Constante de Euler-Mascheroni

Descubierta en 1734 por Euler, representándola como una serie infinita de la siguiente forma:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}$

${\displaystyle \gamma }$ está relacionada con la función digamma ${\displaystyle \Psi }$ y por lo tanto con la derivada de la función gamma ${\displaystyle \Gamma }$, cuando ambas funciones están evaluadas en ${\displaystyle 1}$, esto es

${\displaystyle -\gamma ={\Gamma }'(1)=\Psi (1)\,\!}$

y esto es igual al límite:

${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to \infty }\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}$

otros límites son

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}\end{aligned}}}$

Un límite relacionado con la función beta (expresada en términos de la función gamma) es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)n^{1+{1 \over n}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{\binom {m}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\;\ln(\Gamma (k+1))\end{aligned}}}$

y como función beta:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(n^{2+{1 \over n}}\,\mathrm {B} \left(1+{\frac {1}{n}},n+1\right)-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)}$

${\displaystyle \gamma }$ también puede ser expresada como suma infinita, cuyos términos invocan la función zeta de Riemann evaluada en números positivos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\zeta (k)}{k}}\\&=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\zeta (k)}{2^{k-1}k}}\\&=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}\zeta (k+1)}{2^{k}(k+1)}}\end{aligned}}}$

Otras series relacionadas con la función zeta son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\left({\frac {k-1}{k}}\right)[\zeta (k)-1]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2n-1}{2n}}-\ln n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k\,n}}{(k+1)!}}\sum _{t=0}^{k}{\frac {1}{t+1}}-n\,\log 2+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right]\end{aligned}}}$

El término error de la última serie decrece exponencialmente en función de n. Como resultado, la fórmula resulta muy eficiente para calcular grandes cantidades de dígitos de la constante con gran precisión.

Otro interesantes límites relacionado con la constante de Euler-Mascheroni y la función zeta es el límite antisimétrico (Sondow, 1998)

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \gamma }$ es igual al valor de un número determinado de integrales definidas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln x}\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\ln \left(\ln \left({\frac {1}{x}}\right)\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right)dx\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\;dx\end{aligned}}}$

Entre las integrales definidas en las cuales aparece ${\displaystyle \gamma }$ se incluyen

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\ln x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln ^{2}(x)\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\end{aligned}}}$

Uno puede expresar a ${\displaystyle \gamma }$ como una integral doble (Sondow 2003, 2005), con su serie equivalente es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\ln(xy)}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right)\end{aligned}}}$

Aparte de la serie original de Euler (mostrada arriba), se conocen otras series entre las que se incluyen:

${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\lfloor \log _{2}k\rfloor }{k+1}}}$

encontrada por Nielsen en 1897. En 1912 Vacca encontró la siguiente serie relacionada con γ.

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots }$

donde log₂ es el logaritmo en base 2 y ${\displaystyle \left\lfloor \,\right\rfloor }$ la función parte entera.

En 1926, Vacca encontró otra serie similar a la anterior:

${\displaystyle \gamma +\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}\left({\tfrac {1}{4}}+\dots +{\tfrac {1}{8}}\right)+{\tfrac {1}{9}}\left({\tfrac {1}{9}}+\dots +{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots }$

o escrito como

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k^{2}\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac {2}{3^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}\left({\tfrac {1}{5^{2}}}+{\tfrac {2}{6^{2}}}+{\tfrac {3}{7^{2}}}+{\tfrac {4}{8^{2}}}\right)+{\tfrac {1}{3^{2}}}\left({\tfrac {1}{10^{2}}}+\dots +{\tfrac {6}{15^{2}}}\right)+\dots }$ (Krämer, 2005)

Estas dos últimas series pueden ser obtenidas mediante la manipulación de la Integral de Catalán (ver Sondow y Zudilin)

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\,dx}$

La representación en forma de fracción continua es:

${\displaystyle \gamma =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\ \ddots \ {}}}}}}}}}}}}$

más concretamente

${\displaystyle \gamma =[0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,1,8,1,2,4,1,1,40,...]\,}$ (sucesión A002852 en OEIS).

La constante e^γ es importante en teoría de números. Algunos autores la denotan simplemente como γ'. e^γ es igual al siguiente límite, donde p_n es el n-ésimo número primo:

${\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}}$

También se puede expresar como un producto infinito, usando funciones hipergeométricas como sigue:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\gamma }&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}\right)^{1 \over {n+1}}\\{}&=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/4}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/5}\cdots \end{aligned}}}$

Su valor numérico aproximado es

${\displaystyle e^{\gamma }=1.781\ 072\ 417\ 990\ 197\ 985\ 236\ldots }$ (sucesión A073004 en OEIS)