Acción (matemática)

El estabilizador de un punto ${\displaystyle x\in X}$ se compone de todos los elementos de ${\displaystyle G}$ que actúan trivialmente sobre ${\displaystyle x}$

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\ |\ g\cdot x=x\}\subset G}$.

Otra forma de expresarlo es que contiene a los elementos del grupo que dejan fijo ${\displaystyle x}$. En consecuencia, cuando ${\displaystyle x}$ es un punto fijo su estabilizador es todo el grupo: ${\displaystyle G_{x}=G}$. El núcleo de la acción es precisamente la intersección de los estabilizadores de todos los puntos de ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle ker\ \phi =\cap _{x\in X}\ G_{x}}$.

${\displaystyle G_{x}}$ es un subgrupo de ${\displaystyle G}$, no necesariamente normal. También es llamado subgrupo de isotropía de ${\displaystyle x}$.[6]

La órbita de ${\displaystyle x}$ se compone de todos los elementos de ${\displaystyle X}$ que son imagen de ${\displaystyle x}$ por la acción de algún elemento de ${\displaystyle G}$:[7]

${\displaystyle O_{x}=\{y\in X\ |\ \exists g\in G:\ g\cdot x=y\}\subset X}$.

La órbita de ${\displaystyle x}$ contiene a los elementos del conjunto ${\displaystyle X}$ que se alcanzan desde ${\displaystyle x}$ por la acción de ${\displaystyle G}$. Cuando ${\displaystyle x}$ es un punto fijo de la acción, su órbita se reduce al propio ${\displaystyle x}$, esto es: ${\displaystyle O_{x}=\{x\}}$, y viceversa.

La relación «y pertenece a la órbita de x» es reflexiva, simétrica y transitiva, y por lo tanto es una relación de equivalencia. Por consiguiente, las órbitas bajo la acción de ${\displaystyle G}$ forman una partición del conjunto ${\displaystyle X}$, lo que significa que las órbitas de dos elementos distintos o bien coinciden, o bien son disjuntas.

Dado un punto arbitrario ${\displaystyle x\in X}$, existe una biyección entre su órbita y las clases laterales derechas (o izquierdas) en ${\displaystyle G}$ de su estabilizador ${\displaystyle G_{x}}$, es decir

${\displaystyle O_{x}\leftrightarrow G/G_{x}}$.[nota 1]

En particular, si ${\displaystyle G_{x}}$ es un subgrupo de índice finito en ${\displaystyle G}$, la órbita de ${\displaystyle x}$ es un conjunto finito y su cardinalidad es

${\displaystyle |O_{x}|=[G:G_{x}]}$.[8]

Dos puntos de una misma órbita tienen estabilizadores conjugados por el elemento que lleva un punto en el otro:

Si ${\displaystyle y\in O_{x}}$ entonces ${\displaystyle G_{y}=gG_{x}g^{-1}\,}$, donde ${\displaystyle \ g\cdot x=y}$.

Lo anterior se deriva de que si ${\displaystyle h}$ es un elemento que deja fijo el punto ${\displaystyle x}$, entonces

${\displaystyle ghg^{-1}\cdot y=gh\cdot x=g\cdot x=y}$.

Todo grupo ${\displaystyle G}$ actúa sobre sí mismo por multiplicación[nota 2] por la izquierda (respectivamente, por la derecha) mediante la acción definida por[13]

${\displaystyle \varphi :G\times G\to G\$ :\ (g,h)\mapsto gh} (respectivamente ${\displaystyle (g,h)\mapsto hg}$).

Esta acción es fiel (de hecho, el estabilizador de todo punto es trivial), transitiva, y existe una única órbita que abarca todo ${\displaystyle G}$. Las acciones de multiplicación por la izquierda y multiplicación por la derecha coinciden precisamente cuando el grupo ${\displaystyle G}$ es abeliano.

El hecho de que para todo grupo la acción por multiplicación sea fiel, significa que el homomorfismo

${\displaystyle \theta :G\to S_{G}}$

es inyectivo. Por el primer teorema de isomorfía, esto significa que el grupo ${\displaystyle G}$ es isomorfo a un subgrupo de su propio grupo simétrico. En particular, si ${\displaystyle G}$ es finito de orden ${\displaystyle n}$, entonces es isomorfo a un subgrupo del grupo de permutaciones de n elementos, ${\displaystyle S_{n}}$. Este resultado se conoce con el nombre de teorema de Cayley.[14]

Por otro lado, todo grupo ${\displaystyle G}$ actúa sobre sí mismo por conjugación mediante la acción definida por[15]

${\displaystyle \varphi :G\times G\to G\$ :\ (g,h)\mapsto ghg^{-1}} .

El estabilizador de cada punto ${\displaystyle g}$ está formado por los elementos de ${\displaystyle G}$ que conmutan con ${\displaystyle g}$, es decir, el centralizador de ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle G_{x}=C_{G}(x)}$

Cuando el grupo es abeliano la acción del grupo en sí mismo por conjugación es trivial. Nótese que entonces

${\displaystyle \forall g,\ h\in G:\ ghg^{-1}=gg^{-1}h=h}$.

Las órbitas bajo esta acción se denominan clases de conjugación. Los elementos del centro del grupo (formado por aquellos elementos que conmutan con cualquier otro, denotado por ${\displaystyle Z(G)}$) forman cada uno de ellos una clase unipuntual (i.e. son puntos fijos). El recíproco también es cierto, es decir, si la clase de conjugación de un elemento ${\displaystyle g}$ solo contiene a ese elemento entonces ${\displaystyle g}$ pertenece al centro de ${\displaystyle G}$, esto es:

${\displaystyle x\in Z(G)\iff O_{x}=\{x\}}$.

La acción por conjugación de un grupo en sí mismo permite obtener la descomposición orbital de grupos finitos:

${\displaystyle G=\bigcup _{i\in I}{\mathcal {K}}_{i}}$

que es la unión disjunta de todas las clases de conjugación ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$. En consecuencia

${\displaystyle |G|=\sum _{i\in I}|{\mathcal {K}}_{i}|}$

Por un lado distinguimos los elementos del centro, cada uno en su propia clase unitaria, y por otro el resto de clases:

• De las primeras hay una clase por cada elemento del centro, y cada una tiene cardinalidad 1.
• Para el resto de clases de conjugación, si ${\displaystyle g_{i}}$ es un representante de la clase ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$ se tiene que

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}=O_{g_{i}}\implies |{\mathcal {K}}_{i}|=[G:G_{g_{i}}]=[G:C_{G}(g_{i})]}$.

Uniendo ambos resultados se obtiene la ecuación de clases para el orden de ${\displaystyle G}$:[16]

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i=1}^{r}[G:C_{G}(g_{i})]}$

donde ${\displaystyle g_{1},...,g_{r}}$ es un conjunto de representantes de cada una de las clases de conjugación no contenidas en el centro de ${\displaystyle G}$. La ecuación de clases permite derivar algunos resultados para los grupos finitos como el teorema de Cauchy y los teoremas de Sylow.

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