Paradoja de Banach-Tarski

El grupo libre con dos generadores, ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$, consiste en todas las cadenas finitas que se pueden formar a partir de los cuatro símbolos ${\displaystyle a,a^{-1},b}$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): b^{-1} , tales que ninguna ${\displaystyle a}$ aparece directamente junto a una ${\displaystyle a^{-1}}$ y ninguna ${\displaystyle b}$ aparece junto a una ${\displaystyle b^{-1}}$. Dos de estas cadenas pueden concatenarse y convertirse en una cadena de este tipo reemplazando repetidamente las subcadenas "prohibidas" por la cadena vacía. Por ejemplo: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): abab^{-1}a^{-1} concatenada con ${\displaystyle abab^{-1}a}$ resulta en ${\displaystyle abab^{-1}a^{-1}a}$. Se puede comprobar que el conjunto formado por estas cadenas con esta operación forma un grupo con elemento identidad, la cadena vacía ${\displaystyle e}$. Llamaremos a este grupo ${\displaystyle F_{2}}$.

Los conjuntos ${\displaystyle S(a^{-1})}$ y ${\displaystyle aS(a^{-1})}$ en el grafo de Cayley de ${\displaystyle F_{2}}$

El grupo ${\displaystyle F_{2}}$ puede "descomponerse paradójicamente" como sigue: Sea ${\displaystyle S(a)}$ el conjunto de todas las cadenas no prohibidas que empiezan por ${\displaystyle a}$ y defínase ${\displaystyle S(a^{-1}),S(b)}$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): S(b^{-1}) de forma similar. Entonces,

${\displaystyle F_{2}=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})}$

pero también

${\displaystyle F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a),\,}$

y además,

${\displaystyle F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b).\,}$

La notación ${\displaystyle aS(a^{-1})}$ significa "tomar todas las cadenas de ${\displaystyle S(a^{-1})}$ y concatenarlas a la izquierda con ${\displaystyle a}$".

Asegúrese de que se entiende esta última línea, porque es el núcleo de la demostración. Por ejemplo, puede haber una cadena ${\displaystyle aa^{-1}b}$ en el conjunto ${\displaystyle aS(a^{-1})}$ el cual, debido a la regla de que ${\displaystyle a}$ no debe aparecer junto a ${\displaystyle a^{-1}}$, queda reducida a la cadena Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): b . Análogamente, contiene todas las cadenas que empiezan con ${\displaystyle a^{-1}}$ (por ejemplo la cadena ${\displaystyle aa^{-1}a^{-1}}$ que queda reducida a ${\displaystyle a^{-1}}$. Así, ${\displaystyle aS(a^{-1})}$ contiene todas las cadenas que empiezan con ${\displaystyle b,b^{-1}}$ y ${\displaystyle a^{-1}}$.

Hemos cortado nuestro grupo ${\displaystyle F_{2}}$ en cuatro piezas (más el solitario ${\displaystyle {\big \{}e{\big \}}}$), después hemos "trasladado" dos de ellas multiplicando por ${\displaystyle a}$ o por ${\displaystyle b}$, después hemos "reensamblado" dos piezas para hacer una copia de ${\displaystyle F_{2}}$ y las otras dos para hacer otra copia de ${\displaystyle F_{2}}$. Eso es exactamente lo que queremos hacer a la bola.

Para encontrar el grupo libre de rotaciones del espacio en 3D, es decir, que se comporta (o "es isomorfo al") grupo libre ${\displaystyle F_{2}}$, se toman dos ejes ortogonales, por ejemplo los ejes ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle z}$, y sea ${\displaystyle A}$ una rotación de ${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)}$ sobre el primero, el eje ${\displaystyle x}$, y ${\displaystyle B}$ una rotación de ${\displaystyle \theta }$ sobre el eje ${\displaystyle z}$.

El grupo de rotaciones generado por ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ se llamará ${\displaystyle H}$. Sea ${\displaystyle \omega }$ un elemento de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): H que empieza con una rotación sobre el eje ${\displaystyle z}$, de la forma ${\displaystyle \omega =\ldots A^{k_{1}}B^{k_{2}}\ldots B^{n}}$.

Puede comprobarse por inducción que ${\displaystyle \omega }$ mapea el punto ${\displaystyle (1,0,0)}$ a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): \left(\frac a {3^n}, \frac{b\sqrt 2}{3^n}, \frac c {3^n}\right) , donde ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} }$, y ${\displaystyle b\neq 0}$. El mismo argumento repetido (por la simetría del problema) es válido para el ángulo opuesto, así como para el eje ${\displaystyle x}$. Esto muestra que para cada palabra no trivial ${\displaystyle \rho \in H,\Rightarrow \rho \neq e}$. Como consecuencia de ello el grupo ${\displaystyle H}$ es un grupo libre, isomorfo a ${\displaystyle F}$.

Las dos rotaciones se comportan exactamente como los elementos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ en el grupo ${\displaystyle F_{2}}$: Ahora se tiene una descomposición paradójica de ${\displaystyle H}$.

Este paso no puede realizarse con dimensión=2 ya que incluye rotaciones en 3D. Si se toman dos rotaciones sobre el mismo eje el grupo resultante es conmutativo y no tiene la propiedad requerida en el paso 1.

Una demostración alternativa de la existencia de grupos libres en algunos grupos ortogonales especiales usando cuaterniones integrales lleva a descomposiciones paradójicas del grupo de rotación.[9]

La esfera unidad ${\displaystyle S^{2}}$ se parte en órbitas por la acción de nuestro grupo ${\displaystyle H}$: dos puntos pertenecen a la misma órbita si y solo si existe una rotación en ${\displaystyle H}$ que mueve el primer punto hasta el segundo. (Nótese que la órbita de un punto es un conjunto denso en ${\displaystyle S^{2}}$.) Se puede utilizar el AE para escoger exactamente un punto de cada órbita; reunir estos puntos en un conjunto ${\displaystyle M}$. Ahora (casi) todo punto de ${\displaystyle S^{2}}$ puede ser alcanzado exactamente por un camino aplicando la rotación correspondiente de ${\displaystyle H}$ al correspondiente elemento de ${\displaystyle M}$ y, debido a esto, la descomposición paradójica de ${\displaystyle H}$ da como resultado una descomposición paradójica de ${\displaystyle S^{2}}$ en cuatro piezas, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): A_1, A_2, A_3, A_4 como sigue:

${\displaystyle A_{1}=S(a)M\cup M\cup B}$

${\displaystyle A_{2}=S(a^{-1})M\setminus B}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): \displaystyle A_3=S(b)M

${\displaystyle \displaystyle A_{4}=S(b^{-1})M}$

donde usamos la notación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): S(a)M = \{s(x) | s \in S(a), x\in M\}

y análogamente para los otros conjuntos y definimos

${\displaystyle B=a^{-1}M\cup a^{-2}M\cup \dots }$

(No utilizamos las cinco partes "paradójicas" de ${\displaystyle F_{2}}$ directamente, porque nos dejaría con ${\displaystyle M}$ como una pieza extra después de doblar, ¡debido a la presencia del solitario ${\displaystyle {\big \{}e{\big \}})}$

La (mayoría de la) esfera ha sido dividida ahora en cuatro conjuntos (cada uno de ellos denso en la esfera), y cuando dos de estos se rotan, acabamos con el doble de lo que teníamos antes:

${\displaystyle aA_{2}=A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}}$

${\displaystyle bA_{4}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{4}}$

Finalmente, conéctese cada punto de ${\displaystyle S^{2}}$ con un rayo al origen; la descomposición paradójica de ${\displaystyle S^{2}}$ entonces resulta en una descomposición paradójica de la bola unidad sólida menos el punto del centro de la bola (este punto central es un poco más delicado, ver abajo).

N.B. Esta idea pasa por alto algunos detalles. Se ha de tener cuidado con el conjunto de puntos de la esfera que casualmente se encuentran en el eje de alguna rotación en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): H . Sin embargo, solo hay un número finito de tales puntos y, como el punto central de la esfera, es posible acomodar la demostración para que los tenga a todos en cuenta (ver abajo).

En el paso 3, partimos la esfera en órbitas de nuestro grupo ${\displaystyle H}$. Para simplificar la demostración, omitimos la discusión de puntos que están fijos para alguna rotación; como la descomposición paradójica de ${\displaystyle F_{2}}$ se basa en trasladar ciertos subconjuntos, el hecho de que algunos puntos estén fijos podría causar algún problema. Como cada rotación de ${\displaystyle S^{2}}$ (diferente de la rotación nula) tiene exactamente dos puntos fijos, y como ${\displaystyle H}$, el cual es isomorfo a ${\displaystyle F_{2}}$, es enumerable, existe un número finito de puntos de ${\displaystyle S^{2}}$ que son fijos para alguna rotación en ${\displaystyle H}$, llámese a este conjunto ${\displaystyle D}$. El paso 3 demuestra que ${\displaystyle S^{2}\setminus D}$ admite una descomposición paradójica.

Lo que queda por ver es lo que se proclama: ${\displaystyle S^{2}\setminus D}$ es equidescomponible con ${\displaystyle S^{2}}$.

Demostración

Sea ${\displaystyle \lambda }$ una recta que pasa por el origen y que no incluye ningún punto de ${\displaystyle D}$ - esto es posible ya que ${\displaystyle D}$ es enumerable. Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): J el conjunto de ángulos, ${\displaystyle \alpha }$, tales que para algún número natural ${\displaystyle n}$, y un ${\displaystyle P\in D,r(n\alpha )P\in D}$, donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): r(n\alpha) es una rotación sobre ${\displaystyle \lambda }$ de ${\displaystyle n\alpha \Rightarrow J}$ es enumerable ${\displaystyle \Rightarrow \exists \theta \not \in J}$. Sea ${\displaystyle \rho }$ la rotación sobre ${\displaystyle \lambda }$ por ${\displaystyle \theta }$, entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): \rho actúa sobre ${\displaystyle S^{2}}$ sin ningún punto fijo en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): D , es decir, ${\displaystyle \rho ^{n}(D)}$ es disjunto con ${\displaystyle D}$, y ${\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} {\big |}m<n,\rho ^{n}(D)\cap \rho ^{m}(D)=\varnothing }$. Sea ${\displaystyle E=\bigsqcup _{n=0}^{k-1}\rho ^{n}\Rightarrow S^{2}=E\cup {\big (}S^{2}\setminus E{\big )}\sim \rho {\big (}E{\big )}\cup {\big (}S^{2}\setminus E{\big )}={\big (}E\setminus D{\big )}\cup {\big (}S^{2}\setminus E{\big )}=S^{2}\setminus D}$ donde "${\displaystyle \sim }$" quiere decir "es equidescomponible a".

Para el paso 4, ya se ha visto que la bola menos un punto admite una descomposición paradójica; queda por ver que la bola menos un punto es equidescomponible con la bola. Considérese un círculo dentro de la bola, que contenga el punto del centro de la bola. Mediante un argumento como el utilizado para demostrar el enunciado, se puede ver que el círculo entero es equidescomponible con el círculo menos el punto del centro de la bola. (Básicamente, un conjunto enumerable de puntos del círculo puede rotarse para dar un punto más.) Nótese que esto implica la rotación alrededor de un punto diferente del origen, es decir, la paradoja de Banach-Tarski conlleva más bien isometrías del 3-espacio euclídeo que no solo de SO(3).

Estamos utilizando el hecho de que si ${\displaystyle A\sim B\land B\sim C\Rightarrow A\sim C}$. La descomposición de ${\displaystyle A}$ en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): C puede hacerse usando un número de piezas igual al producto de los números necesarios para transformar ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): B en ${\displaystyle C}$.

La demostración cuyo boceto hemos visto arriba requiere ${\displaystyle {\big (}2\times 4\times 2+8{\big )}}$piezas${\displaystyle =24}$ piezas, un factor de dos para quitar puntos fijos, un factor de cuatro del paso 1, un factor dos para recrear puntos fijos y ocho por el punto central de la segunda bola. Pero en el paso 1 cuando movemos ${\displaystyle {\big \{}e{\big \}}}$ y todas las cadenas de la forma ${\displaystyle a^{n}}$ en ${\displaystyle S{\big (}a^{-1}{\big )}}$, lo hacemos para todas las órbitas excepto una. Movemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): \big \{e\big \} de esta última órbita al punto central de la segunda bola. Esto conlleva un total de ${\displaystyle (16+1)}$piezas. Con más álgebra se pueden descomponer órbitas fijas en cuatro conjuntos como en el paso 1. Esto da cinco piezas y es la mejor cantidad posible.

• 2000. El artículo de von Neumann dejó abierta la posibilidad de una descomposición paradójica del interior del cuadrado unidad respecto al grupo lineal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): SL\big (2,\mathbf{R}\big ) (Wagon, pregunta 7.4). En 2000, Miklós Laczkovich demostró que semejante descomposición existe.[12] Con mayor precisión, sea ${\displaystyle A}$ la familia de todos los subconjuntos acotados del plano con interior no vacío y distancia positiva desde el origen, y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): B la familia de todos los conjuntos planos con la propiedad de que una unión de un número finito de ellos se traslada a algunos elementos de ${\displaystyle SL{\big (}2,\mathbf {R} {\big )}}$ y contiene una vecindad horadada del origen. Entonces todos los conjuntos en la familia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): A son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): SL\big (2,\mathbf{R}\big ) -equidescomponibles, y análogamente para los conjuntos de ${\displaystyle B}$. De ello se deduce que ambas familias consisten en conjuntos paradójicos.
• 2003. Durante mucho tiempo se supo que todo el plano era paradójico respecto a ${\displaystyle SA_{2}}$, y que el número mínimo de piezas igualaría cuatro suponiendo que existe un subgrupo libre localmente conmutativo de ${\displaystyle SA_{2}}$. En 2003 Kenzi Satô construyó ese subgrupo, confirmando que con cuatro piezas bastaba.[13]