Sphère

Pendant longtemps, le langage courant a employé le mot « sphère » autant pour nommer la surface que le solide qu'elle délimite[1]. De nos jours, la sphère désigne exclusivement la surface et le solide, quant à lui, porte le nom de boule.

D'autres termes méritent d’être définis :

• Deux points antipodaux sont deux points diamétralement opposés sur la sphère. C'est le cas des pôles sur la sphère terrestre;
• Un grand cercle est un cercle dessiné sur la sphère et ayant même rayon que la sphère. Un grand cercle passe toujours par deux points antipodaux. Les méridiens de la sphère terrestre sont des grands cercles. Les parallèles sont également des cercles dessinés sur la sphère mais leurs rayons sont en général plus petits que celui de la sphère et ce ne sont alors pas des grands cercles;
• un fuseau sphérique est une figure dessinée sur la sphère par deux demi-grands cercles de mêmes extrémités;
• un onglet sphérique est un solide découpé dans une boule par un dièdre, comme un quartier d'orange.
• un triangle sphérique est une figure dessinée sur la sphère formée de trois points reliés par des arcs de demi-grands cercles;
• un polygone sphérique est une figure dessinée sur une sphère, formée par plusieurs points reliés par des arcs de grands cercles;
• une zone sphérique est la portion de sphère comprise entre deux plans parallèles;
• une calotte sphérique est une zone sphérique dans laquelle un des plans est tangent à la sphère;
• un segment sphérique est le solide délimité par deux plans parallèles et la zone sphérique qu'ils déterminent;
• un secteur sphérique est le solide délimité par une calotte sphérique et le cône circulaire engendré par les demi-droites d'origine le centre du cercle et s'appuyant sur la calotte sphérique.

En géométrie cartésienne, l'espace étant muni d'un repère orthonormé ${\displaystyle ({\overrightarrow {Ox}},{\overrightarrow {Oy}},{\overrightarrow {Oz}})}$, une sphère de centre ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ et de rayon ${\displaystyle r}$ est l'ensemble des points ${\displaystyle (x,y,z)}$ tels que[Note 1] :

${\displaystyle \displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}}$.

Les points de la sphère de rayon r et de centre O peuvent être paramétrés par :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&=&r\cos \theta \;\cos \phi \\y&=&r\cos \theta \;\sin \phi \\z&=&r\sin \theta \end{matrix}}\right.\qquad \left({\frac {-\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}{\mbox{ et }}-\pi \leq \phi \leq \pi \right)}$

On peut voir ${\displaystyle \displaystyle \theta }$ comme la latitude et ${\displaystyle \displaystyle \phi }$ comme la longitude. (Voir fonctions trigonométriques et coordonnées sphériques.)

L'aire d'une sphère de rayon ${\displaystyle r}$ est :

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$.

Le volume de la boule qu'elle renferme est :

${\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}$.

Sa « compacité », c'est-à-dire son rapport aire-volume, est donc :

${\displaystyle C={\frac {A}{V}}={\frac {3}{r}}}$.

Le moment d'inertie d'une boule homogène de rayon ${\displaystyle r}$, de masse volumique ${\displaystyle \rho }$ et de masse M, par rapport à un axe passant par son centre est :

${\displaystyle I={\frac {2Mr^{2}}{5}}={\frac {8\pi \rho r^{5}}{15}}}$.

Le moment d'inertie d'une sphère homogène de rayon ${\displaystyle r}$ et de masse M, par rapport à un axe passant par son centre est :

${\displaystyle I={\frac {2Mr^{2}}{3}}={\frac {8\pi \rho r^{5}}{9}}}$.

L'élément d'aire de la sphère de rayon ${\displaystyle r}$ dans les coordonnées latitude-longitude (${\displaystyle \lambda }$-${\displaystyle \varphi }$) est ${\displaystyle \mathrm {d} \sigma =r^{2}\cos \lambda \,\mathrm {d} \lambda \,d\varphi }$. On en déduit que l'aire d'un fuseau (portion limitée par deux demi-cercles joignant les pôles et faisant un angle ${\displaystyle \alpha }$ exprimé en radians) est ${\displaystyle 2\alpha \,r^{2}}$.

Cela permet aussi de calculer l'aire d'une zone sphérique, c’est-à-dire d'une portion de sphère limitée par deux plans parallèles qui intersectent la sphère (ou lui sont tangents). On trouve ${\displaystyle 2\pi rh}$ où ${\displaystyle h}$ désigne la distance des deux plans : l'aire est la même que celle d'un cylindre circulaire de même hauteur tangent à la sphère (cylindre circonscrit). Ce résultat remarquable est démontré par Archimède dans son traité De la sphère et du cylindre[2]. Selon Cicéron, Archimède aurait demandé que soient gravés sur son tombeau, en mémoire de ce résultat, une sphère et son cylindre circonscrit[3].

Le cylindre circonscrit à une sphère donnée a un volume égal à 1,5 fois le volume de la sphère.

La sphère a la plus petite aire parmi les surfaces renfermant un volume donné et renferme le volume le plus élevé parmi les surfaces d'une aire donnée. Elle est la réponse à la question d'isopérimétrie pour l'espace euclidien de dimension 3. Pour cette raison, la sphère apparaît dans la nature, par exemple les bulles et gouttes d'eau (en l'absence de gravité) sont des sphères car la tension superficielle essaie de minimiser l'aire.

Par quatre points non coplanaires A, B, C et D (ABCD est un tétraèdre non aplati), il passe une seule et unique sphère, appelée sa sphère circonscrite.

Les six plans médiateurs des arêtes du tétraèdre se coupent au centre de la sphère.

On peut démontrer que la sphère est une surface non développable. Il n'existe pas de patron de la sphère. Néanmoins il est possible, en pratique, d'obtenir des surfaces développables approchant la sphère très fidèlement, c'est le cas de tous les ballons cousus. Voir : ballon de football (icosaèdre tronqué), ballon de volley-ball, et ballon fantaisie (en fuseaux de pôle à pôle.)

Notez que la pression interne gauchit les surfaces et fidélise l'approche… Plus on gonfle plus la sphère s'approche de la perfection.

• (en) David Hilbert et Stephan Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination [détail des éditions]
• Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions] Nathan, 1990, chap. 18

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• Géométrie sphérique
• Orthodromie
• Pavage de la sphère

• A. Javary, Traité de géométrie descriptive, Cônes et cylindres, sphère et surfaces du second degré, 1881 (sur Gallica)
• Matthieu Aubry, Le chemin le plus court sur la sphère
• Xavier Hubaut, Mathématique du secondaire – Cône et sphère
• Xavier Hubaut, Voyager sur une sphère

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