Efecto Coriolis

En un sistema de coordenadas cilíndricas, la velocidad (en negro) de un punto puede descomponerse en una velocidad radial (en magenta), una velocidad axial (en azul) y una velocidad tangencial (en verde).

Es preciso recordar que cuando un observador en un sistema no inercial (como lo es un sistema en rotación) trata de comprender el comportamiento de su sistema como si fuese un sistema inercial ve aparecer fuerzas ficticias. En el caso de un sistema en rotación, el observador ve que todos los objetos que no están sujetos se alejan de manera radial como si actuase sobre ellos una fuerza proporcional a sus masas y a la distancia a una cierta recta (el eje de rotación). Esa es la fuerza centrífuga que hay que compensar con la fuerza centrípeta para sujetar los objetos. Por supuesto, para un observador externo, situado en un sistema inercial (sistema fijo), la única fuerza que existe es la fuerza centrípeta, cuando los objetos están sujetos. Si no lo están, los objetos tomarán la tangente y se alejarán del eje de rotación.

Si los objetos no están inmóviles con respecto al observador del sistema en rotación, otra fuerza ficticia aparece: la fuerza de Coriolis. Visto desde el sistema en rotación, el movimiento de un objeto se puede descomponer en una componente paralela al eje de rotación, otra componente radial (situada sobre una línea que pasa por el eje de rotación y perpendicular a este), y una tercera componente tangencial (tangente a un círculo centrado en el eje y perpendicular a este) (ver gráfica).

Un objeto que se desplaza paralelamente al eje de rotación, visto desde un sistema fijo, gira con el sistema en rotación a la misma velocidad angular y con radio constante. La única fuerza que actúa sobre el objeto es la fuerza centrípeta. El observador del sistema en rotación sólo nota la fuerza centrífuga contra la cual hay que oponerse para que se quede a la misma distancia del eje.

Cuando se reduce el radio de rotación de un cuerpo sin aplicar un torque, el momento angular se conserva y la velocidad tangencial aumenta. En cambio, si se obliga al cuerpo a conservar la misma velocidad angular, la velocidad tangencial disminuye. El esquema está visto desde un sistema fijo (inercial).

Supóngase que un observador en el sistema en rotación mantiene una masa ${\displaystyle \scriptstyle {m}}$ a una distancia ${\displaystyle \scriptstyle {R}}$ del eje de rotación mediante un hilo de masa despreciable. El observador tira del hilo y modifica ligeramente el radio de rotación de la masa de ${\displaystyle \scriptstyle {\Delta R}}$. Eso le ha tomado un tiempo ${\displaystyle \scriptstyle {\Delta t}}$. Como el momento dinámico es nulo, el momento angular de la masa se conserva. Si ${\displaystyle \scriptstyle {V}}$ es la velocidad de la masa, la conservación del momento angular expresa:

${\displaystyle \Delta L=\Delta (mVR)=m(\Delta V\,R+V\Delta R)=0}$

${\displaystyle \Delta V_{1}=-V\textstyle {\Delta R \over R}}$

El signo menos indica que cuando el radio aumenta la velocidad tangencial disminuye.

Si la masa se moviese siguiendo una trayectoria radial, fija con respecto al sistema en rotación, conservando en consecuencia la misma velocidad angular ${\displaystyle \scriptstyle {\omega }}$ del sistema en rotación, su velocidad lineal habría aumentado de ${\displaystyle \scriptstyle {\Delta V_{2}=\omega \Delta R}}$ (o disminuido, si ${\displaystyle \scriptstyle {\Delta R}}$ es negativo). Para un observador fijo, entre la velocidad de la masa que se ve obligada a seguir una trayectoria radial y la velocidad de la masa que conserva su momento angular hay una diferencia de:

${\displaystyle \Delta V_{3}=\Delta V_{1}-\Delta V_{2}=-V\textstyle {\Delta R \over R}-\omega \Delta R=-\omega \Delta R-\omega \Delta R=-2\omega \Delta R}$

Como el objeto no está sujeto al sistema en rotación, el observador en ese sistema ve la masa tomar una velocidad lateral ${\displaystyle \scriptstyle {\Delta V_{3}}}$. Eso se interpreta como la aplicación de una fuerza lateral (de Coriolis). Si el cambio de velocidad tomó ${\displaystyle \scriptstyle {\Delta t}}$ segundos, la aceleración de Coriolis será (en valor absoluto):

${\displaystyle a_{c}=\textstyle {\Delta V_{3} \over \Delta t}=2\omega \textstyle {\Delta R \over \Delta t}=2\omega V_{r}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle V_{r}}$	Velocidad radial

Esa aceleración corresponde a una fuerza (de Coriolis) de:

${\displaystyle F_{c}=2m\omega V_{r}\,}$

Considerando un objeto con velocidad tangencial ${\displaystyle \scriptstyle {V_{t}}}$ vista por el observador en el sistema en rotación. Esta vez, la misma masa tenida por un hilo tiene una velocidad angular diferente del sistema en rotación. Para el observador en el sistema en rotación, las fuerzas que nota aplicadas a la masa para que siga una trayectoria circular son: la fuerza centrífuga ${\displaystyle \scriptstyle {m\omega ^{2}R}}$ que ve aplicada en todos los objetos, más la fuerza centrípeta debido a la rotación aparente de la masa ${\displaystyle \scriptstyle {m{V^{2} \over R}}}$. Pero eso no basta. Hay aún otra fuerza aparente, y es precisamente la fuerza de Coriolis. Se calcula ahora la fuerza centrípeta que ve un observador fijo: la velocidad tangencial es ${\displaystyle \scriptstyle {V_{\circ }=\omega R+V_{t}}}$. Para este observador, la fuerza centrípeta que mantiene la masa a distancia constante será:

${\displaystyle F_{\circ }=m\textstyle {V^{2} \over R}=m\textstyle {\left(\omega R+V_{t}\right)^{2} \over R}=m\textstyle {\left(\omega ^{2}R^{2}+2\omega RV_{t}+{V_{t}^{2}}\right) \over R}=m\left(\omega ^{2}R+2\omega V_{t}+\textstyle {V_{t}^{2} \over R}\right)}$

El primer término es la fuerza centrífuga común a todos los objetos que giran con el sistema en rotación. El tercero es la fuerza centrípeta debida a la rotación de la masa con respecto al sistema en rotación. Y el segundo término es la fuerza de Coriolis. Es un término suplementario debido al hecho de que la fuerza centrípeta depende del cuadrado de la velocidad tangencial y no puede obtenerse sumando las fuerzas centrífuga y centrípeta debido a velocidades parciales. La fuerza de Coriolis es:

${\displaystyle F_{c}=2m\omega V_{t}\,}$

Como se ha dicho , esa fuerza es radial.

Para esta demostración se utilizará el subíndice abs para indicar magnitudes vistas desde el sistema de referencia inercial, es decir, uno donde el espacio sea homogéneo e isótropo y donde el tiempo sea constante. El subíndice rel (relativa) se refiere a magnitudes vistas desde una referencia no galileana o no inercial. El subíndice ar (arrastre) hace referencia al movimiento de la base móvil respecto a la base fija. También es necesario conocer cómo se deriva en una base móvil:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\sum _{i=1}^{3}{{\dot {r}}_{i}\mathbf {e} _{i}}+\sum _{i=1}^{3}{r_{i}{\dot {\mathbf {e} }}_{i}}=\sum _{i=1}^{3}{{\dot {r}}_{i}\mathbf {e} _{i}}+\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\Omega }}_{ar}}$

Una aceleración es un cambio en la magnitud o en la orientación de la velocidad respecto del tiempo. Para esa demostración se considera un movimiento que no varía la magnitud de su velocidad, es decir, que no está sometido a fuerzas que tengan alguna componente en la dirección del movimiento. Entonces:

${\displaystyle \mathbf {a} _{abs}(P)={\dot {\mathbf {v} }}_{abs}(P)={\dot {\mathbf {v} }}_{rel}(P)+{\dot {\mathbf {v} }}_{ar}(P)}$

Por una parte:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}_{rel}=\mathbf {a} _{rel}(P)+{\boldsymbol {\Omega }}_{ar}\times \mathbf {v} _{rel}}$

Por otra:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}_{ar}=\mathbf {a} _{abs}(O_{rel})+({\boldsymbol {\Omega }}_{ar}\times {\overline {O_{rel}P}})'+{\boldsymbol {\Omega }}_{ar}\times ({\boldsymbol {\Omega }}_{ar}\times {\overline {O_{rel}P}})}$

donde:

${\displaystyle (\Omega _{ar}\times {\overline {O_{rel}P}})'={\dot {\Omega }}_{ar}\times {\overline {O_{rel}P}}+\Omega _{ar}\times {\dot {\overline {O_{rel}P}}}}$

Como no se considera el movimiento alrededor del Sol, sino sólo el giro de la tierra en torno a sí misma:

${\displaystyle \mathbf {a} _{abs}(O_{rel})=0,\qquad {\dot {\boldsymbol {\Omega }}}_{ar}=0}$

Además, como se está imaginando un movimiento sin aceleración relativa (como el de un proyectil):

${\displaystyle \mathbf {a} _{rel}(P)=0\,\!}$

quedando así:

${\displaystyle {\dot {v}}_{rel}=0+\Omega _{ar}\times v_{rel}}$

${\displaystyle {\dot {v}}_{ar}=0+\Omega _{ar}\times {\dot {\overline {O_{rel}P}}}+\Omega _{ar}\times (\Omega _{ar}\times {\overline {O_{rel}P}})}$

Pero:

${\displaystyle {\dot {\overline {O_{rel}P}}}=v_{rel}}$

Entonces:

${\displaystyle {\dot {v}}_{ar}=\Omega _{ar}\times {\dot {\overline {O_{rel}P}}}+\Omega _{ar}\times (\Omega _{ar}\times {\overline {O_{rel}P}})=\Omega _{ar}\times v_{rel}+\Omega _{ar}\times (\Omega _{ar}\times {\overline {O_{rel}P}})}$

Volviendo al principio:

${\displaystyle a_{abs}(P)={\dot {v}}_{abs}(P)={\dot {v}}_{rel}(P)+{\dot {v}}_{ar}(P)=\Omega _{ar}\times v_{rel}+\Omega _{ar}\times v_{rel}+\Omega _{ar}\times (\Omega _{ar}\times {\overline {O_{rel}P}})=2\cdot \Omega _{ar}\times v_{rel}+\Omega _{ar}\times (\Omega _{ar}\times {\overline {O_{rel}P}})}$

La aceleración de Coriolis es el primer sumando:

${\displaystyle 2\cdot \Omega _{ar}\times v_{rel}}$

La aceleración centrípeta es el segundo:

${\displaystyle \Omega _{ar}\times (\Omega _{ar}\times {\overline {O_{rel}P}})}$

La Tierra gira mucho más lentamente que un carrusel. Su velocidad angular es de ${\displaystyle \scriptstyle {2\pi }}$ radianes por día sideral (23 h, 56 m, 4,1 s) es decir ${\displaystyle \scriptstyle {7{,}292\,10^{-5}}\,rad/s}$. La aceleración de Coriolis debido a la rotación de la Tierra es mucho menor.

Cuando un cuerpo sigue una trayectoria norte-sur sobre la Tierra (siguiendo un meridiano), la componente radial de su velocidad (la velocidad a la cual el cuerpo se acerca o se aleja del eje de rotación terrestre) depende de la latitud del cuerpo. Es fácil ver que la componente radial es ${\displaystyle \scriptstyle {V_{r}=V_{NS}\sin(\mathrm {latitud} )}}$. Cuando el cuerpo está cerca del ecuador, su distancia respecto al eje de la Tierra no cambia. Si la trayectoria del cuerpo es este-oeste y sigue un paralelo, su distancia respecto al eje terrestre no varía, pero ya hemos visto que sentirá una aceleración de Coriolis dirigida hacia el eje de la Tierra que vale ${\displaystyle \scriptstyle {a_{eje}=2\omega V_{EO}}}$. La componente paralela a la superficie de la Tierra depende de la latitud y es: ${\displaystyle \scriptstyle {a_{c}=2\omega V_{EO}\sin(\mathrm {latitud} )}}$.

Vemos que en los dos casos, visto desde la Tierra, un cuerpo que se desplaza sobre la superficie de la Tierra siente una aceleración lateral de valor ${\displaystyle \scriptstyle {a_{c}=2\omega V\sin(\mathrm {latitud} )}}$ dirigida hacia la derecha de la velocidad.

Un cuerpo que se desplaza con una velocidad de 1 m/s, sin interacción con el suelo, a una latitud de 45° encuentra una aceleración lateral de Coriolis igual a:

${\displaystyle a_{c}=2\cdot 7{,}292\cdot 10^{-5}\sin(45^{\circ })=1{,}03\cdot 10^{-4}\mathrm {m/s} ^{2}}$,

lo cual corresponde a una fuerza lateral aproximadamente 100 000 veces menor que su propio peso. Dicho de otra manera, la trayectoria se desvía hacia la derecha como si el terreno estuviese inclinado hacia la derecha 1 milímetro cada 100 metros.

Si se trata de un avión cuya velocidad es 900 km/h (250 m/s), la aceleración será 250 veces mayor. El efecto será darle al avión una trayectoria circular de 4850 km de diámetro (a una latitud de 45°):

${\displaystyle a_{c}=2\omega V\sin(45^{\circ })=\textstyle {V^{2} \over R}}$

${\displaystyle 2R=\textstyle {V \over \omega \sin(45^{\circ })}=\textstyle {250 \over 7{,}292\cdot 10^{-5}\sin(45^{\circ })}=4{,}846\cdot 10^{6}\ \mathrm {m} }$

Por supuesto, el piloto corregirá esta desviación, pero no parece posible que pueda distinguirla de los efectos del viento o de los errores de reglaje de la posición neutra de los alerones de dirección y de profundidad.

Tomemos el caso de un obús, situado a una latitud de 45° y que tira un proyectil a 110 km de distancia. El ángulo de tiro para esa distancia es de 45°. Si se desprecia el efecto de los rozamientos con el aire, la velocidad horizontal del proyectil es de 734 m/s, y el tiempo de vuelo es de 150 segundos. La aceleración de Coriolis será:

${\displaystyle a_{c}=2\omega V\sin(\mathrm {latitud} )=7{,}58\cdot 10^{-2}\ \mathrm {m/s} ^{2}}$

La distancia lateral de desvío provocada por la aceleración de Coriolis es:

${\displaystyle d=\textstyle {1 \over 2}a_{c}t^{2}=\textstyle {1 \over 2}7{,}58\cdot 10^{-2}150^{2}=852\ \mathrm {m} }$

Esa distancia corresponde a un error en el ángulo de tiro de 0,44°. Las opiniones divergen sobre la importancia de este error, comparado con la influencia de otras fuerzas y, sobre todo, con la fuerza provocada por el efecto Magnus sobre proyectiles que giran axialmente.

Para cañones de menor alcance, el error en el ángulo de tiro es aún menor. Por ejemplo, para un proyectil cuyo alcance es de 20 km y cuya velocidad media es la misma, el error del ángulo es 25 veces menor.

Imaginemos un tren que viaja por una vía sin rozamiento alrededor del ecuador de la Tierra a la velocidad necesaria para completar una vuelta al mundo en un día (465 m/s).[5] Analizamos el efecto Coriolis en tres casos:

• 1. Cuando se desplaza hacia el oeste.
• 2. Cuando está en reposo.
• 3. Cuando se desplaza hacia el este.

Para cada uno de estos casos calculamos el efecto Coriolis, primero desde el punto de vista de nuestro sistema de referencia en rotación en la Tierra para a continuación comprobar que el resultado es el mismo observando el tren en un sistema de referencia inercial. En la siguiente imagen podemos observar los tres casos en el sistema de referencia inercial vistos desde un punto fijo sobre la tierra en su eje de rotación:

Earth and train

1. El tren viaja hacia el oeste: En este caso el movimiento es en dirección contraria a la de rotación, por lo tanto en el sistema de referencia en rotación de la tierra el término causado por el efecto Coriolis está dirigido hacia el eje de rotación, en el ecuador esto es hacia abajo, aplicando la fórmula del efecto Coriolis el tren y sus pasajeros deberían ser más pesados mientras se desplazan hacia el oeste.

• Si observamos el tren en el sistema de referencia inercial desde el punto fijo sobre el Polo Norte, observamos que a esa velocidad este se mantiene inmóvil mientras que la Tierra rota bajo el tren, por tanto la única fuerza que actúa sobre el tren es la gravedad y la fuerza de reacción de las vías. Esta fuerza es mayor (un 0,34%)[5] que la fuerza total resultante experimentada por el tren cuando está en reposo (y rotando junto con la Tierra). El efecto Coriolis permite explicar esta diferencia en nuestro sistema de referencia en rotación.

2. El tren se para: Desde nuestro punto de vista en la tierra (sistema de referencia en rotación) la velocidad del tren es 0 y por tanto la fuerza derivada de Coriolis es también 0 por lo que tanto el tren como sus pasajeros recuperan su peso normal.

• Desde el punto de vista fijo sobre la Tierra en el sistema de referencia inercial, el tren gira en este caso junto con el resto de la Tierra. Un 0,34 por ciento de la fuerza de la gravedad aporta la fuerza centrípeta necesaria para conseguir el movimiento circular en ese sistema de referencia. El resto de la fuerza que se podría medir usando una báscula, causaría que el tren y sus pasajeros fueran más ligeros que en el caso anterior.

3. El tren cambia su dirección y viaja hacia el este. En este caso al moverse en la misma dirección que la rotación terrestre, el efecto de Coriolis estará dirigido hacia fuera del eje de rotación, es decir, hacia arriba. Esta fuerza causará que el tren y sus pasajeros registren un menor peso que cuando se encontraban en reposo.

Gráfico de la fuerza experimentada por un objeto de 10 kilogramos en función de su velocidad de desplazamiento por el ecuador terrestre (dentro del sistema de referencia en rotación). (Los valores positivos en el eje de fuerza están dirigidos hacia arriba. Los valores positivos en el eje de velocidad están dirigidos hacia el este y los negativos hacia el oeste).

• Visto desde el espacio, en el sistema de referencia inercial el tren al viajar hacia el este sumará su velocidad a la de la tierra y por tanto se verá girando al doble de velocidad que cuando estaba en reposo y por tanto la cantidad de fuerza centrípeta necesaria para mantener el movimiento circular es mayor reduciendo la fuerza neta actuando sobre las vías hacia el centro de la tierra. Esta diferencia de fuerza es la explicada anteriormente por el término de Coriolis en sistema de referencia en rotación.
• Como comprobación final podemos imaginar al propio tren como sistema de referencia en rotación. Ya que el sistema rota al doble de velocidad angular que el de la tierra el componente de fuerza centrífuga en dicho sistema de referencia es mayor que el de la tierra y al estar los pasajeros en reposo en dicho sistema este sería el único componente adicional, explicando de nuevo que el tren y sus pasajeros sean más ligeros que en los dos casos anteriores.

Esto explica por qué los proyectiles a alta velocidad que se disparan hacia el este se desvían hacia arriba mientras que si son disparados hacia el oeste la desviación es hacia abajo. Esta componente vertical del efecto de Coriolis se denomina el Efecto Eötvös.[6]

Podemos usar el ejemplo para explicar por qué el efecto Eötvös comienza a reducirse en objetos que viajan hacia el oeste una vez que su velocidad tangencial supera la velocidad de rotación de la tierra (465 m/s en el ecuador). Si el tren que viaja hacia el oeste en el ejemplo incrementa su velocidad en esa dirección y lo observamos desde el sistema de referencia inercial en el espacio veremos que empieza a rotar alrededor de la tierra que gira debajo en dirección contraria. Para mantener esa trayectoria circular, parte de la fuerza de la gravedad que empuja al tren contra las vías actuaría como fuerza centrípeta. Una vez que el tren doblara su velocidad a 930 m/s la fuerza centrípeta sería igual a la experimentada cuando el tren se encuentra parado. Desde el punto de vista del sistema de referencia inercial en ambos casos el tren está rotando a la misma velocidad (465 m/s) solo que en direcciones opuestas. Por lo tanto la fuerza es la misma y por tanto el efecto Eötvös se cancelaría completamente a esa velocidad. Cualquier objeto que se mueva hacia el oeste a una velocidad superior a 930 m/s no experimentara una desviación hacia abajo, sino hacia arriba. El gráfico de la derecha ilustra la fuerza causada por el efecto Eötvös que experimentaría un objeto de 10 gramos en el tren del ejemplo en función de su velocidad. La forma parabólica del gráfico se explica porque la fórmula de la fuerza centrípeta es proporcional al cuadrado de la velocidad tangencial. En el sistema de referencia inercial la parte de abajo de la parábola estaría centrada en el origen. El desplazamiento del origen se explica porque estamos usando el sistema de referencia en rotación de la tierra. Observando el gráfico podemos comprobar que el efecto Eötvös no es simétrico, y que la fuerza hacia abajo experimentada por un objeto viajando hacia el oeste a gran velocidad es menor que la fuerza hacia arriba experimentada por el mismo objeto viajando en dirección al este a la misma velocidad.