi '^{n}),\qquad {\text{avec}}\qquad \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad {\text{et}}\qquad \varphi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-{\frac {1}{\varphi }}}$.

(Ces calculs restent valables pour n entier négatif quand la suite est prolongée comme ci-dessous.)

Quand n tend vers +∞, ${\displaystyle F_{n}}$ est équivalent à ${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$. Plus précisément, φⁿ tend vers l'infini et φ' ⁿ tend vers zéro car ${\displaystyle |\varphi '|<1<\varphi }$.

En fait, dès le rang n = 1, le deuxième terme ${\displaystyle {\varphi '^{n} \over {\sqrt {5}}}}$ est assez petit pour que les nombres de Fibonacci puissent être obtenus uniquement à partir du premier terme :

${\displaystyle F_{n}}$ est l'entier le plus proche de ${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$ (et il lui est supérieur ou inférieur, selon la parité de n).

Il existe d'autres démonstrations de la formule de Binet, telles que la transformation en Z et la technique des fonctions génératrices.

Remarquons qu'une fois découverte, cette formule se démontre aussi par récurrence (y compris pour n entier négatif).

La suite est étendue aux indices négatifs et Knuth parle de nombres de negafibonacci[6]. La formule de récurrence les définit aussi de proche en proche :${\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}}$Ainsi, autour de 0, la suite est :

${\displaystyle F_{-6}}$

${\displaystyle F_{-5}}$

${\displaystyle F_{-4}}$

${\displaystyle F_{-3}}$

${\displaystyle F_{-2}}$

${\displaystyle F_{-1}}$

${\displaystyle F_{0}}$

${\displaystyle F_{1}}$

${\displaystyle F_{2}}$

${\displaystyle F_{3}}$

${\displaystyle F_{4}}$

${\displaystyle F_{5}}$

${\displaystyle F_{6}}$

−8

5

−3

2

−1

1

0

1

1

2

3

5

8

On remarque, sur ces premières valeurs, que

• si n est pair alors ${\displaystyle F_{-n}=-F_{n}}$
• si n est impair alors ${\displaystyle F_{-n}=F_{n}}$

ou plus synthétiquement :

${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}}$.

On peut le démontrer pour tout entier n, par la formule de Binet ci-dessus, ou directement par récurrence.

De la relation évidente ${\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{n}\\F_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}F_{n-1}\\F_{n-2}\end{bmatrix}}}$, on déduit ${\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{n}\\F_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$ et ${\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{n+1}\\F_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$; ceci permet d'écrire la forme matricielle :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{bmatrix}}}$

En appliquant le déterminant, on obtient simplement la relation (voir plus loin) : ${\displaystyle F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}}$.

Et en calculant de deux façons ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n+m}}$, on obtient : ${\displaystyle F_{n}F_{m+1}+F_{n-1}F_{m}=F_{n+m}}$.

En développant par rapport à la première colonne le déterminant d'ordre n : ${\displaystyle D_{n}={\begin{vmatrix}1&b&0&0&\cdots &0&0&0\\a&1&b&0&\cdots &0&0&0\\0&a&1&b&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &a&1&b\\0&0&0&0&\cdots &0&a&1\\\end{vmatrix}}}$, on obtient ${\displaystyle D_{n}=D_{n-1}-abD_{n-2}}$ ; comme ${\displaystyle D_{1}=1,D_{2}=1-ab}$, si ${\displaystyle ab=-1}$, on obtient : ${\displaystyle D_{n}=F_{n+1}}$ d'où, pour ${\displaystyle n\geqslant 2}$  :

${\displaystyle F_{n}={\begin{vmatrix}1&-1&0&0&\cdots &0&0&0\\1&1&-1&0&\cdots &0&0&0\\0&1&1&-1&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &1&1&-1\\0&0&0&0&\cdots &0&1&1\\\end{vmatrix}}_{(n-1)\times {(n-1)}}={\begin{vmatrix}1&i&0&0&\cdots &0&0&0\\i&1&i&0&\cdots &0&0&0\\0&i&1&i&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &i&1&i\\0&0&0&0&\cdots &0&i&1\\\end{vmatrix}}_{(n-1)\times {(n-1)}}}$

Comme l'avait déjà remarqué Johannes Kepler[7], le taux de croissance des nombres de Fibonacci, c'est-à-dire ${\displaystyle {\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}}$, converge vers le nombre d'or φ.

En effet, puisque la suite ${\displaystyle F_{n}}$ est équivalente à ${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$ (cf. supra, section Expression fonctionnelle), la suite ${\displaystyle {\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}}$ est équivalente à ${\displaystyle {\frac {\frac {\varphi ^{n+1}}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}=\varphi }$, qui est donc sa limite.

En fait plus généralement, toutes les suites vérifiant la même relation de récurrence que la suite de Fibonacci (cf. infra, section Suites de Fibonacci généralisées) satisfont cette propriété, sauf celles commençant par a et aφ'.

• La série des inverses des nombres de Fibonacci non nuls est convergente ; R. André-Jeannin a démontré en 1989[8] que sa somme ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}}}=3{,}35988566\dots }$[9] est irrationnelle.
• On a également l'égalité ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{2}}}$[10]^,[11], voir la suite A079585 de l'OEIS.
• Le nombre ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}+1}}}}$ est lui aussi irrationnel[11], voir la suite  A338305.

• La dénomination de « suite de Fibonacci généralisée » est attribuée plus généralement à toute suite ${\displaystyle (G_{n})}$ définie sur ℕ vérifiant pour tout entier naturel n, ${\displaystyle G_{n+2}=G_{n+1}+G_{n}}$. Ces suites sont précisément celles pour lesquelles il existe des nombres a et b tels que pour tout entier naturel n, ${\displaystyle G_{n}=aF_{n}+bF_{n+1}}$. Ainsi, l'ensemble des suites de Fibonacci est un sous-espace vectoriel de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$et les suites ${\displaystyle (F_{n})}$ et ${\displaystyle (F_{n+1})}$ en forment une base.
• Le nombre d'or est la racine positive du polynôme X² – X – 1, ainsi φ² = φ + 1. Si l'on multiplie les deux côtés par φⁿ, on obtient φ^{n + 2} = φ^{n + 1} + φⁿ, donc la suite ${\displaystyle (\varphi ^{n})}$ est une suite de Fibonacci. La racine négative du polynôme, φ' = 1 – φ, possède les mêmes propriétés, et les deux suites linéairement indépendantes ${\displaystyle (\varphi ^{n})}$ et ${\displaystyle (\varphi '^{n})}$, forment une autre base de l'espace vectoriel.

Le calcul des nombres de Fibonacci est souvent donné en exemple pour introduire des notions d'algorithmique, comme dans le chapitre 0 du livre Algorithms de Dasgupta et al.[12] ou alors dans le problème 31.3 laissé en exercice dans Introduction à l'algorithmique de Cormen et al.[13] ou l'exercice 2 de la section 1.2.8 de TAOCP, qui est précisément consacrée aux nombres de Fibonacci.

// entrée : un nombre entier n
// sortie : le terme de rang n de la suite de Fibonacci
fonction fib(n)
    si n = 0
        retourner 0
    sinon si n = 1
        retourner 1
    sinon
        retourner fib(n - 1) + fib(n - 2)

fonction fib(n)
    (a, b) ← (0, 1)
    pour i de 1 à n
        (a, b) ← (b, a + b)
    retourner a

fonction fib(n, a, b)
    si n = 0
        retourner a
    sinon si n = 1
        retourner b
    sinon
        retourner fib(n - 1, b, a + b)

fibs = 0:1:zipWith (+) fibs (tail fibs)

fibs !! n

La série génératrice de la suite de Fibonacci[18] donne une série entière dont le rayon de convergence vaut 1/φ (d'après le théorème de Cauchy-Hadamard ou plus simplement, la règle de d'Alembert). Pour tout complexe z de module strictement inférieur à 1/φ, la série correspondante (absolument convergente) est égale à ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }F_{n}z^{n}={\frac {z}{1-z-z^{2}}}}$ (donc à ${\displaystyle z\sum _{m\in \mathbb {N} }(z+z^{2})^{m}=\sum _{m,k\in \mathbb {N} }{m \choose k}z^{1+m+k}}$, où les coefficients binomiaux ${\displaystyle m \choose k}$ sont nuls pour k > m).

En particulier, pour tout réel k > φ, ${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}-k-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }F_{n}\times k^{-(n+1)}}$.

La suite de Fibonacci présente de remarquables propriétés. En voici quelques-unes, démontrées le plus souvent à partir de la formule de Binet ou par récurrence (pour certaines, on peut aussi utiliser le calcul matriciel et les identités données au paragraphe « algorithme logarithmique »). Nous donnons également quelques propriétés liant la suite de Fibonacci et la suite des nombres de Lucas ${\displaystyle L_{n}}$ définie par la même relation de récurrence mais avec pour initialisation ${\displaystyle L_{0}=2}$ et ${\displaystyle L_{1}=1}$, et pour laquelle l'analogue de la formule de Binet est : ${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+\varphi '^{n}}$.

Par une récurrence immédiate[19] sur ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle F_{n+1}}$ est égal au nombre de suites finies d'entiers égaux à 1 ou 2 dont la somme est égale à n. (On peut donc l'interpréter comme le nombre de façons différentes de paver un rectangle 2×N au moyen de dominos 2×1.)

Propriété 1 : ${\displaystyle \forall (p,q,r)\in \mathbb {Z} ^{3},F_{p}F_{q+r}-(-1)^{r}F_{p-r}F_{q}=F_{p+q}F_{r}}$, ou encore : ${\displaystyle F_{p}F_{q+r}-F_{r}F_{p+q}=(-1)^{r}F_{p-r}F_{q}}$.

C'est un cas particulier des identités remarquables vérifiées par les suites récurrentes linéaires d'ordre 2.

Propriété 2 : ${\displaystyle \forall (p,q)\in \mathbb {Z} ^{2},F_{p}F_{q+1}+F_{p-1}F_{q}=F_{p+q}}$.

C'est le cas r = 1 de la propriété 1[20].

Propriété 3 : ${\displaystyle \forall p\in \mathbb {Z} ,F_{2p-1}=F_{p-1}^{2}+F_{p}^{2}}$.

C'est le cas q = p – 1 de la propriété 2.

Propriété 4 : ${\displaystyle \forall (p,r)\in \mathbb {Z} ^{2},F_{p}F_{r+1}-F_{r}F_{p+1}=(-1)^{r}F_{p-r}}$.

C'est le cas q = 1 de la propriété 1.

Propriété 5 : ${\displaystyle \forall (p,q)\in \mathbb {Z} ^{2},F_{p}^{2}-F_{p-q}F_{p+q}=(-1)^{p-q}F_{q}^{2}}$ (identité de Catalan) et ${\displaystyle F_{p+1}F_{p-1}-F_{p}^{2}=(-1)^{p}}$ (identité de Cassini[19]^,[21]).

L'identité de Catalan est le cas r = p – q de la propriété 1. L'identité de Cassini est le cas q = 1 de celle de Catalan (c'est donc aussi le cas r = p – 1 de la propriété 4).

Corollaire 1 : ${\displaystyle \forall p\in \mathbb {Z} ,F_{p}={\frac {F_{p-1}+{\sqrt {5F_{p-1}^{2}-4(-1)^{p}}}}{2}}~{\text{et}}~{\sqrt {5F_{p}^{2}+4(-1)^{p}}}\in \mathbb {N} }$.

Corollaire 2 : ${\displaystyle \forall p\in \mathbb {Z} ,F_{p+2}F_{p+1}F_{p-1}F_{p-2}-F_{p}^{4}+1=0}$.

Propriété 6 : La suite de Fibonacci est à divisibilité faible[22] : ${\displaystyle \forall (k,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\quad F_{n}\mid F_{nk}}$[23].

Cela résulte immédiatement de la propriété 2 ou 4 (par récurrence sur |k|), ou d'un calcul explicite du quotient (en particulier, ${\displaystyle F_{2n}=F_{n}L_{n}}$).

Propriété 7 : Pour tout entier naturel n différent de 4, si ${\displaystyle F_{n}}$ est premier, alors n est premier.

Ou par contraposée : si n est composé alors ${\displaystyle F_{n}}$ aussi. En effet, supposons n = mk avec m et k entiers strictement supérieurs à 1. Comme n est supposé différent de 4, l'un au moins des deux facteurs est strictement supérieur à 2 : par exemple m > 2. D'après la propriété 6, ${\displaystyle F_{m}}$ est alors un diviseur propre de ${\displaystyle F_{n}}$, qui n'est donc pas premier.

La réciproque est fausse, car 2 est premier alors que ${\displaystyle F_{2}}$ ne l'est pas ; de façon moins triviale, ${\displaystyle F_{19}=4181=37\times 113}$.

Propriété 8 : La suite de Fibonacci est même à divisibilité forte[24] : ${\displaystyle \forall (a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*},~F_{a}\land F_{b}=F_{a\land b}}$, où ∧ désigne le PGCD de nombres entiers.

En particulier pour tout entier n, ${\displaystyle F_{n}}$ et ${\displaystyle F_{n+1}}$ sont premiers entre eux.

Propriété 9 : ${\displaystyle \forall (p,r)\in \mathbb {Z} ^{2},F_{p+r}-(-1)^{r}F_{p-r}=F_{r}L_{p}}$. En particulier :

${\displaystyle F_{p+1}+F_{p-1}=L_{p},\quad F_{p+2}-F_{p-2}=L_{p},\quad F_{p+3}+F_{p-3}=2L_{p}}$.

L'égalité est immédiate si p = 0. Pour p ≠ 0, c'est le cas particulier q = p de la propriété 1.

Propriété 10 : ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} ,\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}~{\text{et}}~\varphi '^{n}=F_{n}\varphi '+F_{n-1}}$.

Propriété 11 : ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad \sum _{0\leq i<n}F_{2i+1}=F_{2n},\quad 1+\sum _{0\leq i<n}F_{2i}=F_{2n-1}\quad {\text{et}}\quad 1+\sum _{0\leq i<n}F_{i}=F_{n+1}}$[25].

La somme des diagonales ascendantes du triangle de Pascal forme la suite de Fibonacci.

Propriété 12 : ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,~F_{n}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{n-1-k \choose k}}$ (somme finie car les coefficients binomiaux ${\displaystyle {n-1-k \choose k}}$ sont nuls si k < 0 ou si k > n – 1 – k).

Cette propriété se déduit immédiatement de l'expression de la série génératrice (voir supra). On peut aussi la démontrer par une récurrence d'ordre 2 sur n :

Cela signifie que, dans un triangle de Pascal, les nombres de Fibonacci s'obtiennent en sommant les termes situés sur une diagonale (du bas vers la droite). Les termes de ces diagonales sont d'ailleurs les coefficients des polynômes de Fibonacci ; ainsi, ${\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x}$ et ${\displaystyle F_{9}(x)=x^{8}+7x^{6}+15x^{4}+10x^{2}+1}$.

Propriété 13 : ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,~2^{n-1}F_{n}=\sum _{0\leq k\leq n/2}{n \choose 2k+1}5^{k}}$.

Cette propriété découle du développement binomial de la formule de Binet[26] ; on a d'ailleurs une formule analogue pour les nombres de Lucas : ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,~2^{n-1}L_{n}=\sum _{0\leq k\leq n/2}{n \choose 2k}5^{k}}$.

Propriété 14 : La suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}$ définie par ${\displaystyle u_{n}=F_{n+1}/F_{n}}$ vérifie${\displaystyle u_{n+1}=1+1/u_{n}{\text{ et }}u_{n}^{2}-u_{n}-1=(-1)^{n}/F_{n}^{2}}$^{[réf. souhaitée]}(d'après la relation de récurrence sur les ${\displaystyle F_{n}}$ et l'identité de Cassini vue en propriété 5).

Propriété 15 : La factorisation des polynômes de Fibonacci permet d'exprimer les ${\displaystyle {F}_{n}}$ (pour n ≥ 1) sous forme de produits trigonométriques[27] :${\displaystyle {F}_{n}=\prod _{1\leq k\leq (n-1)/2}3+2\cos \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)}$.

Une première approche de la question de la divisibilité de ${\displaystyle F_{n}}$ par un entier a consiste à étudier la suite des restes de ${\displaystyle F_{n}}$ modulo a : cette suite (r_n) vérifie (dans Z/aZ) la même récurrence (r_n+2 = r_n+1 + r_n) et est donc périodique de période au plus a² (les longueurs des périodes en fonction de a forment la suite des périodes de Pisano, suite A001175 de l'OEIS) ; on en déduit que pour tout a, il existe n inférieur ou égal à a² tel que ${\displaystyle F_{n}}$ (et donc ${\displaystyle F_{kn}}$) soit divisible par a. Plus précisément, l'étude de cette récurrence dans le corps Z/pZ (où p est un nombre premier) amène à des formules analogues à la formule de Binet, d'où l'on déduit finalement (selon que 5 est ou n'est pas un carré modulo p ; voir la loi de réciprocité quadratique) que ${\displaystyle F_{5n}}$ est divisible par 5, et que si p est premier autre que 5, ${\displaystyle F_{(p-1)n}}$ est divisible par p si p est de la forme 5m + 1 ou 5m + 4, et ${\displaystyle F_{(p+1)n}}$ est divisible par p sinon. Des résultats plus précis peuvent d'ailleurs être obtenus ; ainsi, dans le premier cas, ${\displaystyle F_{(p-1)/2}}$ est divisible par p si (p – 1)/2 est pair[28]. Enfin, si p > 2 est premier et divise ${\displaystyle F_{n}}$, p^k divise ${\displaystyle F_{p^{k-1}n}}$, et 2^k+1 divise ${\displaystyle F_{3.2^{k-1}}}$ (si k>1) ; ces derniers résultats sont des conséquences du lemme de Hensel[29]^,[30] ; les mêmes méthodes permettent d'obtenir des résultats analogues pour les nombres de Lucas[28]^,[31].

On découvre au fil des ans des nombres de Fibonacci premiers de plus en plus grands, mais on ignore toujours s'il en existe une infinité.

Tout entier positif se décompose de manière unique en la somme de nombres de Fibonacci d'indice supérieur ou égal à 2, les indices successifs de ces nombres ayant une différence supérieure ou égale à 2 lorsqu'ils sont rangés dans l'ordre.

Exemple

${\displaystyle 25=21+3+1=F_{8}+F_{4}+F_{2}}$.

• En poésie, un fib est un petit poème, sorte de haïku, dont le nombre de pieds des premiers vers correspond aux premiers nombres de la suite (1, 1, 2, 3, 5, 8).
• La suite de Fibonacci apparaît dans de nombreux problèmes de dénombrement. Par exemple, le terme d'indice n (pour n supérieur ou égal à 2) de la suite de Fibonacci permet de dénombrer le nombre de façons de parcourir un chemin de longueur n-1 en faisant des pas de 1 ou 2. Ce problème est également équivalent au problème de bin packing pour n articles de longueur 1 ou 2, tel qu'on le trouve par exemple dans The Art of Computer Programming de Donald Knuth.
• Les nombres de Fibonacci interviennent dans l'étude de l'exécution de l'algorithme d'Euclide qui détermine le plus grand commun diviseur de deux entiers[13].
• Ils sont l'outil (grâce à la propriété 8 et la factorisation de ${\displaystyle F_{19}}$) d'une démonstration originale du théorème d'Euclide sur les nombres premiers[32].
• Youri Matiiassevitch a montré que les nombres de Fibonacci pouvaient être définis par une équation diophantienne, ce qui a conduit à la résolution du dixième problème de Hilbert. En 1975, Jones en a déduit que, pour des valeurs de x et y entières positives ou nulles, les valeurs positives du polynôme ${\displaystyle 2xy^{4}+x^{2}y^{3}-2x^{3}y^{2}-y^{5}-x^{4}y+2y}$ étaient exactement les nombres de Fibonacci. Ces valeurs positives s'obtiennent d'ailleurs en attribuant pour valeurs à x et y deux nombres de Fibonacci successifs.
• Les nombres de Fibonacci apparaissent dans la formule des diagonales du triangle de Pascal (voir Propriétés, Propriété 12).

Les carrés de Fibonacci en spirale s'ajustent ensemble pour former une spirale d'or.

• Une bonne approximation d'un rectangle d'or peut être construite à l'aide de carrés dont les côtés sont égaux aux nombres de Fibonacci.

Approximation d'une spirale d'or créée en dessinant des arcs de cercle reliant les coins opposés de carrés dans un pavage Fibonacci. Celui-ci utilise des carrés de tailles 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, et 34.

• Une spirale logarithmique peut être approchée de la manière suivante : on commence à l'origine d'un repère cartésien, on se déplace de ${\displaystyle F_{1}}$ unités vers la droite, puis de ${\displaystyle F_{2}}$ unités vers le haut, on se déplace de ${\displaystyle F_{3}}$ unités vers la gauche, ensuite de ${\displaystyle F_{4}}$ unités vers le bas, puis de ${\displaystyle F_{5}}$ unités vers la droite, etc. Cela ressemble à la construction mentionnée dans l'article sur le nombre d'or.
• Les nombres de Fibonacci apparaissent souvent dans la nature lorsque des spirales logarithmiques sont construites à partir d'une unité discrète, telles que dans les tournesols ou dans les pommes de pin. Le nombre de pétales de la marguerite (et d'autres fleurs composées comme le tournesol) appartient à la suite de Fibonacci : souvent 34, 55 ou 89. Cela s'explique par le mécanisme de développement de la plante (voir le paragraphe « Phyllotaxie » de l'article sur le nombre d'or).
• 

  Animation GIF représentant Fibonacci
  La plupart des êtres vivants sexués sont issus de deux parents, de sorte que leurs ancêtres à la n^e génération, supposés distincts, sont au nombre de 2ⁿ. Mais les hyménoptères sont tels que les femelles sont issues de deux parents, et les mâles sont issus d'une mère seulement. Il en résulte que leurs ancêtres à la n-ième génération sont constitués :pour les femelles, de ${\displaystyle F_{n}}$ mâles et ${\displaystyle F_{n+1}}$ femelles,pour les mâles, de ${\displaystyle F_{n-1}}$ mâles et ${\displaystyle F_{n}}$ femelles. Cette forme de reproduction asexuée décrit exactement la reproduction des abeilles. Récemment, une analyse mathématique et historique du contexte de Fibonacci et sa proximité de la ville de Béjaïa, une grande source de cire à l'époque (la version française du nom de cette ville est Bougie), a suggéré que c'était en fait les apiculteurs de Béjaïa et la connaissance de la reproduction des abeilles qui ont vraiment inspiré les nombres de Fibonacci plutôt que la reproduction des lapins[33].

Il existe plusieurs généralisations de la suite de Fibonacci : modifier les valeurs initiales, modifier les coefficients de la relation de récurrence ou modifier le nombre de termes (ou ordre) de la relation de récurrence. Si on modifie tout à la fois (initialisation, récurrence, ordre) on arrive à l'ensemble général des suites à récurrence linéaire. Un bon nombre de propriétés se généralisent au cas où le polynôme minimal de la suite récurrente linéaire définit un nombre de Pisot. Ces propriétés ont été étudiées en lien avec la théorie des automates finis (sur les mots finis et les mots infinis) dans la thèse d'État de Christiane Frougny sur la représentation des entiers et des réels en base Pisot, sur une suggestion de Marcel-Paul Schützenberger.

Centre d'une fleur de tournesol. Le réceptacle forme des spirales régulières, dextres et sénestres, dans lesquelles on peut retrouver la suite de Fibonacci.

La suite de Fibonacci apparaît sous de nombreuses formes biologiques[34], comme la ramification des arbres, la disposition des feuilles sur une tige, les fruits de l'ananas[35], la floraison de l'artichaut, le déroulement des feuilles de fougères, la disposition d'une pomme de pin[36], la coquille de l’escargot et la disposition des nuages lors des ouragans. Quant aux marguerites, elles ont le plus souvent un nombre de pétales issu de la suite de Fibonacci.

Chez les Astéracées, dans les inflorescences en capitule, la disposition des fleurons sur le réceptacle forme des spirales régulières, dextres et sénestres, qui suivent les règles de la phyllotaxie dans lesquelles on peut retrouver la suite de Fibonacci[35].

Les abeilles domestiques ont une reproduction haplodiploïde : un œuf non fécondé donnera un mâle et un œuf fécondé donnera une ouvrière ou une reine. Ainsi, un mâle aura une mère, quand les ouvrières et reine auront une mère et un père. Par conséquent, le pedigree d'un mâle est constitué d'un parent, de deux grands-parents, de trois arrière-grands-parents, de cinq arrière-arrière-grands-parents, etc. ; il s'agit d'une suite de Fibonacci[37].

La suite de Fibonacci peut servir à mémoriser des conversions de milles américains en kilomètres. En effet, ${\displaystyle 1\,mi=1,609\,km}$, or le nombre d'or ${\displaystyle \varphi \approx 1,6}$ et ${\displaystyle F_{n+1}\approx \varphi F_{n}}$donc on peut utiliser la formule approchée : ${\displaystyle F_{n}\,mi\approx F_{n+1}\,km}$, éventuellement multipliée par une constante.

Par exemple, ${\displaystyle 3\,mi\approx 5\,km}$ (en fait 4,8 km), donc ${\displaystyle 6\,mi\approx 10\,km}$, ${\displaystyle 5\,mi\approx 8\,km}$ donc ${\displaystyle 10\,mi\approx 16\,km}$ et ${\displaystyle 50\,mi\approx 80\,km}$, ${\displaystyle 8\,mi\approx 13\,km}$.