Racine d'un polynôme

On considère un polynôme P(X) à une indéterminée notée ici X, à coefficients dans un corps ou plus généralement un anneau commutatif A (les coefficients pouvant donc appartenir à un sous-anneau).

Définition alternative

Définition équivalente[1] — Une racine dans A du polynôme P est un élément α de A tel que P(X) soit divisible par X – α (dans A[X]).

En effet, si P(X) = (X – α)Q(X) alors P(α) = 0 et réciproquement, si P(α) = 0 alors P(X) est égal à P(X) – P(α), combinaison linéaire de polynômes de la forme X^k – α^k, tous divisibles par X – α.

Dans l'exemple choisi, l'égalité :

${\displaystyle X^{2}-2=\left(X-{\sqrt {2}}\right)\left(X-\left(-{\sqrt {2}}\right)\right)}$

est une autre manière de remarquer que √2 et –√2 sont bien les deux racines du polynôme.

Toute équation polynomiale réelle de degré impair admet au moins une solution réelle.

C'est une application du théorème des valeurs intermédiaires.

Soient K un corps commutatif et P un polynôme à une indéterminée et à coefficients dans K.

Une extension de K est un corps contenant K ; ainsi, ℝ et ℂ sont des extensions de ℚ.

Une question naturelle se pose, si L₁ et L₂ sont deux extensions de K sur lesquelles P est scindé, les racines, vues comme éléments de L₁, sont-elles « équivalentes » aux racines vues comme éléments de L₂ ? Cette équivalence existe : il existe dans L₁ une « plus petite » sous-extension, appelée corps de décomposition de P, contenant toutes les racines de P, et de même dans L₂, et ces deux sous-extensions de K sont identiques. Dans l'exemple K = ℚ, P = X² – 2, ce corps de décomposition est l'ensemble des nombres de la forme a + b√2, où a et b sont des nombres rationnels. Cet ensemble s'identifie (par un isomorphisme non unique) à un unique sous-corps de ℝ et du corps ℚ des nombres algébriques. Ainsi, la paire de racines {√2, –√2} incluse dans ℝ peut être considérée comme identique à celle incluse dans ℚ.

Le corps L est tel que le polynôme P est scindé ; en revanche, un autre polynôme à coefficients dans K n'est pas nécessairement scindé sur L. A fortiori, un polynôme à coefficients dans L n'est pas non plus nécessairement scindé sur L. On dit qu'un corps L est algébriquement clos si tout polynôme à coefficients dans L est scindé sur L.

Le corps ℂ est algébriquement clos, résultat connu sous le nom de théorème de d'Alembert-Gauss. La clôture algébrique de ℝ est ℂ. Celle de ℚ est le sous-corps ℚ.

En particulier :

• une racine de P est multiple si et seulement si elle est aussi racine de P' ;
• si A est un corps de caractéristique 0 alors, pour que α soit une racine d'ordre r de P, il faut et il suffit que P(α), P'(α), P''(α), …, P^(r–1)(α) soient nuls et P^(r)(α) soit non nul.

Sur un corps de caractéristique p > 0, ce dernier critère n'est pas valide car le polynôme dérivé de X^p est nul.

On peut utiliser la méthode de Muller pour calculer les racines d'un polynôme. On interpole le polynôme P par un polynôme de degré deux : ${\displaystyle a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}}$ selon l'interpolation lagrangienne. On retrouve les coefficients en évaluant P en trois points (${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2}}$) :

• ${\displaystyle a_{2}={\frac {P[x_{0},x_{1}]-P[x_{1},x_{2}]}{x_{0}-x_{2}}}=P[x_{0},x_{1},x_{2}]}$
• ${\displaystyle b_{2}=P[x_{1},x_{2}]-a_{2}\times (x_{1}+x_{2})}$
• ${\displaystyle c_{2}=P(x_{2})-a_{2}\times x_{2}^{2}-b_{2}\times x_{2}}$

avec : ${\displaystyle f[u,v]={\frac {f(u)-f(v)}{u-v}}.}$

Mais en utilisant ce polynôme d’approximation, le choix de la racine de ce polynôme est problématique. Müller eut alors l’idée d’utiliser le même polynôme, mais sous la forme : ${\displaystyle a_{n}(x-x_{n})^{2}+b_{n}(x-x_{n})+c_{n}}$ avec ${\displaystyle x_{n}}$ qui va tendre vers la racine. Particularité de cet algorithme : ${\displaystyle x_{n}}$ peut être un nombre complexe. Coefficients :

• ${\displaystyle a_{n}=P[x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]}$
• ${\displaystyle b_{n}=P[x_{n-1},x_{n}]-a_{n}\times (x_{n-1}-x_{n})}$
• ${\displaystyle c_{n}=P(x_{n})}$

Cette méthode est autoconvergente : le calcul de la racine va s'affiner petit à petit. On peut donc commencer avec ${\displaystyle x_{0}=-1}$, ${\displaystyle x_{1}=0}$ et ${\displaystyle x_{2}=1}$ et ${\displaystyle n=2}$. Tant que le polynôme ne s'annule pas en ${\displaystyle x_{n}}$, on passe à l'itération ${\displaystyle n+1}$ suivante avec :

• ${\displaystyle r={\sqrt {b_{n}^{2}-4a_{n}c_{n}}}}$, où ${\displaystyle b_{n}^{2}-4a_{n}c_{n}}$ peut être négatif ou complexe.
  • ${\displaystyle d={\frac {-2c_{n}}{b_{n}-r}}}$ si ${\displaystyle |b_{n}+r|<|b_{n}-r|}$
  • ${\displaystyle d={\frac {-2c_{n}}{b_{n}+r}}}$ sinon
• ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+d.}$

Finalement, le zéro est ${\displaystyle x_{n}.}$