Espacio de Hilbert equipado

Una función como

${\displaystyle x\mapsto e^{ix}\quad }$

que es claramente un vector propio del operador diferencial (que en mecánica cuántica se usa como operador cantidad de movimiento):

${\displaystyle i{\frac {d}{dx}}}$

en la recta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$, no es de cuadrado integrable para la medida de Borel usual en ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Claramente la función exponencial compleja pertenece al espacio vectorial complejo ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} )}$ (que no es un espacio de Hilbert) pero no pertenece al espacio de Hilbert ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ (asociado a la medida de Lebesgue-Borel).

Para poder definir propiedades de ortogonalidad a la función exponencial compleja del ejemplo anterior, se requiere un marco que exceda los límites estrictos de la teoría del espacio de Hilbert. Esto fue provisto por el aparato de distribuciones de Schwartz, y la teoría generalizada de la función propia fue desarrollada en los años 1950.

El concepto del espacio equipado de Hilbert pone esta idea en marco funcional-analítico abstracto. Formalmente, un espacio equipado de Hilbert consiste en el espacio de Hilbert H, junto con un subespacio Φ que lleva una topología más fina, para la cual la inclusión natural o inyección canónica:

${\displaystyle \Phi \hookrightarrow H,}$

es continua. Se puede asumir que ese Φ es denso en H para la norma de Hilbert. Consideramos la inclusión del espacio dual H^* en Φ^*. El último, dual al Φ en su topología de la función de prueba, se realiza como un espacio de distribuciones o de funciones generalizadas de una cierta clase, y los funcionales lineales en el subespacio Φ del tipo:

${\displaystyle \phi \mapsto \langle v,\phi \rangle }$

para v en H se representan fielmente como distribuciones (porque asumimos Φ denso). Ahora aplicando el teorema de representación de Riesz podemos identificar H^* con H. Por lo tanto la definición del espacio equipado de Hilbert es en términos de un sándwich

${\displaystyle \Phi \subseteq H\simeq H^{*}\subseteq \Phi ^{*}.}$

Un espacio de Hilbert equipado es una tripleta ${\displaystyle \scriptstyle ({\mathcal {H}},\Phi ,\langle ,\rangle )}$ donde el par ${\displaystyle \scriptstyle ({\mathcal {H}},\langle ,\rangle )}$ constituye un espacio de Hilbert ordinario y el conjunto ${\displaystyle \scriptstyle \Phi }$ es un espacio vectorial denso en el espacio ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}}$ y no reflexivo (${\displaystyle \scriptstyle \Phi \neq \Phi ^{*}}$) tal que ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}\subseteq \Phi ^{*}}$. Como condición adicional se exigen que ${\displaystyle \scriptstyle \Phi }$ puede ser continuamente encajado en el espacio ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}}$, es decir, que la que inyección canónica i sea continua:

${\displaystyle i:\Phi \to {\mathcal {H}}}$.

Dado que ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}^{*}}$, por ser todo espacio de Hilbert reflexivo, el operador adjunto dado por:

${\displaystyle i^{*}:H\simeq H^{*}\to \Phi ^{*}}$

También debe ser una aplicación continua. La dualidad entre ${\displaystyle \scriptstyle \Phi }$ y ${\displaystyle \scriptstyle \Phi *}$ también debe ser compatible con el producto de ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}}$, en el sentido de que:

${\displaystyle \langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}}$

para cualesquiera ${\displaystyle \scriptstyle u\in \Phi \subset H}$ y ${\displaystyle \scriptstyle v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}}$

La tripleta ${\displaystyle \scriptstyle (\Phi ,\,\,H,\,\,\Phi ^{*})}$ se denomina frecuentemente "terna de Gelfand" (en honor al matemático Izrail Gélfand). Nótese que aunque ${\displaystyle \scriptstyle \Phi }$ es isomorfo a ${\displaystyle \scriptstyle \Phi ^{*}}$ en el que caso de que ${\displaystyle \scriptstyle \Phi }$ sea en sí mismo un espacio de Hilbert, este isomorfismo no es el mismo que la composición de la inyección canónica i con su adjunto i*

${\displaystyle i^{*}\circ i:\Phi \subset H\simeq H^{*}\to \Phi ^{*}.}$

En mecánica cuántica el formalismo de espacios de Hilbert equipados permite tratar de un modo similar los estados ligados de partículas y estados libres (idealizados, o de colisión). Un estado ligado corresponde normalmente a una situación donde una partícula tiene su movimiento restringido a una región finita del espacio, mientras que en un estado libre, más pertinentemente no-ligado, la partícula puede moverse por todo el espacio. Los estados ligados pueden representarse por vectores ordinarios en un espacio de Hilbert de tipo ${\displaystyle \scriptstyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$, mientras que los estados no-ligados al representar partículas cuyo movimiento no se restringe a una función comparte deberán ser modelizados por funciones en general no integrables y que no pertenecen al espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable.

Un ejemplo físico aclara la situación. Si consideramos un átomo de hidrógeno los estados ligados corresponden a los electrones que orbitan alrededor del núcleo y no van mucho más allá del radio atómico, en este caso su energía mecánica total es negativa. Por otro lado un estado libre correspondería a la situación de un electrón con energía positiva se acerca al núcleo del átomo interactúa con él siendo desviado de su trayectoria pero tiene suficiente energía como para no ser capturado por el núcleo continuando así su camino lejos del átomo.

Desde un punto de vista matemático los estados ligados son vectores propios del Hamiltoniano (asociado a valores del espectro puntual del mismo). Por el contrario el espectro continuo del Hamiltoniano, que correspondería a estados libres carece de vectores propios propiamente dichos en un espacio de Hilbert convencional. Si se amplía el espacio de Hilbert convencional con ciertos vectores adicionales, entonces ciertos estados libres físicamente razonables pueden ser tratados como vectores propios generalizados correspondientes al espectro continuo.