Squelette (théorie des catégories)

Un squelette d'une catégorie C est une catégorie équivalente D, dans laquelle il n'y a pas d'objets distincts isomorphes. Elle est généralement considérée comme une sous-catégorie. Explicitement, un squelette de C est une catégorie D telle que :

• D est une sous-catégorie de C : chaque objet de D est un objet de C

${\displaystyle \mathrm {Ob} (D)\subseteq \mathrm {Ob} (C),}$

pour chaque paire d'objets d₁ et d₂ de D, les morphismes de D sont des morphismes dans C, c'est-à-dire

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D}(d_{1},d_{2})\subseteq \mathrm {Hom} _{C}(d_{1},d_{2})}$

et les identités et les compositions D sont les restrictions de celles dans C.

• L'inclusion de D dans C est pleine, ce qui signifie que pour chaque paire d'objets de d₁ et d₂ de D, l'inclusion de sous-ensembles ci-dessus est renforcée à une égalité :

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D}(d_{1},d_{2})=\mathrm {Hom} _{C}(d_{1},d_{2}).}$

• L'inclusion de D dans C est essentiellement surjective : chaque objet de C est isomorphe à un objet de D.
• D est squelettique : il n'y a pas d'objets distincts isomorphes dans D.

Toute petite catégorie a un squelette. Plus généralement, toute catégorie accessible (en) a un squelette (ceci est équivalent à l'axiome du choix). De plus, bien qu'une catégorie puisse avoir de nombreux squelettes, deux catégories squelettiques équivalentes sont isomorphes, si bien qu'à isomorphisme de catégories près, il n'y a qu'un squelette par classe d'équivalence de catégories.

• La catégorie Ens des ensembles a comme squelette la sous-catégorie des nombres cardinaux (les ordinaux initiaux).
• La catégorie des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps k a comme squelette la sous-catégorie constituée de toutes les puissances kⁿ, où n est tout nombre entier positif ; les morphismes k^m → kⁿ sont exactement les matrices de taille n×m à coefficients dans k.
• FinSet (en), la catégorie de tous les ensembles finis, a comme squelette FinOrd, la petite catégorie ω des ordinaux finis.
• La catégorie des ensembles bien ordonnés a comme un squelette la sous-catégorie des ordinaux.
• Un préordre — vu comme une petite catégorie dans laquelle chaque ensemble ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$ est un singleton ou vide — a comme squelette un ordre.

• (en) Jiří Adámek, Horst Herrlich et George E. Strecker, Abstract and Concrete Categories, John Wiley & Sons, 1990 (ISBN 0-471-60922-6), disponible en ligne sur archive.org
• (en) Robert Goldblatt, Topoi, the Categorial Analysis of Logic, Dover, coll. « Studies in Logic and the Foundations of Mathematics » (n^o 98), 2006 (1^re éd. 1984, North-Holland)

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