Viga

Si se calculan las componentes del tensor de deformaciones a partir de estos desplazamientos, se llega a:

${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}=-y{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}\qquad \varepsilon _{yy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=0\qquad \varepsilon _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)={0}}$

A partir de estas deformaciones se pueden obtener las tensiones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke, asumiendo ${\displaystyle \sigma _{yy}={0},\sigma _{zz}={0}}$:

${\displaystyle \sigma _{xx}=-Ey{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}\qquad \sigma _{xy}={0}}$

donde E es el módulo de elasticidad longitudinal, o módulo de Young, y G el módulo de elasticidad transversal. Es claro que la teoría de Euler-Bernoulli es incapaz de aproximar la energía de deformación tangencial, para tal fin deberá recurrirse a la teoría de Timoshenko, en la cual:

${\displaystyle \varepsilon _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {dw}{dx}}-\theta _{z}\right)}$

a partir de los resultados anteriores y de las ecuaciones de equivalencia pueden obtenerse sencillamente el esfuerzo normal, el esfuerzo cortante y el momento flector al que está sometida una sección de una viga sometida a flexión simple en la teoría de Euler-Bernouilli:

${\displaystyle N_{x}=\int _{\Sigma }\sigma _{xx}dydz=0\qquad V_{y}=\int _{\Sigma }\sigma _{xy}dydz=2GA{\frac {dw}{dx}}\qquad M_{z}=\int _{\Sigma }y\sigma _{xx}dydz=EI_{z}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}}$

donde: A área de la sección transversal, I_z el momento de inercia según el eje respecto al cual se produce la flexión. La última de estas ecuaciones es precisamente la ecuación de la curva elástica, una de las ecuaciones básicas de la teoría de vigas que relaciona los esfuerzos internos con el campo de desplazamientos verticales.

Las ecuaciones de equilibrio para una viga son la aplicación de las ecuaciones de la estática a un tramo de viga en equilibrio. Las fuerzas que intervienen sobre el tramo serían la carga exterior aplicada sobre la viga y las fuerzas cortantes actuantes sobre las secciones extremas que delimitan el tramo. Si el tramo está en equilibrio eso implica que la suma de fuerzas verticales debe ser cero, y además la suma de momentos de fuerza a la fibra neutra debe ser cero en la dirección tangente a la fibra neutra. Estas dos condiciones solo se pueden cumplir si la variación de esfuerzo cortante y momento flector están relacionada con la carga vertical por unidad de longitud mediante:

${\displaystyle {\frac {\partial V_{y}(x)}{\partial x}}=p_{y}(x)\qquad {\frac {\partial M_{z}(x)}{\partial x}}=V_{y}(x)}$

El cálculo de tensiones en vigas generalmente requiere conocer la variación de los esfuerzos internos y a partir de ellos aplicar la fórmula adecuada según la viga esté sometida a flexión, torsión, esfuerzo normal o esfuerzo cortante. El tensor tensión de una viga viene dado en función de los esfuerzos internos por:

${\displaystyle [T]_{xyz}={\begin{bmatrix}\sigma &\tau _{y}&\tau _{z}\\\tau _{y}&0&0\\\tau _{z}&0&0\end{bmatrix}}}$

donde las tensiones pueden determinarse, aproximadamente, a partir de los esfuerzos internos. Si se considera un sistema de ejes principales de inercia sobre la viga, considerada como prisma mecánico, las tensiones asociadas a la extensión, flexión, cortante y torsión resultan ser:

${\displaystyle \sigma ={\frac {N_{x}}{A}}+{\frac {M_{y}z}{I_{y}}}-{\frac {M_{z}y}{I_{z}}}+\omega {\frac {B_{\omega }}{I_{\omega }}}}$

${\displaystyle \tau _{y}=\tau _{y,cort}+\tau _{y,tor}\qquad \tau _{z}=\tau _{z,cort}+\tau _{z,tor}}$

donde:

${\displaystyle \sigma$ ;\tau _{i,tor},\tau _{i,cort}\;} son las tensiones sobre la sección transversal: tensión normal o perpendicular, y las tensiones tangenciales de torsión y cortante.

${\displaystyle N_{x};M_{y},M_{z};B_{\omega }\;}$, son los esfuerzos internos: esfuerzo axial, momentos flectores y bimomento asociado a la torsión.

${\displaystyle A;I_{y},I_{z};\omega ,I_{\omega }\;}$, son propiedades de la sección transversal de la viga: área, segundos momentos de área (o momentos de inercia), alabeo y momento de alabeo.

Las máximas tensiones normal y tangencial sobre una sección transversal cualquiera de la viga se pueden calcular a partir de la primera (${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{I}\ \geq \ 0}$) y tercera (${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{III}\ \leq \ 0}$) tensión principal:

${\displaystyle \sigma _{I}={\frac {\sigma }{2}}+{\sqrt {{\frac {\sigma ^{2}}{4}}+(\tau _{y}^{2}+\tau _{z}^{2})}}\qquad \sigma _{III}={\frac {\sigma }{2}}-{\sqrt {{\frac {\sigma ^{2}}{4}}+(\tau _{y}^{2}+\tau _{z}^{2})}}}$

${\displaystyle \sigma _{max}={\mbox{max}}(|\sigma _{I}|,|\sigma _{III}|)\qquad \tau _{max}={\frac {\sigma _{I}-\sigma _{III}}{2}}}$

En vigas metálicas frecuentemente se usa como criterio de fallo el que en algún punto la tensión equivalente de Von Mises supere una cierta tensión última definida a partir del límite elástico, en ese caso, el criterio de fallo se puede escribir como:

${\displaystyle \sigma _{VM}={\sqrt {\frac {(\sigma _{I}-\sigma _{II})^{2}+(\sigma _{II}-\sigma _{III})^{2}+(\sigma _{III}-\sigma _{I})^{2}}{2}}}={\sqrt {\sigma ^{2}+3(\tau _{y}^{2}+\tau _{z}^{2})}}>\sigma _{u}}$

• curva elástica
• flexión mecánica
• pendientes y deformaciones en vigas
• prisma mecánico
• teorema de los tres momentos

• acero laminado
• arco (construcción)

• ballena, una trabe de cajón con aletas
• celosía (ingeniería)
• dintel
• pilar
• pórtico
• puente viga
• voladizo