Distribución binomial

Consideremos n lanzamientos sucesivos de una moneda. Entonces el número de veces que la moneda aparece en la cara de la cruz sigue la distribución binomial donde el número de experimentos realizados es n y la probabilidad de éxito es ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$

Consideremos n lanzamientos sucesivos de un dado de 6 caras. Entonces el número de veces que sale un 1 sigue la distribución binomial donde el número de experimentos realizados es n y la probabilidad de éxito es ${\displaystyle p={\frac {1}{6}}}$.

Una ley de Bernoulli describe el comportamiento de un experimento aleatorio que tiene dos posibles resultados tradicionalmente llamados éxito y fracaso[3]. Un experimento de este tipo se denomina ensayo de Bernoulli. Por ejemplo, en un lanzamiento de cara o cruz, cara puede considerarse un éxito y cruz un fracaso. En este modelo, la probabilidad de éxito es un valor fijo, es decir, permanece constante en cada renovación del experimento aleatorio. Esta probabilidad de éxito se denomina "p".

Consideremos la situación en la que un experimento aleatorio de este tipo (dos resultados posibles y una probabilidad fija) se repite un cierto número de veces de forma independiente; denotemos n este número de veces. Esta repetición independiente de ensayos de Bernoulli se denomina Esquema de Bernoulli o simplemente Ensayos de Bernoulli[4]. Una distribución binomial describe el número de veces que aparece el éxito en los n experimentos realizados. Dado que el número de éxitos obtenidos es un valor aleatorio, una distribución binomial se describe dando las probabilidades de que el éxito se produzca precisamente k veces en los n ensayos.

Una forma visual de representar una secuencia de experimentos es utilizar un árbol de probabilidad. Cada suceso está representado por dos ramas: una para el éxito y otra para el fracaso. En cada extremo, se añaden dos ramas (éxito y fracaso) para el siguiente ensayo. Esto se repite hasta que se alcanza el número total de sucesos. En cada extremo final, se puede contar el número de éxitos. Se multiplica el número de veces que k tiene éxito por la probabilidad de que k tenga éxito para obtener la probabilidad correspondiente de la distribución binomial.

Si una variable aleatoria discreta ${\displaystyle X}$ tiene una distribución binomial con parámetros ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ y ${\displaystyle p}$ con ${\displaystyle 0<p<1}$ entonces escribiremos ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$.

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$ entonces su función de probabilidad está dada por

${\displaystyle \operatorname {P} [X=x]={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}}$

para ${\displaystyle x=0,1,2,\dots ,n}$, siendo

${\displaystyle \!{n \choose x}={\frac {n!}{x!(n-x)!}}\,\!}$

el coeficiente binomial y se lee “las combinaciones de ${\displaystyle n\,\!}$ en ${\displaystyle x\,\!}$“.

En ocasiones, para calcular las probabilidades binomiales se utiliza la siguiente fórmula recursiva para calcular ${\displaystyle \operatorname {P} [X=x+1]}$ en términos de ${\displaystyle \operatorname {P} [X=x]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [X=x+1]&={\binom {n}{x+1}}p^{x+1}(1-p)^{n-(x+1)}\\&={\frac {n!}{(n-x-1)!(x+1)!}}p^{x+1}(1-p)^{n-x-1}\\&={\frac {n!(n-x)}{(n-x)!x!(x+1)}}p^{x}(1-p)^{n-x}{\frac {p}{1-p}}\\&=\left({\frac {n-x}{x+1}}\right)\left({\frac {p}{1-p}}\right){\frac {n!}{x!(n-x)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}\\&=\left({\frac {n-x}{x+1}}\right)\left({\frac {p}{1-p}}\right){\binom {n}{x}}p^{x}(1-p)^{n-x}\\&=\left({\frac {n-x}{x+1}}\right)\left({\frac {p}{1-p}}\right)\operatorname {P} [X=x]\end{aligned}}}$

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$ está dada por

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} [X\leq x]=\sum _{k=0}^{x}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

También puede ser expresada en términos de la función beta incompleta como

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x)&=\operatorname {P} [X\leq x]\\&=I_{1-p}(n-x,x+1)\\&=(n-x){n \choose x}\int _{0}^{1-p}t^{n-x-1}(1-t)^{x}dt\end{aligned}}}$

que es equivalente a la función de distribución acumulada de la distribución F.

La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

Supongamos que se lanza 51 veces un dado de 6 caras y queremos calcular la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces.

En este problema un ensayo consiste en lanzar el dado una vez. Consideramos un éxito si obtenemos un 3 pero si no sale 3 lo consideramos como un fracaso. Defínase ${\displaystyle X}$ como el número de veces que se obtiene un 3 en 51 lanzamientos.

En este caso tenemos ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (51/6)}$ por lo que la probabilidad buscada es ${\displaystyle \operatorname {P} [X=20]}$

${\displaystyle \operatorname {P} [X=20]={51 \choose 20}(1/6)^{20}(1-1/6)^{51-20}=0.0000744\,\!}$

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$ y ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Bin} (m,p)}$ son variables aleatorias independientes con la misma probabilidad ${\displaystyle p}$ entonces la variable aleatoria ${\displaystyle Z=X+Y}$ también es una variable aleatoria con distribución binomial con parámetros ${\displaystyle n+m}$ y ${\displaystyle p}$, es decir ${\displaystyle Z=X+Y\sim \operatorname {Bin} (n+m,p)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [Z=z]&=\sum _{k=0}^{z}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}{\binom {m}{z-k}}p^{z-k}(1-p)^{m-z+k}\\&={\binom {n+m}{z}}p^{z}(1-p)^{n+m-z}\end{aligned}}}$

Si ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ son ${\displaystyle n}$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Bernoulli} (p)}$ entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$

Lo anterior es equivalente a decir que la distribución Bernoulli es un caso particular de la distribución Binomial cuando ${\displaystyle n=1}$, es decir, si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (1,p)}$ entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bernoulli} (p)}$.

Si ${\displaystyle n\to \infty }$ y ${\displaystyle p}$ es tal que el producto entre ambos parámetros tiende a ${\displaystyle \lambda \,\!}$, entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro ${\displaystyle \lambda }$.

Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria con media ${\displaystyle np}$ y varianza ${\displaystyle np(1-p)}$ entonces

${\displaystyle Z={\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\sim N(0,1)}$

conforme ${\displaystyle n\to \infty }$, esta aproximación es buena si ${\displaystyle np\geq 5}$ y ${\displaystyle n(1-p)\geq 5}$.

Cuando se conoce n, el parámetro p puede estimarse utilizando la proporción de aciertos:

${\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {x}{n}}.}$

Este estimador se encuentra utilizando estimador de máxima verosimilitud y también el método de los momentos. Este estimador es insesgado y uniforme con mínima varianza, demostrado mediante el Teorema de Lehmann–Scheffé, ya que se basa en un estadístico mínimo suficiente y completo (es decir: x). También es consistente tanto en probabilidad como en MSE.

También existe un estimador de Bayes de forma cerrada para p cuando se utiliza la distribución Beta como conjugada de la probabilidad a priori. Cuando se utiliza un ${\displaystyle \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}$ a priori, el estimador medio posterior es:

${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {x+\alpha }{n+\alpha +\beta }}.}$

El estimador de Bayes es asintóticamente eficiente y a medida que el tamaño de la muestra se aproxima a infinito (n → ∞), se aproxima a la solución de máxima verosimilitud. El estimador de Bayes es sesgado, cuánto depende de los priores, admisible y consistente en probabilidad.

Para el caso especial de utilizar la distribución uniforme estándar como a priori no informativo, ${\displaystyle \operatorname {Beta} (\alpha =1,\beta =1)=U(0,1)}$, el estimador de la media a posteriori se convierte en:

${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {x+1}{n+2}}.}$

Este método se denomina regla de sucesión, que fue introducido en el siglo XVIII por Pierre-Simon Laplace.

Cuando se estima p con sucesos muy raros y un n pequeño (por ejemplo: si x=0), entonces utilizar el estimador estándar conduce a ${\displaystyle {\widehat {p}}=0,}$ lo que a veces es poco realista y poco deseable. En estos casos existen varios estimadores alternativos.[5] Una forma es utilizar el estimador de Bayes, lo que lleva a:

${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {1}{n+2}}.}$

Otro método consiste en utilizar el límite superior del intervalo de confianza obtenido mediante la regla de tres:

${\displaystyle {\widehat {p}}_{\text{rule of 3}}={\frac {3}{n}}.}$

Incluso para valores bastante grandes de n, la distribución real de la media es significativamente no normal.[6] Debido a este problema se han propuesto varios métodos para estimar intervalos de confianza.

En las ecuaciones para intervalos de confianza que se presentan a continuación, las variables tienen el siguiente significado:

• n ₁ es el número de aciertos de n, el número total de ensayos.
• ${\displaystyle {\widehat {p\,}}={\frac {n_{1}}{n}}}$ es la proporción de aciertos
• ${\displaystyle z=1-{\tfrac {1}{2}}\alpha }$ es el cuantil de una distribución normal estándar (es decir, probit) correspondiente a la tasa de error objetivo ${\displaystyle \alpha }$. Por ejemplo, para un nivel de confianza del 95% el error ${\displaystyle \alpha }$ = 0,05, por lo que ${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}\alpha }$ = 0,975 y ${\displaystyle z}$ = 1,96.