Cantidad de movimiento

En un sistema mecánico de partículas aislado (cerrado) en el cual las fuerzas externas son cero, se conserva el momento lineal total del sistema. Esto implica, por ejemplo, que para un conjunto de N partículas con masa ${\displaystyle m_{i}}$ y velocidad ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{i}}$se cumplirá en todo instante que:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}={\text{constante}}}$

Por la tercera ley de Newton, en un sistema mecánico de partículas aislado, en cualquier interacción hay un par de fuerzas de acción y reacción situadas en la misma dirección con igual magnitud y sentidos opuestos. Entonces:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\displaystyle {\mathsf {F}}_{i}=0}$ hoka Como la fuerza es el producto de la masa de la partícula por su aceleración: dividir masa por arire =9rofh9earlm,, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\displaystyle m_{i}a_{i}=0}$

El tiempo es el mismo para todas las partículas, y la aceleración de cada partícula depende de su velocidad (su diferencia) y del tiempo, por ende se puede extraer factor común el tiempo como denominador y luego multiplicar por éste en ambos miembros de la ecuación, eliminando así el tiempo como variable:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}\bigtriangleup v_{i}={\text{0}}}$

Reemplazando la diferencia de velocidad por velocidad final sustraída por velocidad inicial:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}v_{1i}-\sum _{i=1}^{N}m_{i}v_{0i}={\text{0}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}v_{1i}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}v_{0i}}$

En conclusión:

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}P_{1i}=\sum _{i=1}^{N}P_{0i}}$$

En mecánica lagrangiana «si el lagrangiano no depende explícitamente de alguna de las coordenadas generalizadas entonces existe un momento generalizado que se mantiene constante a lo largo del tiempo», resultando por tanto esa cantidad una integral del movimiento, es decir, existe una ley de conservación para dicha magnitud. Pongamos por caso que un sistema mecánico tiene un lagrangiano con n grados de libertad y su lagrangiano no depende de una de ellas. Por ejemplo, la primera de ellas, es decir:

${\displaystyle L:U\subset \mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ,\qquad (\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\mapsto L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=\sum _{i,j}{\dot {q}}_{i}{\frac {g_{ij}(q_{2},...,q_{n})}{2}}{\dot {q}}_{j}\ -\ V(q_{2},...,q_{n})}$

En ese caso, en virtud de las ecuaciones de Euler-Lagrange existe una magnitud conservada ${\displaystyle p_{1}\,}$ que viene dada por:

${\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{1}}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{j}g_{ij}{\dot {q}}_{j}\right)\ -\ 0\Rightarrow p_{1}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}}=\sum _{j}g_{ij}{\dot {q}}_{j}={\mbox{constante}}}$

Si el conjunto de coordenadas generalizadas usado es cartesiano entonces el tensor métrico es la delta de Kronecker ${\displaystyle g_{ij}(q_{2},...,q_{n})=\delta _{ij}}$ y la cantidad ${\displaystyle p_{1}\,}$ coincide con el momento lineal en la dirección dada por la primera coordenada.

En mecánica hamiltoniana existe una forma muy sencilla para determinar si una función que depende de las coordenadas y momentos generalizados da lugar o no a una ley de conservación en términos del paréntesis de Poisson. Para determinar esa expresión calculemos la derivada a lo largo de la trayectoria de una magnitud:

${\displaystyle {\frac {df(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}{dt}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right)=\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)=\{f,H\}_{pq}}$

A partir de esa expresión podemos ver que para «un momento generalizado se conservará constante en el tiempo, si y solo si, el hamiltoniano no depende explícitamente de la coordenada generalizada conjugada» como se puede

${\displaystyle 0={\frac {dp_{j}}{dt}}=\{p_{j},H\}_{pq}=\sum _{i}\left(0\cdot {\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}+\delta _{ij}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)={\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}}$

En teoría de la relatividad la cantidad de movimiento o cuadrimomento se define como un vector P el producto de la cuadrivelocidad U por la masa (en reposo) de una partícula:

${\displaystyle P^{\alpha }=mU^{\alpha }\ =m{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}}$

En relatividad general esta cantidad se conserva si sobre ella no actúan fuerzas exteriores. En relatividad general la situación es algo más compleja y se puede ver que la cantidad de movimiento se conserva para una partícula si esta se mueve a lo largo de una línea geodésica. Para ver esto basta comprobar que la derivada respecto al tiempo propio se reduce a la ecuación de las geodésicas, y esta derivada se anula si y solo si la partícula se mueve a lo largo de una línea de universo que sea geodésica:[5]

${\displaystyle {\frac {dP^{\alpha }}{d\tau }}=U^{\beta }\nabla _{\beta }P^{\alpha }=U^{\beta }\left[m{\frac {dU^{\alpha }}{dx^{\beta }}}+m\Gamma _{\gamma \beta }^{\alpha }U^{\gamma }\right]=m\left[{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\gamma \beta }^{\alpha }{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\right]}$

En general para un cuerpo macroscópico sólido de cierto tamaño en un campo gravitatorio que presenta variaciones importantes de un punto a otro del cuerpo no es posible que cada una de las partículas siga una línea geodésica sin que el cuerpo se fragmente o perdiendo su integridad. Esto sucede por ejemplo en regiones del espacio-tiempo donde existen fuertes variaciones de curvatura. Por ejemplo en la caída dentro de un agujero negro, las fuerzas de marea resultantes de la diferente curvatura del espacio-tiempo de un punto a otro despedazarían un cuerpo sólido cayendo dentro de un agujero negro.

Como es sabido en mecánica cuántica una cantidad se conserva si el operador autoadjunto que representa a dicha magnitud u observable conmuta con el hamiltoniano, de modo similar a como en mecánica hamiltoniana una magnitud se conserva si el paréntesis de Poisson con el hamiltoniano se anula. Tomando como espacio de Hilbert del sistema de una partícula dentro de un potencial una representación de tipo ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$. Se tiene que:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {p}}_{i}}{dt}}=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {p}}_{i},{\hat {H}}]=-{\boldsymbol {\nabla }}V(x_{i})}$

Por tanto, si el potencial no depende de las coordenadas ${\displaystyle x_{i}}$, entonces la cantidad de movimiento de la partícula se conserva. Además, la última expresión es formalmente equivalente a la del caso clásico en términos del paréntesis de Poisson. Teniendo en cuenta claro está, que este es el hamiltoniano cuántico, y que las cantidades físicas, no son las mismas que en la mecánica clásica, sino operadores que representan las cantidades clásicas (observables).