Desplazamiento angular

Dado que cualquier marco de referencia en el espacio puede describirse mediante una matriz de rotación, el desplazamiento entre ellos también puede describirse mediante una matriz de rotación. Siendo ${\displaystyle A_{0}}$ y ${\displaystyle A_{f}}$ dos matrices, la matriz de desplazamiento angular entre ellas se puede obtener como ${\displaystyle \Delta A=A_{f}.A_{0}^{-1}}$. Cuando este producto se realiza con una diferencia muy pequeña entre ambos sistemas de referencia, se obtiene una matriz cercana a la identidad.

En el límite, se genera una matriz de rotación infinitesimal.

Supóngase que se especifica un eje de rotación según un vector unitario [x, y, z], y que se tiene una rotación infinitamente pequeña del ángulo Δθ respecto a ese vector. Expandiendo la matriz de rotación como una suma infinita, y tomando el término de primer orden, la matriz de rotación ΔR se representa como:

${\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =\mathbf {I} +\mathbf {A} \,\Delta \theta .}$

Una rotación finita a través del ángulo θ alrededor de este eje puede verse como una sucesión de pequeñas rotaciones sobre el mismo eje. Aproximando Δθ como θ/N, donde N es un número grande, una rotación de θ alrededor del eje puede representarse como:

${\displaystyle R=\left(\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {A} \theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{\mathbf {A} \theta }.}$

Se puede ver que el teorema de Euler esencialmente establece que todas las rotaciones pueden representarse de esta forma. El producto ${\displaystyle \mathbf {A} \theta }$ es el "generador" de la rotación particular, siendo (x, y, z) el vector asociado con la matriz A. Esto demuestra que la matriz de rotación y el formato de notación axial-angular están relacionados por la función exponencial.

Se puede deducir una expresión simple para el generador G. Se comienza con un plano arbitrario [2] definido por un par de vectores unitarios perpendiculares a y b. En este plano se puede elegir un vector arbitrario x, con y perpendicular. Luego se resuelve y en términos de x, y sustituyendo en una expresión una rotación en un plano se obtiene la matriz de rotación R que incluye el generador G = ba^T - ab ^T.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\operatorname {sen} \left(\alpha \right)\\y&=-a\operatorname {sen} \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{T}x\\\operatorname {sen} \left(\alpha \right)&=b^{T}x\\y&=-ab^{T}x+ba^{T}x=\left(ba^{T}-ab^{T}\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\operatorname {sen} \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{T}-ab^{T}\right)\operatorname {sen} \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{T}-ab^{T}\right)\operatorname {sen} \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\operatorname {sen} \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{T}-ab^{T}\\\end{aligned}}}$

Para incluir vectores fuera del plano en la rotación, se necesita modificar la expresión anterior para R incluyendo dos operadores de proyección que dividen el espacio. Esta matriz de rotación modificada puede reescribirse como una función exponencial matricial

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\operatorname {sen} \left(\beta \right)\right]P_{ab}=e^{G\beta }\\\end{aligned}}}$

El análisis es a menudo más fácil en términos de estos generadores, en lugar de considerar la matriz de rotación completa. Esta técnica se conoce como el álgebra de Lie del grupo de rotación.

Las matrices en el álgebra de Lie no son rotaciones en sí mismas. Las matrices antisimétricas son derivadas, diferencias proporcionales de rotaciones. Una "rotación diferencial" real o matriz de rotación infinitesimal tiene la forma

${\displaystyle I+A\,d\theta ~,}$

donde dθ es extremadamente pequeño y A ∈ so(n), por ejemplo con A = L_x,

${\displaystyle dL_{x}=\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{smallmatrix}}\right]}$.

Las reglas de cálculo son las habituales, excepto porque los infinitesimales de segundo orden se eliminan sistemáticamente. Con estas reglas, estas matrices no satisfacen las mismas propiedades que las matrices de rotación finita ordinarias bajo el tratamiento habitual de los infinitesimales.[3] Resulta que el orden en que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante. Para ver esto ejemplificado, consúltese el artículo acerca del grupo de rotación SO(3).

La conexión del álgebra de Lie con el grupo de Lie es la aplicación exponencial, que se define utilizando la serie exponencial de una matriz estándar[4] para e^A. Para cualquier matriz antisimétrica A, exp(A) es siempre una matriz de rotación.[nb 1]

Un ejemplo práctico importante es el caso 3 × 3. En el grupo de rotación SO(3), se demuestra que se puede identificar cada A ∈ so(3) con un vector de Euler ω = θ u, donde u = (x,y,z) es un vector de magnitud unitaria.

Por las propiedades de la identificación su(2) ≅ ℝ³, u está en el espacio nulo de A Por lo tanto, u es un invariante respecto a exp(A) y, por lo tanto, es un eje de rotación.

Mediante el uso de la fórmula de rotación de Rodrigues en forma de matriz, con θ = ^θ⁄₂ + ^θ⁄₂, y junto con las fórmulas del ángulo doble, se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u\cdot L}}+2\operatorname {sen} ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2},\end{aligned}}}$

donde c = cos ^θ⁄₂ s = sen ^θ⁄₂

Esta es la matriz para una rotación alrededor del eje u según el ángulo θ en forma de medio ángulo. Para detalles completos, véase el artículo dedicado a la aplicación exponencial SO (3).

Debe tenerse en cuenta que para ángulos infinitesimales, los términos de segundo orden pueden ignorarse y establecer que exp(A) = I + A