Proceso estocástico

Muchos campos utilizan observaciones en función del tiempo (o, más raramente, de una variable espacial). En los casos más sencillos, estas observaciones dan lugar a una curva bien definida. En realidad, desde las ciencias de la tierra hasta las humanidades, las observaciones suelen producirse de forma más o menos errática. Por lo tanto, la interpretación de estas observaciones está sujeta a una cierta incertidumbre, que puede reflejarse en el uso de probabilidades para representarlas.

Un proceso aleatorio generaliza la noción de variable aleatoria utilizada en probabilidad. Se define como una familia de variables aleatorias X(t) asociadas a todos los valores t ∈ T (a menudo tiempo).

Desde un punto de vista estadístico, consideramos todas las observaciones disponibles x(t) como una realización del proceso, lo que da lugar a ciertas dificultades. Un primer problema se refiere al hecho de que la duración sobre la que se construye el proceso es generalmente infinita, mientras que una realización abarca una duración finita. Por lo tanto, es imposible representar la realidad a la perfección. Una segunda dificultad, mucho más grave, es que, a diferencia del problema de las variables aleatorias, la información disponible sobre un proceso se reduce generalmente a una única realización.

Se suele distinguir entre procesos de tiempo discreto y continuo, con valores discretos y continuos.

Si el conjunto T es contable, se llama proceso discreto o serie temporal, si el conjunto es incontable se llama proceso continuo. La diferencia no es fundamental: en particular, la estacionariedad, la constancia de las propiedades estadísticas en función del tiempo, se define de la misma manera. Ni siquiera se trata de una diferencia práctica, ya que los cálculos sobre un proceso continuo se realizan mediante el muestreo de una realización del proceso. La diferencia está más bien en la actitud hacia el uso de una única realización.

Hay una diferencia algo más marcada entre los procesos de valor continuo y los procesos de recuento de valor discreto. Estos últimos sustituyen las integrales utilizadas por los primeros por sumas algebraicas.

Los siguientes son ejemplos dentro del amplio grupo de las series temporales:

• señales de telecomunicación;
• señales biomédicas (electrocardiograma, encefalograma, etc.);
• señales sísmicas;
• el número de manchas solares año tras año;
• el índice de la bolsa segundo a segundo;
• la evolución de la población de un municipio año tras año;
• el tiempo de espera en la cola de cada uno de los usuarios que van llegando a una ventanilla;
• el clima, un gigantesco conjunto de procesos estocásticos interrelacionados (velocidad del viento, humedad del aire, etcétera) que evolucionan en el espacio y en el tiempo;
• los procesos estocásticos de orden mayor a uno, como el caso de una serie de tiempo de orden 2 y una correlación de cero con las demás observaciones.

Un proceso estocástico se puede definir equivalentemente de dos formas diferentes:

• Como un conjunto de realizaciones temporales y un índice aleatorio que selecciona una de ellas.
• Como un conjunto de variables aleatorias ${\displaystyle X_{t}\,}$ indexadas por un índice ${\displaystyle t\,}$, dado que ${\displaystyle t\in T\,}$, con ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} \,}$.

Un proceso se dice «de tiempo continuo» si ${\displaystyle T\,}$ es un intervalo (usualmente este intervalo se toma como ${\displaystyle [0,\infty )}$) o de "tiempo discreto" si ${\displaystyle T\,}$ es un conjunto numerable (solamente puede asumir determinados valores, usualmente se toma ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {N} }$). Las variables aleatorias ${\displaystyle X_{t}\,}$ toman valores en un conjunto que se denomina espacio probabilístico. Sea ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}},P)}$ un espacio probabilístico. En una muestra aleatoria de tamaño ${\displaystyle n}$ se observa un suceso compuesto ${\displaystyle E}$ formado por sucesos elementales ${\displaystyle \omega }$:

${\displaystyle E=\{\omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}\}\subset \Omega \,}$, de manera que ${\displaystyle E\in B\,}$.

El suceso compuesto es un subconjunto contenido en el espacio muestral y es un álgebra de Borel ${\displaystyle B}$. A cada suceso ${\displaystyle \omega }$ le corresponde un valor de una variable aleatoria ${\displaystyle V}$, de manera que ${\displaystyle V}$ es función de ${\displaystyle \omega }$:

${\displaystyle V=V(\omega );\qquad \omega \in \Omega ,\,-\infty <V<\infty }$

El dominio de esta función o sea el campo de variabilidad del suceso elemental, es el espacio muestral, y su recorrido, o sea el de la variable aleatoria, es el campo de los números reales. Se llama proceso aleatorio al valor en ${\displaystyle (A,{\mathcal {A}})}$ de un elemento ${\displaystyle X=(\Omega ,{\mathcal {B}},(X_{t})_{t\geq 0},P)}$, donde para todo ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ,X_{t}\,}$ es una variable aleatoria del valor en ${\displaystyle (A,{\mathcal {A}})}$.

Si se observa el suceso ${\displaystyle \omega }$ en un momento ${\displaystyle t}$ de tiempo:

${\displaystyle V=V(\omega ,t),\qquad \omega \in \Omega ,t\in T,-\infty <V<\infty }$.

${\displaystyle V}$ define así un proceso estocástico.[35]

Si ${\displaystyle ({\mathcal {B}}_{t})_{t}\,}$ es una filtración,[36] se llama proceso aleatorio adaptado, al valor en ${\displaystyle (A,{\mathcal {A}})}$, de un elemento ${\displaystyle X=(\omega ,{\mathcal {B}},{\mathcal {B}}_{t},(X_{t})_{t},P)}$, donde ${\displaystyle X_{t}\,}$ es una variable aleatoria ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{t}}$ -medible del valor en ${\displaystyle (A,{\mathcal {A}})}$. La función ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow A\$ :\ t\mapsto X_{t}(\omega )} se llama la trayectoria asociada al suceso ${\displaystyle \omega \,}$.

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