Relaciones métricas en el triángulo

En matemáticas, el teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:

La altura del triángulo rectángulo ABC (véase Figura 1) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que

${\displaystyle {\frac {h}{n}}={\frac {m}{h}}}$

Figura 1: Teorema de la altura.

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por ${\displaystyle hn}$ se tiene:

${\displaystyle h^{2}=m\,n\,}$

por lo que

(1)${\displaystyle h={\sqrt {m\,n}}}$

La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase Figura 1) también puede obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuación (1) del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.

${\displaystyle m={\frac {b^{2}}{a}}\,}$    ;    ${\displaystyle n={\frac {c^{2}}{a}}\,}$

(h2)${\displaystyle h={\sqrt {m\,n}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{a}}{\frac {c^{2}}{a}}}}}$

lo que al simplificar en el último término de la ecuación (h2) la raíz con los cuadrados nos conduce a :

(h3)${\displaystyle h={\frac {b\,c}{a}}}$

Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la hipotenusa.

La ecuación (h3) nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema :

Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.

El teorema del cateto establece lo siguiente:

Este teorema (véase Figura 1) puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:

${\displaystyle b^{2}\ =\ c\;m}$

${\displaystyle a^{2}\ =\ c\;n}$

Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.

Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.

Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes:

1. Todos tienen un ángulo recto.
2. Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.
3. Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.

Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.

Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:

• Por la semejanza entre los triángulos ΔACH y ΔABC

${\displaystyle {\frac {b}{m}}={\frac {c}{b}}}$

de dónde,

${\displaystyle b^{2}\ =\ cm}$

• Por la semejanza entre los triángulos ΔBCH y ΔABC

${\displaystyle {\frac {a}{n}}={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle a^{2}\ =\ cn}$

y el teorema queda demostrado.

Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir el «corolario 1» basta con despejar en cada una de ellas, la respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo estas m y n:

${\displaystyle b^{2}\ =\ c\;m\;\;\;\;;\;\;\;\;a^{2}\ =\ c\;n}$

en las que al despejar respectivamente m y n producen las ecuaciones del «corolario 1»:

${\displaystyle m={\frac {b^{2}}{c}}\;\;\;\;;\;\;\;\;n={\frac {a^{2}}{c}}}$

donde m es la proyección ortogonal del cateto b sobre la hipotenusa c (véase figura 1) y n es la proyección ortogonal del cateto a también sobre la hipotenusa c.

En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo ${\displaystyle \alpha \;}$ con vértice en A, son:

El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

${\displaystyle {\text{sen}}(\alpha )={\frac {a}{c}}}$

El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

${\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {b}{c}}}$

La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

${\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {a}{b}}}$

fig. ar1: Relación entre el rectángulo y dos de las tres alturas (la de los catetos) de un triángulo rectángulo.

Se puede considerar el área de un triángulo rectángulo como la mitad del área de un rectángulo partido por su diagonal, véase fig. ar1, (o un cuadrado si el triángulo rectángulo es además isósceles).

(A1)${\displaystyle A={\frac {b\cdot a}{2}}}$

donde a y b de la ecuación (A1) representan las medidas de los dos catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo (véase fig. ar1).

En todo triángulo rectángulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectiva altura del otro. Asumiendo que a = cateto1 y b = cateto2 se puede escribir una versión equivalente de ecuación (A1) de la siguiente manera:

${\displaystyle A={\frac {cateto1\cdot cateto2}{2}}}$

La demostración anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho más general que vale para todo triángulo (no solo para los triángulos rectángulos); Y esta es la "proposición I.41[2] de Euclides, la cual se basa en el concepto más general de paralelogramo y no se restringe al rectángulo. Dicha proposición I.41 extiende la validez de la ecuación (A1) a todo triángulo.

En cualquier triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo equivale a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre él[3][4]

primer teorema de Euclides.jpg

${\displaystyle a^{2}=c^{2}+b^{2}-2.b.n\,}$

siendo n la proyección de c sobre b

${\displaystyle a^{2}=c^{2}+b^{2}-2.c.p\,}$

donde p es la proyección de b sobre c

Euclides notó que aunque no se generen triángulos semejantes al trazar la altura se generan dos triángulos rectángulos en los cuales se puede aplicar el teorema de Pitágoras:

empezamos en el triángulo de la izquierda

${\displaystyle a^{2}=h^{2}+m^{2}\,}$

luego despejamos la altura

${\displaystyle h^{2}=a^{2}-m^{2}\,}$

pero m=b-n

${\displaystyle h^{2}=a^{2}-(b-n)^{2}\,}$

en el triángulo de la derecha

${\displaystyle c^{2}=h^{2}+n^{2}\,}$

despejando la altura

${\displaystyle h^{2}=c^{2}-n^{2}\,}$

eso quiere decir que:

${\displaystyle a^{2}-(b-n)^{2}=c^{2}-n^{2}\,}$

elevando el binomio al cuadrado:

${\displaystyle a^{2}-b^{2}+2.b.n-n^{2}=c^{2}-n^{2}\,}$

simplificando:

${\displaystyle a^{2}-b^{2}+2.b.n=c^{2}\,}$

despejando:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2.b.n\,}$

análogamente:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2.b.m\,}$

En un triángulo obtusángulo, el lado opuesto al ángulo obtuso al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos más el doble de la base por la proyección de la altura trazada desde uno de los ángulos menores.

${\displaystyle a^{2}=c^{2}+b^{2}+2.b.n\,}$

Euclides notó que al trazar la altura exterior se generan dos triángulos rectángulos (AHC y BCH).

Nos fijamos en el más pequeño (AHC):

${\displaystyle c^{2}=h^{2}+n^{2}\,}$.

Despejando la altura resulta:

${\displaystyle c^{2}-n^{2}=h^{2}\,}$ .

Pasemos al triángulo BHC:

${\displaystyle a^{2}=h^{2}+(b+n)^{2}\,}$.

Despejando la altura queda:

${\displaystyle a^{2}-(b+n)^{2}=h^{2}\,}$.

Eso quiere decir que:

${\displaystyle a^{2}-(b+n)^{2}=c^{2}-n^{2}\,}$.

Elevando el binomio al cuadrado

${\displaystyle a^{2}-b^{2}-2.b.n-n^{2}=c^{2}-n^{2}\,}$,

y simplificando

${\displaystyle a^{2}-b^{2}-2.b.n=c^{2}\,}$.

Despejando a²:

${\displaystyle a^{2}=c^{2}+b^{2}+2.b.n\,}$

Diagrama del teorema de Stewart.

Stewart dice que el producto resultante entre una ceviana de un triángulo al cuadrado y de la base de este es igual a la al cuadrado por la proyección del cateto opuesto más la suma del segundo cateto al cuadrado por la proyección del cateto opuesto a este menos el producto resultante entre las multiplicación de las proyecciones de los catetos y la base.

Su formulación matemática es:

${\displaystyle d^{2}a=nc^{2}+mb^{2}-nma\,}$

Donde b y c son los lados "laterales" respecto a la ceviana d correspondiente al lado a, n y m los segmentos de la base designados por la misma ceviana.

fig.m1: Esquema con áreas → ( ${\displaystyle {\scriptstyle {\color {Red}a^{2}}\;+\;{\color {Orange}b^{2}}\;=\;{\color {Blue}{\frac {1}{2}}\;c^{2}}\;+\;{\color {OliveGreen}2\;M^{2}}}}$ ).

En geometría, el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados.

Para cualquier triángulo ΔABC (véase fig. m1), si M es la mediana correspondiente al lado c, donde AP = PB = ½ c, entonces :

${\displaystyle a^{2}+b^{2}={\frac {1}{2}}\;c^{2}+2\;M^{2}}$

Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo), estas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, a un cuarto elemento desconocido, (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla) :

Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )

${\displaystyle M_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left(b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}}}}$
${\displaystyle M_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left(a^{2}+c^{2}\right)-b^{2}}}}$
${\displaystyle M_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)-c^{2}}}}$
${\displaystyle a={\sqrt {2\left(b^{2}+c^{2}\right)-4M_{a}^{2}}}}$	${\displaystyle b={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2M_{a}^{2}}}}$	${\displaystyle c={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2M_{a}^{2}}}}$
${\displaystyle a={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2M_{b}^{2}}}}$	${\displaystyle b={\sqrt {2\left(a^{2}+c^{2}\right)-4M_{b}^{2}}}}$	${\displaystyle c={\sqrt {-a^{2}+{\frac {b^{2}}{2}}+2M_{b}^{2}}}}$
${\displaystyle a={\sqrt {-b^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}+2M_{c}^{2}}}}$	${\displaystyle b={\sqrt {-a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}+2M_{c}^{2}}}}$	${\displaystyle c={\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)-4M_{c}^{2}}}}$
( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: Ma, Mb y Mc )[5] — ( Semilados: ma=na = ½ a , mb=nb = ½ b y mc=nc = ½ c ).

En un triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de esta, (véase Corolario 1 del teorema segundo de Tales), asumiremos para la ecuación siguiente que dicha hipotenusa se denomina c).

${\displaystyle M_{c}={\frac {c}{2}}}$

Donde M es la mediana correspondiente a la hipotenusa denominada c.

donde ${\displaystyle s_{a},s_{b},s_{c}}$ son las simedianas respecto a los lados ${\displaystyle a,b,c}$ de un triángulo[6]

${\displaystyle s_{a}={\frac {bc}{b^{2}+c^{2}}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}}$

${\displaystyle s_{b}={\frac {ac}{a^{2}+c^{2}}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-b^{2}}}}$

${\displaystyle s_{c}={\frac {ab}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}$

${\displaystyle x^{2}=a\cdot c-m\cdot n\,}$

Donde:

X:Bisectriz interior

por el teorema de semejanza en la bisectriz interior

${\displaystyle {\frac {a}{m}}={\frac {c}{n}}\,}$

despejando

${\displaystyle a\cdot n=c\cdot m\,}$

por el teorema de Stewart:

${\displaystyle X^{2}(m+n)=a^{2}n+c^{2}m-(m+n)mn\,}$

reemplazando an por cn

${\displaystyle X^{2}(m+n)=acm+acn-(m+n)mn\,}$

despejando

${\displaystyle x^{2}=a\cdot c-m\cdot n\,}$

La bisectriz exterior de un triángulo al cuadrado es igual al producto de los segmentos deteriminados por la bisectriz menos el producto de los lados.

${\displaystyle x^{2}=m\cdot n-a\cdot c\,}$

Donde:

X:Bisectriz exterior:

Recordando el teorema de semejanza en la bisectriz interior

${\displaystyle {\frac {a}{m}}={\frac {c}{n}}\,}$

despejando

${\displaystyle a\cdot n=c\cdot m\,}$

Luego, ejecutando el teorema de Stewart:

${\displaystyle a^{2}m=X^{2}(m-n)+c^{2}n-(m-n)mn\,}$

reemplazando an por cn:

${\displaystyle acm=X^{2}(m-n)+acn-(m-n)mn\,}$

luego

${\displaystyle ac(m-n)=X^{2}(m-n)+acm-(m-n)mn\,}$

despejando, resulta que:

${\displaystyle x^{2}=m\cdot n-a\cdot c\,}$

También conocido como el teorema de Herón. La altura de un triángulo es igual a:

${\displaystyle Hb={\frac {2}{b}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

Aplicando el primer teorema de Euclides:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot (HC)\,}$

despejando HC:

${\displaystyle (HC)={\frac {1}{2b}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})}$

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo BHC:

${\displaystyle Hb^{2}=c^{2}-(HC)^{2}\,}$

Aplicando diferencia de cuadrados

${\displaystyle Hb^{2}=(c-(HC))(c+(HC))\,}$

transformando HC

${\displaystyle Hb^{2}=(c-{\frac {1}{2b}}(b^{2}+c^{2}-a^{2}))(c+{\frac {1}{2b}}(b^{2}+c^{2}-a^{2}))\,}$

Sumando:

${\displaystyle Hb^{2}=({\frac {1}{2b}}(b^{2}-2bc+c^{2}-a^{2}))({\frac {1}{2b}}(b^{2}+2bc+c^{2}-a^{2}))\,}$

ejecutando el binomio al cuadrado:

${\displaystyle Hb^{2}=({\frac {1}{2b}}((b-c)^{2}-a^{2}))({\frac {1}{2b}}((b+c)^{2}-a^{2}))\,}$

ejecutando la diferencia de cuadrados y transponiendo el ${\displaystyle (2b)^{2}}$

${\displaystyle 4b^{2}Hb^{2}=(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)\,}$

para a+b+c = 2p

${\displaystyle 4b^{2}Hb^{2}=16(p)(p-a)(p-c)(p-b)\,}$

despejando la altura expulsa que

${\displaystyle Hb={\frac {2}{b}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

En todo cuadrilátero inscriptible el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos del cuadrilátero

${\displaystyle D1\cdot D2=ac+bd\,}$

Donde:

D1, D2: Diagonales del cuadrilátero

a, b, c, d : Lados del cuadrilátero

En todo cuadrilátero inscrito la relación de las diagonales es igual a la relación entre la suma de los productos de las longitud de sus lados que forman a los extremos de las diagonales.

${\displaystyle {\frac {D1}{D2}}={\frac {(ad+bc)}{ab+cd}}}$

Donde:

D1, D2: Diagonales del cuadrilátero

a, b, c, d : Lados del cuadrilátero

En todo cuadrilátero convexo la suma de los cuadrados de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales más el cuádruple del cuadrado del segmento que conecta los puntos medios de las diagonales

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+4m^{2}\,}$

Siendo:

${\displaystyle d_{1},d_{2}}$: diagonales del cuadrilátero

${\displaystyle a,b,c,d}$: lados del cuadrilátero

m: segmento que une los puntos medios de las diagonales.