Velocidad angular

Movimiento de rotación. Trayectoria circular de un punto del sólido alrededor del eje de rotación.

Para un objeto que gira alrededor de un eje, en cada punto a lo largo del trayecto, el objeto tiene la misma velocidad angular. La velocidad tangencial de cualquier punto es proporcional a su distancia del eje de rotación. Las unidades de velocidad angular son los radianes/segundo, de modo que su valor instantáneo queda definido por la derivada:

${\displaystyle \omega =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {\theta } }{\Delta t}}={\frac {d\theta }{dt}}}$

En un movimiento circular uniforme, dado que una revolución completa representa 2π radianes, tenemos:

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f}$

donde T es el período (tiempo en dar una vuelta completa) y f es la frecuencia (número de revoluciones o vueltas por unidad de tiempo). De modo que

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {v}{r}}\qquad \Rightarrow \qquad v=\omega r\,}$

En el caso de un movimiento plano no circular general hay que definir la velocidad angular siempre respecto de un punto. Por ejemplo, al estudiar la órbita de la tierra respecto del sol, el punto más apropiado será el foco de la elipse donde se encuentra el sol.

La velocidad angular será la tasa de variación del ángulo subtendido del vector de posición r respecto del punto dado, y su valor numérico dependerá del punto escogido.

Dado que el movimiento radial desde el punto dado no contribuye a aumentar el ángulo subtendido, solo la componente tangencial lo hará. Por tanto podemos decir

${\displaystyle \omega ={\frac {v.sen\theta }{r}}}$

Multiplicando arriba y abajo por el radio vector:

${\displaystyle \omega ={\frac {v.r.sen\theta }{r^{2}}}}$

Lo que apunta a que puede escribirse en función del producto vectorial r x v

El vector velocidad angular obedece a la regla de la mano derecha.

Se define el vector velocidad angular ω, como un vector axial paralelo al eje de rotación, cuyo módulo es el valor de la velocidad angular anteriormente definida, o sea

(1)${\displaystyle {\omega }={d\theta \over dt}}$

, cuya dirección es la del eje de giro y cuyo sentido coincide con el del avance de un tornillo que girase en el sentido en que lo hace el sólido (regla de la mano derecha). Si designamos por e al vector que indica la dirección del eje, y cuya dirección sea la definida por la regla anterior, tenemos

(2)${\displaystyle \mathbf {\omega } ={d\theta \over dt}\mathbf {e} \Rightarrow \omega \mathbf {e} ={d\mathbf {\theta } \over dt}}$

donde hemos considerado al elemento de ángulo dθ como un vector dθ, de módulo dθ, cuya dirección está definida por la regla del tornillo. Llamando e_t y e_n a los vectores tangencial y normal, respectivamente, a la trayectoria del punto genérico P, la velocidad de ese punto puede expresarse en la forma

(3)${\displaystyle \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{t}=r\omega (\mathbf {e} _{n}\times \mathbf {e} )=(r\mathbf {e} _{n})\times (\omega \mathbf {e} )={\overrightarrow {\text{PO}}}\times \mathbf {\omega } }$

de modo que podemos afirmar:

La velocidad v de un punto genérico P del sólido rígido en rotación es igual al momento del vector velocidad angular ω con respecto a dicho punto P.

Así pues, conocida la velocidad angular ω queda determinada la distribución de velocidades en todos los puntos del sólido rígido en rotación. La expresión [8] puede escribirse en la forma

(4)${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times {\overrightarrow {\text{OP}}}=\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} }$

donde ${\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {\text{OP}}}}$ es el vector de posición del punto genérico P con respecto a un punto cualquiera del eje de rotación.

Las definiciones anteriores exigen que el vector velocidad angular ω tenga carácter deslizante sobre el eje de rotación.

Es importante destacar que el «vector» velocidad angular no es un vector polar, sino un pseudovector o vector axial. Por esta razón, en teoría de la relatividad, donde el espacio-tiempo tiene cuatro dimensiones, no puede ser representado por ningún tetravector, razón por la cual en teoría de la relatividad la velocidad angular se representa por un 2-tensor antisimétrico, que tiene que satisfacer las leyes de transformación adecuadas bajo las transformaciones de Lorentz. En la siguiente sección se dan algunos detalles adicionales, sobre por qué la velocidad angular se puede representar por un tensor antisimétrico.

Esto vale tanto para un sistema de referencia rotatorio como para un sólido rígido

Dado un marco de rotación de tres vectores de coordenadas unitarias, los tres deben tener la misma velocidad angular en cada instante. En dicho marco, cada vector puede considerarse como una partícula en movimiento con radio escalar constante.

El marco de rotación aparece en el contexto de cuerpos rígidos, y se han desarrollado herramientas especiales para él: la velocidad angular de espín puede describirse como un vector o, equivalentemente, como un tensor.

De acuerdo con la definición general, la velocidad angular de espín de un marco se define como la velocidad angular orbital de cualquiera de los tres vectores (el mismo para todos) con respecto a su propio centro de rotación. La suma de los vectores de velocidad angular de los cuadros también se define mediante la suma vectorial habitual (composición de movimientos lineales), y puede ser útil para descomponer la rotación como en un cardán. Todas las componentes del vector pueden calcularse como derivadas de los parámetros que definen los cuadros en movimiento (ángulos de Euler o matrices de rotación). Como en el caso general, la suma es conmutativa: ${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}}$.

Por teorema de rotación de Euler, cualquier marco en rotación posee un eje instantáneo de rotación, que es la dirección del vector velocidad angular, y la magnitud de la velocidad angular es consistente con el caso bidimensional.

Si elegimos un punto de referencia ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ fijo en el cuerpo rígido, la velocidad ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}}$ de cualquier punto del cuerpo viene dada por

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {\boldsymbol {R}}}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}})}$

Componentes a partir de ángulos de Euler

Diagrama que muestra el marco de Euler en verde

Las componentes del pseudovector velocidad angular de espín fueron calculadas por primera vez por Leonhard Euler utilizando sus ángulos de Euler y el uso de un marco intermedio:

• Un eje del marco de referencia (el eje de precesión)
• La línea de nodos del marco móvil con respecto al marco de referencia (eje de nutación)
• Un eje del marco móvil (eje de rotación intrínseco).

Euler demostró que las proyecciones del pseudovector velocidad angular sobre cada uno de estos tres ejes es la derivada de su ángulo asociado (lo que equivale a descomponer la rotación instantánea en tres rotaciones de Euler instantáneas). Por lo tanto:[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}}$

Esta base no es ortonormal y es difícil de usar, pero ahora el vector velocidad puede cambiarse al marco fijo o al marco móvil con sólo cambiar las bases. Por ejemplo, cambiando al marco móvil:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}}$

donde ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$ son vectores unitarios para el marco fijo en el cuerpo en movimiento. Este ejemplo se ha realizado utilizando la convención Z-X-Z para los ángulos de Euler.^{[cita requerida]}

Posición del punto P situado en el cuerpo rígido (mostrado en azul). R_i es la posición con respecto al marco del laboratorio, centrado en O y r_i es la posición con respecto al marco del cuerpo rígido, centrado en O´. El origen del marco del cuerpo rígido está en la posición vectorial R desde el marco del laboratorio

.

Las mismas ecuaciones para la velocidad angular pueden obtenerse razonando sobre un cuerpo rígido en rotación. Aquí no se supone que el cuerpo rígido gire alrededor del origen. En su lugar, se puede suponer que gira alrededor de un punto arbitrario que se mueve con una velocidad lineal V(t) en cada instante.

Para obtener las ecuaciones, es conveniente imaginar un cuerpo rígido unido a las cuadernas y considerar un sistema de coordenadas fijo respecto al cuerpo rígido. A continuación estudiaremos las transformaciones de coordenadas entre este sistema de coordenadas y el sistema fijo del "laboratorio".

Como se muestra en la figura de la derecha, el origen del sistema del laboratorio está en el punto O, el origen del sistema del cuerpo rígido está en O y el vector de O a O es R. Una partícula (i) en el cuerpo rígido se encuentra en el punto P y el vector posición de esta partícula es R_i en el marco del laboratorio, y en la posición r_i en el marco del cuerpo. Se véase que la posición de la partícula puede escribirse:

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}$

La característica que define a un cuerpo rígido es que la distancia entre dos puntos cualesquiera de un cuerpo rígido es invariable en el tiempo. Esto significa que la longitud del vector ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ es invariable. Por teorema de rotación de Euler, podemos sustituir el vector ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ por ${\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}$ donde ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es una matriz de rotación 3×3 y ${\displaystyle \mathbf {r} _{io}}$ es la posición de la partícula en algún punto fijo del tiempo, digamos t = 0. Esta sustitución es útil, porque ahora es sólo la matriz de rotación ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ que está cambiando en el tiempo y no el vector de referencia ${\displaystyle \mathbf {r} _{io}}$, como el cuerpo rígido gira alrededor del punto Plantilla:′. Además, como las tres columnas de la matriz de rotación representan los tres versores de un sistema de referencia que gira junto con el cuerpo rígido, ahora se hace visible cualquier rotación sobre cualquier eje, mientras que el vector ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ no giraría si el eje de rotación fuera paralelo a él, y por tanto sólo describiría una rotación sobre un eje perpendicular a él (es decir, no vería la componente del pseudovector velocidad angular paralela a ella, y sólo permitiría calcular la componente perpendicular a ella). La posición de la partícula se escribe ahora como:

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}$

Tomando la derivada temporal se obtiene la velocidad de la partícula:

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}\mathbf {r} _{io}}$

donde V _i es la velocidad de la partícula (en el marco de laboratorio) y V es la velocidad de O' (el origen del marco de cuerpo rígido). Como ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es una matriz de rotación su inversa es su transpuesta. Así que sustituimos ${\displaystyle {\mathcal {I}}={\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}}$:

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {I}}\mathbf {r} _{io}}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}\mathbf {r} _{i}}$

o

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +W\mathbf {r} _{i}}$

donde ${\displaystyle W={\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}}$ es el tensor de velocidad angular anterior.

Se puede probar que se trata de una matriz antisimétrica, por lo que podemos tomar su dual para obtener un pseudovector tridimensional que es precisamente el anterior vector de velocidad angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=[\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}]}$

Sustituyendo ω por W en la expresión de velocidad anterior, y sustituyendo la multiplicación de matrices por un producto cruzado equivalente:

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{i}}$

Se puede véase que la velocidad de un punto en un cuerpo rígido se puede dividir en dos términos - la velocidad de un punto de referencia fijado en el cuerpo rígido más el término de producto cruzado que implica la velocidad angular orbital de la partícula con respecto al punto de referencia. Esta velocidad angular es lo que los físicos llaman velocidad angular de espín del cuerpo rígido, en contraposición a la velocidad angular orbital del punto de referencia O' respecto al origen O.

En el sistema internacional de unidades las velocidad angulares tienen unidades de inverso de segundo ${\displaystyle [{\text{s}}^{-1}]}$, también llamado hercio ${\displaystyle [{\text{Hz}}]}$. Es frecuente expresar también la velocidad angular en "revoluciones por minuto" ${\displaystyle [{\text{r.p.m.}}]}$ aunque esa unidad no forma parte del sistema internacional.

Muchos textos emplean aún el "radián por segundo", aunque el radián es una pseudounidad que no forma parte del sistema internacional de unidades y su uso está desrecomendado profesionalmente, aunque se mantiene en algunos contextos con fines didácticos nada más.

• Cinemática del sólido rígido
• Frecuencia
• Aceleración angular
• Desplazamiento angular