Principe de Fermat

Le chemin optique de la lumière pour aller d'un point ${\displaystyle A}$ vers un point ${\displaystyle B}$ dans un milieu homogène, noté ${\displaystyle L(A,B)}$, est défini comme étant un nombre proportionnel au temps mis par le rayon pour aller de ${\displaystyle A}$ à ${\displaystyle B}$, le coefficient de proportionnalité étant tel que ${\displaystyle L(A,B)}$ est égal à la distance ${\displaystyle AB}$ pour un parcours dans le vide. Appelant ${\displaystyle v}$ la célérité de la lumière dans le milieu, et ${\displaystyle c}$ celle dans le vide, on a donc ${\displaystyle L(AB)=\alpha {\tfrac {AB}{v}}}$ et ${\displaystyle \alpha {\tfrac {AB}{c}}=AB}$, d’où ${\displaystyle L(A,B)={\tfrac {c}{v}}AB}$ ; le coefficient de proportionnalité ${\displaystyle n={\tfrac {c}{v}}}$ est appelé l’indice de réfraction du milieu. Le chemin optique est donc défini par :

${\displaystyle L(A,B)=n\cdot AB}$

La lumière se propage « plus difficilement » dans les milieux autres que le vide. Exemple : Un rayon lumineux traverse une couche d'eau de 5 cm d'épaisseur. Parallèlement, un autre rayon lumineux traverse 5 cm d'air. L'eau a pour indice de réfraction ${\displaystyle n=1,33}$ et l'air un indice sensiblement égal à celui du vide ${\displaystyle n=1}$. Dans l'eau, le rayon lumineux aura parcouru une distance ${\displaystyle D=1,33\cdot 5=6,65\mathrm {cm} }$. Dans l'air, le rayon aura parcouru une distance ${\displaystyle D'=1\cdot 5=5\mathrm {cm} }$. Le rayon aura parcouru un chemin optique plus long dans l'eau que dans l'air.

On considère deux points infiniment voisins et distants d'une distance ${\displaystyle \mathrm {d} s}$. Le chemin optique séparant ces deux points est défini par ${\displaystyle \mathrm {d} L=n.\mathrm {d} s}$ ; ${\displaystyle \mathrm {d} L}$ est la différentielle de chemin optique ou encore, l'élément unitaire infinitésimal de chemin optique. Pour trouver le chemin optique ${\displaystyle L(AB)}$ séparant deux points ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sur cette courbe, il suffit de faire la somme intégrale de tous les éléments ${\displaystyle \mathrm {d} L}$ sur la coordonnée curviligne ${\displaystyle s}$ délimitée par les points ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ :

${\displaystyle L(AB)=\int _{AB}n\,\mathrm {d} s}$

Le principe de Fermat s’énonce alors :

Entre deux points ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$, atteints par la lumière, le chemin optique suivi le long du trajet est stationnaire.

Le trajet suivi par la lumière pour aller d'un point à un autre ne dépend pas du sens de propagation de la lumière.

La stationnarité du chemin optique permet de procéder à quelques considérations. Entre deux points A et B, tous deux sur la trajectoire curviligne d'un rayon lumineux se propageant dans un milieu inhomogène, on peut exprimer l'intégrale de chemin optique comme il suit :

${\displaystyle L(AB)=\int _{AB}n\,\mathrm {d} s=\int _{BA}n\,(-\mathrm {d} s)=\int _{BA}n\,\mathrm {d} s'}$

En considérant que ${\displaystyle \mathrm {d} s'=-\mathrm {d} s}$ est l'élément de coordonnée curviligne de B vers A, on peut alors écrire ${\displaystyle L(AB)=L(BA)}$. Dans le cas de l'étude d'un système optique, cela signifie que l'on pourra étudier la propagation de la lumière et le trajet des rayons lumineux sans se soucier du sens de propagation.

Attention : en pratique, l'utilisation irréfléchie de ce principe aboutit à des absurdités. On sait par exemple qu'un objectif ne donne jamais une image ponctuelle d'un point lumineux, mais une tache toujours plus ou moins floue. Il serait enfantin de penser que les rayons formant cette tache, renvoyés dans l'objectif par un miroir plan, pourraient reformer de l'autre côté un point-image net... Ce n'est pas le principe qui est en cause ici, mais le fait de vouloir l'appliquer de façon fautive.

Un plan ${\displaystyle P}$ de vecteur normal ${\displaystyle {\vec {n}}}$ sépare deux milieux d’indices de réfractions ${\displaystyle n_{1}}$ et ${\displaystyle n_{2}}$. Un rayon lumineux part d'un point ${\displaystyle A_{1}}$ situé dans le premier milieu, traverse ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle M}$ et atteint un point ${\displaystyle A_{2}}$. Le problème est de trouver la position de ${\displaystyle M}$ à partir du principe de Fermat.

Le chemin optique de ${\displaystyle A_{1}}$ à ${\displaystyle A_{2}}$ est ${\displaystyle L=n_{1}A_{1}M+n_{2}A_{2}M}$ donc :

${\displaystyle \mathrm {d} L=n_{1}{{\overrightarrow {A_{1}M}} \over A_{1}M}\mathrm {d} {\overrightarrow {M}}+n_{2}{{\overrightarrow {A_{2}M}} \over A_{2}M}\mathrm {d} {\overrightarrow {M}}=\left(n_{1}{{\overrightarrow {A_{1}M}} \over A_{1}M}+n_{2}{{\overrightarrow {A_{2}M}} \over A_{2}M}\right)\mathrm {d} {\overrightarrow {M}}}$

La condition de stationnarité de ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle \mathrm {d} L=0}$, se traduit donc par le fait que ${\displaystyle n_{1}{\tfrac {\overrightarrow {A_{1}M}}{A_{1}M}}+n_{2}{\tfrac {\overrightarrow {A_{2}M}}{A_{2}M}}}$ est orthogonal au plan ${\displaystyle P}$, soit colinéaire à ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ; le rayon lumineux est donc inclus dans le plan passant par ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle A_{2}}$ et orthogonal à ${\displaystyle P}$ (première loi de Descartes) et ${\displaystyle \left(n_{1}{\tfrac {\overrightarrow {A_{1}M}}{A_{1}M}}+n_{2}{\tfrac {\overrightarrow {A_{2}M}}{A_{2}M}}\right)\wedge {\vec {n}}={\vec {0}}}$ donne : ${\displaystyle n_{1}\sin i_{1}=n_{2}\sin i_{2}}$ (deuxième loi de Descartes).

Cette démonstration est due essentiellement à Maupertuis en 1744, près d’un siècle après l’énoncé par Fermat de son principe.

Une illustration en est donnée par le problème dit « du maître-nageur ». Celui-ci, situé sur la plage en ${\displaystyle A_{1}}$ doit aller secourir un noyé situé en ${\displaystyle A_{2}}$. Comme il court plus vite qu'il ne nage, son trajet optimal (en temps) est celui qui suit les lois de la réfraction, que nous venons de déterminer.

On démontre que si la surface de séparation des deux milieux est une surface quelconque, les deux lois de Descartes sont conservées (mais il peut y avoir plusieurs chemins possibles).

Si la lumière se déplace dans un plan ${\displaystyle Oxy}$, on peut paramétrer sa trajectoire par son abscisse x (à l'exception de la droite x = constante). La trajectoire devient une fonction y(x) et le chemin optique s'écrit

${\displaystyle L(AB)=\int _{AB}n\;\mathrm {d} s=\int _{x_{A}}^{x_{B}}n(x,y(x)){\sqrt {1+y'(x)^{2}}}\;\mathrm {d} x}$.

L’équation d'Euler-Lagrange exprimant la stationnarité de la trajectoire pour cette intégrale donne

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {ny'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)={\sqrt {1+y'^{2}}}\;{\frac {\partial n}{\partial y}}}$

Nous allons résoudre le cas particulier où n ne dépend que de x : on obtient alors ${\displaystyle {\tfrac {ny'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=cte}$ ; or si l'on désigne par ${\displaystyle i}$ l’angle que fait la tangente à la courbe avec ${\displaystyle Ox}$, cette condition s’écrit :

${\displaystyle n\cdot \sin i={\rm {cte}}}$

Ceci constitue en quelque sorte une version infinitésimale de la seconde loi de Descartes, laquelle est en fait une traduction locale du principe de Fermat.

L’équation différentielle de la trajectoire est donc : ${\displaystyle y'={\tfrac {k}{\sqrt {n^{2}-k^{2}}}}}$.

Traversée d'un rayon lumineux dans une bande où l'indice de réfraction est inversement proportionnel à la distance au centre de la bande : la trajectoire est un arc de cercle, comme démontré ci-contre.

On retrouve évidemment que pour ${\displaystyle n}$ constant, les trajectoires sont des droites ; mais si on prend ${\displaystyle n=\left({\tfrac {a}{x}}\right)^{1/\alpha }}$, la courbe se paramétrise simplement en

${\displaystyle {\begin{cases}x={a \over k^{\alpha }}(\sin t)^{\alpha }\\y={a\alpha \over k^{\alpha }}\int (\sin t)^{\alpha }\;\mathrm {d} t\end{cases}}}$.

C'est une courbe de Ribaucour[6].

Par exemple pour ${\displaystyle \alpha =1}$ (l'indice de réfraction est inversement proportionnel à l'abscisse) on obtient

${\displaystyle {\begin{cases}x={a \over k}\sin t\\y={a \over k}\cos t+b\end{cases}}}$,

autrement dit les trajectoires sont des cercles.

Pour ${\displaystyle \alpha =2}$ (l'indice de réfraction est inversement proportionnel à la racine carrée de l'abscisse) on obtient

${\displaystyle {\begin{cases}x={a \over 2k}(1-\cos 2t)\\y={a \over 2k}(2t-\sin 2t)+b\end{cases}}}$ :

la courbe est une cycloïde. Ce cas est historiquement intéressant : c'est par cette méthode que Jean Bernoulli a prouvé que la courbe brachistochrone (minimisant le temps de parcours d'un point matériel) est la cycloïde, en montrant que le problème de mécanique et celui d'optique sont en fait équivalents.

On considère maintenant un milieu hétérogène continu à 3 dimensions. On montre que les lois de Descartes généralisées, issues du principe de Fermat, s'énoncent sous la forme suivante :

1. Le plan osculateur à la trajectoire en un point ${\displaystyle M}$ contient la normale à la surface d'indice de réfraction constant passant par ${\displaystyle M}$.
2. Si on désigne par ${\displaystyle i}$ l’angle que fait la tangente à la courbe avec cette normale, on a la relation :

${\displaystyle \|{\overrightarrow {\operatorname {grad} }}(n)\|\sin i={\tfrac {n}{R}}}$

où ${\displaystyle R}$ est le rayon de courbure de la courbe.

• José-Philippe Pérez & Eric Anterrieu, Optique : fondements et applications, Dunod, 2004.
• Ouvrage de mécanique générale des Séries Schaum
• Born & Wolf, Principles of optics
• Georges Bruhat, Optique
• Jean Bass, Exercices de mathématiques, Masson, 1965, p. 381-385

• Réfraction
• Principe de moindre action

• Le chapitre du Wikilivre de photographie sur la propagation de la lumière et plus spécialement sur le principe de Fermat.
• Jean Gounon, Principe de Fermat : Applications à la réflexion et à la réfraction (fichier PDF)
• Une démonstration géométrique due à Huygens du principe de Fermat appliqué à la réfraction.
• Cours d'optique : le principe de Fermat (Femto-Physique)

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