Test de Student

On veut comparer la moyenne μ d'une population de loi normale et d’écart type σ non connu à une valeur déterminée μ₀. Pour ce faire, on tire de cette population un échantillon de taille n dont on calcule la moyenne empirique ${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ et l'on remplace sa variance σ² par son estimateur sans biais

${\displaystyle S_{n}^{\ast ^{2}}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2}}$.

Selon l’hypothèse nulle, la distribution d’échantillonnage de cette moyenne se distribue elle aussi normalement avec un écart type σ/√n.

La statistique de test :

${\displaystyle Z={\sqrt {n}}{\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{S_{n}^{\ast }}}}$

suit alors une loi de Student à n – 1 degrés de liberté sous l'hypothèse nulle (c'est le théorème de Cochran).

On choisit un risque α, généralement 0,05 ou 0,01^{[réf. nécessaire]} et l'on calcule la réalisation de la statistique de test :

${\displaystyle z={\sqrt {n}}{\frac {{\overline {x}}_{n}-\mu _{0}}{s_{n}^{\ast }}},}$ où ${\displaystyle s_{n}^{\ast }={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}}_{n})^{2}}}}$

• Si l'on veut tester H₀ : μ = μ₀ :

Si |z| est supérieur au quantile d'ordre 1 – α/2 de la loi de Student à n – 1 degrés de liberté alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Si l'on veut tester H₀ : μ ≤ μ₀ :

Si z est supérieur au quantile d'ordre 1 – α de la loi de Student à n – 1 degrés de liberté alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Si l'on veut tester H₀ : μ ≥ μ₀ :

Si z est inférieur au quantile d'ordre α de la loi de Student à n – 1 degrés de liberté alors on rejette l'hypothèse nulle.

Remarque : si l'on note t_{k, α} le quantile d'ordre α de la loi de Student à k degrés de liberté alors on a l'égalité t_{k, α} = – t_{k, 1 – α}.