Théorie des ensembles

L'axiome du choix est apparu explicitement dans une publication de Ernst Zermelo de 1904, c'est-à-dire avant la parution de son axiomatisation de la théorie des ensembles. L'axiome du choix est en effet d'une nature différente des autres axiomes de la théorie des ensembles énoncés ultérieurement, et qui résultent pour la plupart d'une analyse soignée de la compréhension non restreinte. En effet l'axiome du choix ne donne pas de définition explicite de l'ensemble construit (ensemble de choix ou fonction de choix suivant les versions). D'autre part, dans son article de 1904, Zermelo démontre avec l'axiome du choix son fameux théorème qui énonce que tout ensemble peut être bien ordonné, proposition qui n'a rien d'intuitivement évident, ne serait-ce que pour l'ensemble des réels. L'axiome du choix était utilisé tacitement au moins par Georg Cantor, mais la publication de Zermelo déclenche des débats passionnés chez les mathématiciens de l'époque[3].

L'axiome du choix est par ailleurs très lié à l'infini mathématique, en effet l'axiome du choix est intuitivement vrai pour un nombre fini de choix, et d'ailleurs tout à fait démontrable dans ce cas à partir des autres axiomes de la théorie des ensembles. Or nous sommes autour de 1904 en plein dans la controverse déclenchée par la découverte des paradoxes[4]. Diverses conceptions de l'infini mathématique s'affrontent alors. Cela ira jusqu'à la remise en cause radicale des fondements des mathématiques par Luitzen Egbertus Jan Brouwer, fondateur de l'intuitionnisme, qui écarte le principe du tiers exclu, qui se situe bien en amont de l'axiome du choix. Cependant à l'époque, certains mathématiciens qui ne vont pas aussi loin et acceptent certaines formes de raisonnement non constructif, se méfient de l'axiome du choix. Émile Borel écrit encore en 1950[5] : « C'est déjà un résultat important obtenu par les adversaires de l'axiome de Zermelo que tous ceux qui admettent cet axiome prennent le soin, lorsqu'ils obtiennent un théorème nouveau, de spécifier si la démonstration de ce théorème exige ou non l'utilisation de l'axiome de Zermelo. Cet axiome a ainsi créé une branche séparée des mathématiques ; l'importance et l'intérêt de cette branche décideront de son sort. » On peut quand même dire qu'aujourd'hui, vu justement son utilisation dans des branches importantes des mathématiques, l'axiome du choix est largement accepté.

Ceci d'autant plus que l'on sait d'après les travaux de Gödel[6] que d'admettre l'axiome du choix n'est pas plus « risqué », au sens où il montre que si la théorie ZFC était incohérente la théorie ZF le serait aussi (voir ci-dessous la section sur les résultats d'indépendance en théorie des ensembles).

On a identifié par ailleurs des restrictions de l'axiome du choix, comme l'axiome du choix dénombrable (qui permet par exemple de montrer qu'une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable), lui-même conséquence de l'axiome du choix dépendant (qui permet par exemple de montrer l'existence d'une suite infinie décroissante pour une relation non bien fondée). Ainsi Robert Solovay a publié en 1970 la cohérence de la théorie ZF + axiome du choix dépendant + tout sous-ensemble des réels est Lebesgue-mesurable, théorie contredisant donc l'axiome du choix dans toute sa généralité, relativement à la théorie ZF + il existe un cardinal inaccessible (un renforcement de la théorie ZF qui permet de montrer la cohérence de ZF)[7]. Cependant, l'axiome du choix dénombrable est insuffisant en géométrie algébrique, car le traitement des corps algébriquement clos requiert le lemme de Zorn équivalent à l'axiome du choix ; donc le théorème selon lequel tout corps peut être plongé dans un corps algébriquement clos est fondé sur l'axiome du choix général[8].

Un des meilleurs exemples des étrangetés auquel conduit l'axiome du choix est certainement le paradoxe de Banach-Tarski, publié en 1924[9] qui, en utilisant l'axiome du choix, affirme qu'on peut découper une sphère en un nombre fini de morceaux, les déplacer par une suite de mouvement rigides (translation et rotation), en permettant à certaines pièces d'en traverser d'autres et de les rassembler en formant deux copies de la sphère d'origine. Ceci semble contredire l'intuition physique que nous avons de la notion de volume, mais le paradoxe de Banach-Tarski fait intervenir des parties non mesurables.

Les systèmes axiomatiques pour la théorie des ensembles, ZF, Théorie des classes, Théorie des types sont équivalents au moins au sens où ils permettent tous de représenter l'essentiel des mathématiques. Parmi eux ZF est le plus courant et c'est pourquoi on en fait une description informelle ici.

La théorie qui se fonde sur les axiomes originaux de Zermelo est appelée théorie de Zermelo ou théorie Z. Si on la complète par l'axiome de remplacement de Fraenkel, on obtient la théorie de Zermelo-Fraenkel, ou plus simplement la théorie ZF, bien que la forme finale des axiomes soit due à Skolem. Lorsqu'on lui adjoint l'axiome du choix on obtient alors la théorie ZFC (« C » pour « choix »).

Un aspect important de la théorie ZF est que tous les objets dont elle traite sont des ensembles et ne peuvent être que des ensembles. En particulier, chaque élément d'un ensemble est lui-même un ensemble. D'autres objets mathématiques familiers, tels que les nombres, doivent donc être définis en termes d'ensembles.

Strictement parlant, les axiomes de ZF sont simplement des énoncés du calcul des prédicats du premier ordre égalitaire dans un langage ayant un seul symbole primitif pour l'appartenance (relation binaire). Ce qui suit doit donc seulement être perçu comme une tentative d'exprimer en français la signification attendue de ces axiomes. De plus, l'axiome de séparation (ou compréhension) et l'axiome de remplacement sont en fait des schémas infinis d'axiomes.

1. Schéma d'axiomes de compréhension ou de séparation :

   Pour tout ensemble A et toute propriété P exprimée dans le langage, il existe un ensemble dont les éléments sont les éléments de A vérifiant P.

   Le schéma de compréhension est conséquence du schéma de remplacement.

2. Axiome d'extensionnalité :

   Si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont égaux.

   La théorie des ensembles suppose au préalable que dans l'espace (informel) des « objets + ensembles » susceptibles d'apparaître dans des prédicats, on peut attribuer une valeur de vérité au fait qu'un « objet » donné appartient à un « ensemble » donné, donc qu'il existe informellement une relation d'appartenance définie sur ces objets informels.

   Cette capacité étant admise, l'égalité de deux ensembles se démontre par l'identité de leur contenu, ce que traduit l'axiome.

3. Axiome de l'ensemble vide :

   Il existe un ensemble sans élément.

   • On le note ${\displaystyle \varnothing }$ (ou plus rarement ${\displaystyle \{\}}$).

   Cet axiome ne fait pas à proprement parler partie de l'axiomatisation de ZF, du moins dans sa version actuelle, formalisée en calcul des prédicats du premier ordre. On peut le déduire d'une propriété générique du calcul des prédicats, qui est qu'un modèle d'une théorie est non vide.

   Dans le cas de la théorie des ensembles, cela revient à dire qu'il existe au moins un « ensemble premier » sans élément défini, et cette propriété ne nécessite pas d'axiome spécifique : elle se démontre en logique pure. On en déduit par le schéma d'axiomes de compréhension l'existence de l'ensemble vide. On trouve cependant cet axiome dans des variantes de la théorie des ensembles, ou dans des présentations plus anciennes ou semi-formelles de la théorie ZF comme celle de Paul Halmos[10].

4. Axiome de la paire :

   Si ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ sont deux ensembles, alors il existe un ensemble contenant ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ et eux seuls comme éléments.

   • Cet ensemble se note ${\displaystyle \{x,y\}}$.

   À noter que ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ ne sont pas nécessairement distincts. Autrement dit, si ${\displaystyle x}$ est un ensemble, alors ${\displaystyle \{x\}}$ est également un ensemble, et il est différent. L'application récursive de cette propriété unaire sur l'ensemble vide (noté dans ce cas ${\displaystyle \{\}=0}$) permet de définir une suite d'ensemble, homologue à la suite des entiers naturels (le rang étant dans ce cas la profondeur des parenthèses autour de « rien »).

   Cet axiome est conséquence du schéma de remplacement mais pas du schéma de compréhension, aussi on peut l'omettre dans la théorie ZF mais il est indispensable dans la théorie Z.

5. Axiome de la réunion :

   Pour tout ensemble ${\displaystyle X}$, il existe un ensemble ${\displaystyle R}$ dont les éléments sont précisément les éléments des éléments de ${\displaystyle X}$, et eux seuls.

   Le contexte est ici celui d'une théorie où tous les objets sont des ensembles, on considère ici que les éléments de l'objet ${\displaystyle X}$ sont également des ensembles, dont on peut prendre la réunion.

   L'axiome signifie simplement que les éléments d'une réunion d'ensembles sont les éléments de l'un des ensembles concernés, mais il est formellement nécessaire pour pouvoir transformer un « ensemble d'ensembles d'éléments » en un simple « ensemble d'éléments ». Même si ça paraît évident, c'est formellement nécessaire.

6. Axiome de l'ensemble des parties :

   Pour tout ensemble ${\displaystyle E}$, il existe un ensemble dont les éléments sont précisément tous les sous-ensembles de ${\displaystyle E}$.

   • Cet ensemble se note habituellement ${\displaystyle P(E)}$.

   Cet axiome (trivial dans le cas d'ensembles finis) est essentiel dans le cas d'ensembles infini, c'est lui qui va permettre de distinguer les différentes « classes d'infini » dans les constructions en Aleph.

7. Axiome de l'infini :

   Il existe un ensemble ${\displaystyle W}$ dont ${\displaystyle \varnothing }$ est élément et tel que pour tout ${\displaystyle x}$ appartenant à ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle x\cup \{x\}}$ appartient aussi à ${\displaystyle W}$.

   L'axiome se traduit classiquement par le raisonnement par récurrence, « si P(0) et P(n)⇒P(n+1) alors ∀n, P(n) » — Couplé avec l'axiome de la paire définissant implicitement les entiers naturels. On peut ensuite définir par compréhension l'intersection de tous les ensembles contenant ${\displaystyle \varnothing }$ et clos par cette opération : il s'agit de l'ensemble des nombres entiers tels que définis par von Neumann.

8. Schéma d'axiomes de remplacement :

   Pour tout ensemble ${\displaystyle A}$ et toute relation fonctionnelle ${\displaystyle P}$, formellement définie comme une proposition ${\displaystyle P(x,y)}$ et telle que ${\displaystyle P(x,y)}$ et ${\displaystyle P(x,z)}$ impliquent que ${\displaystyle y=z}$, il existe un ensemble contenant précisément les images par ${\displaystyle P}$ des éléments de l'ensemble d'origine ${\displaystyle A}$.

   Informellement, le schéma de remplacement énonce que, un ensemble étant donné, les images de ses éléments par une « relation fonctionnelle » forment un ensemble. La difficulté de l'énoncé vient de ce que ${\displaystyle P}$ ne peut pas être appréhendé comme une fonction (elle n'a pas d'ensemble de définition), mais se présente comme une proposition applicable à des paires d'ensembles ; il faut donc expliciter qu'à tout ensemble ${\displaystyle x}$ ne correspond qu'une image au plus.

9. Axiome de fondation :

   Tout ensemble ${\displaystyle X}$ non vide contient un élément ${\displaystyle y}$ tel que ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle y}$ sont des ensembles disjoints (qui n'ont aucun élément en commun), ce qui se note ${\displaystyle X\cap y=\varnothing }$.

   Cet axiome n'est pas toujours ajouté à Z ou ZF. On peut construire assez facilement comme sous-classe d'un modèle quelconque de ZF, un modèle de ZF vérifiant l'axiome de fondation. Les ensembles utiles au développement des mathématiques usuelles appartiennent à cette sous-classe, et donc cela a peu d'importance d'ajouter celui-ci ou non à la théorie pour ces développements. L'axiome de fondation n'est par exemple pas mentionné dans le livre de Halmos[10], dont le but est de présenter les aspects de la théorie des ensembles utiles pour le mathématicien non spécialiste de ce domaine. L'axiome de fondation est par contre très utile dans le domaine spécialisé de la théorie des ensembles, il permet de hiérarchiser l'univers ensembliste, de définir un rang ordinal (voir l'article axiome de fondation)… Des théories des ensembles, extensions de ZF sans fondation, ont par ailleurs été développées, qui introduisent un axiome d'anti-fondation (il en existe plusieurs variantes) qui contredit directement l'axiome de fondation. L'anti-fondation est une idée assez ancienne (Dimitri Mirimanoff 1917, Paul Finsler 1926), mais ces théories ont connu un regain d'intérêt pour leur lien avec l'informatique théorique[11].

10. Axiome du choix :

    (version de Zermelo) Étant donné un ensemble ${\displaystyle X}$ d'ensembles non vides mutuellement disjoints, il existe un ensemble ${\displaystyle y}$ (l'ensemble de choix pour ${\displaystyle X}$) contenant exactement un élément pour chaque membre de ${\displaystyle X}$.

    L'axiome du choix reste controversé pour une minorité de mathématiciens. Des formes faibles existent, comme l'axiome du choix dépendant, très utile pour le développement de l'analyse réelle.

• Théorie naïve des ensembles
• Théorie constructive des ensembles (en)
• Paradoxe de Russell
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• Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel
• Théorie des ensembles de Tarski-Grothendieck (en)
• Théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel
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