جائزة مسائل الألفية

في البعد الثاني، يتميز المجال بحقيقة أنه السطح الوحيد المغلق والمرتبط ببساطة. يوضح تخمين بوانكاريه أن هذا صحيح أيضاً في البعد الثالث. وهو أمر مركزي بالنسبة للمشكلة الأكثر عمومية الخاصة بتصنيف كل الأضلاع المتعددة.

وقد قدم غريغوري بيرلمان في عام 2003 دليلاً على هذا التخمين، استناداً إلى العمل الذي قام به ريتشارد هاميلتون؛ تم الانتهاء من المراجعة في أغسطس 2006، وتم اختيار بيرلمان لتلقي ميدالية فيلدز لحله، لكنه رفض الجائزة.[8] مُنح بيرلمان رسميًا جائزة الألفية في 18 مارس 2010،[9] لكنه رفض أيضًا تلك الجائزة وجوائز المال المرتبطة بها من معهد كلاي للرياضيات. ونقلت وكالة أنباء إنترفاكس عن بيرلمان قوله إنه يعتقد أن الجائزة غير عادلة. أخبر بيرلمان إنترفاكس أنه يعتبر مساهمته في حل تخمين بوانكاريه ليس أكبر من هاملتون.[10]

المسألة هي تحديد إذا ما كل مسألة يمكن تقريرها بواسطة خوارزمية غير قطعية يمكن أيضا حلها بواسطة خوارزمية قطعية. بالنسبة لجميع المشاكل التي يمكن لخوارزمية التحقق من حل معين بسرعة (أي في زمن كثير الحدود)، يمكن لخوارزمية أن تجد الحل بسرعة أيضًا. بما أن الأول يصف فئة المشاكل التي يطلق عليها NP، بينما يصف الأخير P، فإن السؤال يساوي السؤال عما إذا كانت جميع المشاكل في NP موجودة أيضًا في P. ويعتبر هذا بشكل عام أحد أهم الأسئلة المفتوحة في الرياضيات وعلوم الحاسوب النظرية كما أن لها عواقب بعيدة المدى على مشاكل أخرى في الرياضيات، وعلم الأحياء، والفلسفة،[2] والتشفير. المثال الشائع لمشكلة NP غير معروفة في P هي مشكلة الإرضاء المنطقية.

يتوقع معظم علماء الرياضيات وعلماء الحاسوب أن P ≠ NP؛ ومع ذلك، لم يثبت ذلك بعد.[11]

تنص فرضية ريمان على أن جميع أصفار (أو جذور) الاستمرار التحليلي لدالة زيتا لريمان دالة زيتا، هي أعداد عقدية جزءها الحقيقي يساوي ¹/₂. للبرهان على صحة أو خطأ هذه الحدسية نتائج في نظرية الأعداد، خصوصا فيما يتعلق بتوزيع الأعداد الأولية. هذه الفرضية هي ثامن مسائل هيلبرت، وما تزال تعتبر واحدة من أهم المسائل المفتوحة قرنا من الزمان بعد ذلك.

أعطيت الصيغة الرسمية للفرضية من طرف عالم الرياضيات إنريكو بومبيري.

تصف معادلات نافييه-ستوكس حركة السوائل، وهي أحد أعمدة ميكانيكا الموائع. ومع ذلك، فإن الفهم النظري لحلولها غير مكتمل. على وجه الخصوص، غالباً ما تتضمن حلول معادلات نافييه-ستوكس الاضطراب، حيث تظل الحلول العامة واحدة من أكبر المشكلات التي لم تحل في الفيزياء، على الرغم من أهميتها الهائلة في العلوم والهندسة.

تكمن المشكلة في إحراز تقدم نحو نظرية رياضية تعطي نظرة ثاقبة لهذه المعادلات، من خلال إثبات وجود حلول سلسة ومحددة عالمياً تفي بشروط معينة، أو أنها لا توجد دائمًا وأن المعادلات تتعطل. البيان الرسمي للمشكلة قدمه تشارلز فيفرمان.

حدسية هودج ينص على أنه بالنسبة للأصناف الجبرية الإسقاطية، فإن دورات هودج هي مزيج خطي منطقي من الدورات الجبرية.

البيان الرسمي للمشكلة قدمه بيار ديلين.

في الفيزياء، نظرية يانغ-ميلز الكلاسيكية هي تعميم لنظرية ماكسويل للكهرومغناطيسية حيث يحمل المجال الكهرومغناطيسي نفسه بذاته. وباعتبارها نظرية المجال الكلاسيكي، فإن لديها حلولاً تسير بسرعة الضوء بحيث أن نصها الكمومي يجب أن يصف جسيمات عديمة الكتلة. ومع ذلك، فإن الظاهرة المفترضة للحبس بالألوان لا تسمح إلا بحالات ملزمة من الجلونات، مما يشكل جسيمات ضخمة. هذه هي الفجوة الجماعية. جانب آخر من الحبس هو الحرية التقاربية مما يجعل من الممكن تصور أن نظرية الكمبروسوم-ميلز موجودة بدون قيود على مقاييس الطاقة المنخفضة. وتتمثل المشكلة في إقامة وجود دقيق لنظرية يانغ-ميلز الكمومية وفجوة ضخمة.

البيان الرسمي للمسألة قدمه آرثر جافي وإدوارد ويتن.[12]

يتعامل حدس بريتش-داير مع أنواع معيّنة من المعادلات: تلك المنحنيات النحيلة التي تحدد الأعداد العقلانية. التخمين هو أن هناك طريقة بسيطة لمعرفة ما إذا كانت هذه المعادلات لها عدد محدد أو غير محدود من الحلول العقلانية. عالجت مشكلة هيلبرت العاشرة مع نوع أكثر عمومية من المعادلة، وفي هذه الحالة، ثبت أنه لا توجد طريقة لتحديد ما إذا كانت معادلة معينة لديها أي حلول.

البيان الرسمي للمسألة قدمه أندرو وايلز.[13]